2023年初中数学中考模拟试卷(含解析)

2023年初中数学中考模拟试卷（含解析）
一、单选题
1．若抛物线21y x x =--与x 轴的交点坐标为(,0)m ，则代数式m 2-m+2019的值为（）
A ．2018
B ．2019
C ．2020
D ．2017
2．已知方程组24{25
x y x y +=+=，则x y +的值为（）
A ．1-
B ．0
C ．2
D ．3
3．二次函数y ＝﹣2（x ﹣3）2+1的顶点坐标为（）
A ．
（﹣3，1）B ．
（3，﹣1）C ．（﹣3，﹣1）D ．
（3，1）4．如图，四边形ABCD 的对角线AC 平分,,∠⊥⊥BAD ED AD BC AC ，且
15
cos ,3016
∠=
∠=︒CBE ABE ，则AD AC 的值为（
）
A B C ．1
2
D ．
815
5．已知点M （﹣2，6）在反比例函数y ＝x
k
的图象上，则下列各点一定在该图象上的是（
）
A ．
（2，6）B ．
（﹣6，﹣2）C ．（3，4）D ．
（3，﹣4）6．如图,已知直线1
42
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点，将△AOB 沿直线AB 翻折，使点O 落在点C 处,点P ，Q 分别在AB ,AC 上,当PC +PQ 取最小值时,直线OP 的解析式为（
）
A ．y=-
34
x B ．y=-
12
x C ．y=-
43
x D ．23
y x =
7．关于x 的不等式组12x x m
⎧
≤-
⎪⎨⎪>⎩的所有整数解的积为2，则m 的取值范围为（）A ．m ＞-3B ．m ＜-2C ．m -3≤＜-2D ．m -3＜≤-2
8．如图，在ABC 中，8AC BC ==，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别为,AC BC 的中点，点P 从A 点向D 点运动，点Q 在DE 上，且DQ DP =，连接CQ ，过点Q 作QF CQ ⊥交AB 与点F ，设点P 运动的路程为x ，CQF △的面积为y ，则能反映y 与x 之间关系的图像是（
）
A
．B
．C
．D
．
二、填空题
9．不等式组3
2x x <-⎧⎨<⎩
的解集是_______．
10．从2,3,4,6中任意选两个数，记作a 和b ，那么点(,)a b 在函数12
y x
=图象上的概率是______．
11．已知关于x 的方程220--=x x k 没有实数根，则k 的取值范围为________.12．为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势状况，现从中各随机抽取6株，并测得它们的株高（单位：cm ）如下表所示：甲
63
66
63
61
64
61
乙636560636463
（1）请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐？（2）现将进行两种小麦优良品种杂交试验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机抽取一株进行配对，以预估整体配对状况．请你用列表法或画树状图的方法，求所抽取的
两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率．13．如图，已知直线2y x =-+与反比例函数k
y x
=
的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，若AOB 的面积为4，则k 值为_______．
14．某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表：
根据以上信息，以下四个判断中，正确的是_________．(填写所有正确结论的序号)①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天；②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5~10广域网人之间；③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；
④这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为
310
．15．如图，60AOB ∠=︒，点1O 是AOB ∠平分线上一点，12OO =，作11O A OA ⊥，
11O B OB ⊥，
垂足分别为点1A ，1B ，以11A B 为边作等边三角形112A B O ；作22O A OA ⊥，22O B OB ⊥，垂足分别为点2A ，2B ，以22A B 为边作等边三角形223A B O ；作33O A OA ⊥，33O B OB ⊥，垂足分别为点3A ，3B ，以33A B 为边作等边三角形334A B O ；…按这样的方法继续下去，则n n n A B O △的面积为______（用含正整数n 的代数式表示）．
16．直线l 经过点A (4，0)，B (0，2)，若⊙M 的半径为1，圆心M 在y 在轴上，当⊙M 与直线l 相切时，则点M 的坐标____．
三、解答题
17．阳光中学九（1）班同学在一次综合实践活动中，对本县居民参加“全民医保”情况进行了调查，同学们利用节假日随机调查了2000人，对调查结果进行了统计分析，绘制出两幅不完整的统计图：
（1）补全条形统计图；
（2）在本次调查中，B 类人数占被调查人数的百分比为
；
（3）据了解，国家对B 类人员每人每年补助155元.已知该县人口数约80万人，请估
计该县B 类人员每年享受国家补助共多少万元？18．解方程：2(5)16
x -=19．解不等式组：212(1)6x x x ->⎧⎨
-<⎩①
②
20．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠90ACB = ，AD 平分∠BAC ，DE AB ⊥，垂足为点E ，16AE =，4
5
sinB =
．求：
（1）BC 的长；
（2）求∠ADE 的正切值．21．如图直线y 1＝﹣x+4，y 2＝3
4
x+b 都与双曲线y ＝k x 交于点A （1，3），这两条直线
分别与x 轴交于B ，C 两点．（1）求k 的值；
（2）直接写出当x ＞0时，不等式3
4
x+b ＞k x 的解集；
（3）求△ABC 的面积．
22．某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1 5.25.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.24.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.14.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3根据数据绘制了如图的表格和统计图：
A x ＜4.240.1
B 4.2≤x ≤4.4120.3
C 4.5≤x ≤4.7a
D 4.8≤x ≤5.0b
E
5.1≤x ≤5.3
100.25合计
40
1
根据上面提供的信息，回答下列问题：(1)统计表中的a ＝______，b ＝______；(2)请补全条形统计图；
(3)根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“D 级”的有多少人？
(4)该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．23．如图，直线2y x =+与抛物线()2
60y ax bx a =++≠相交于15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
和()4,B m ，点
P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC x ⊥轴于点D ，交抛物线于点C （1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求PAC △为直角三角形时点P 的坐标
24．已知直线y ＝kx ﹣2k+3（k≠0）与抛物线y ＝a （x ﹣2）2（a ＞0）相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．
（1）不论k 取何值，直线y ＝kx ﹣2k+3必经过定点P ，直接写出点P 的坐标．（2）如图（1），已知B ，C 两点关于抛物线y ＝a （x ﹣2）2的对称轴对称，当1
2
a =时，求证：直线AC 必经过一定点；
（3）如图（2），抛物线y ＝a （x ﹣2）2的顶点记为点D ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，与直线BD 交于点F ，求线段EF 的长．
25．在平面直角坐标系xOy 中，1C ：二次函数(2
33y mx m x =+--0m >）的图
象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）且4AB =，与y 轴交于点C ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）将抛物线1C向上平移n个单位，得到抛物线2C，当
3
2
x≤≤时，抛物线2C与x轴
只有一个公共点，结合函数图象，求出n的取值范围；
（3）将ACB
△绕AB的中点Q旋转180︒，得到BDA
△，若点M是线段AD上一动点，MB NB
⊥交直线AC于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点D向点A运动时．①求tan NMB
∠的值如何变化？请说明理由；
②求点到达点A时，直接写出点P经过的路线长．
参考答案与解析
1．C
【分析】将（m ，0）代入抛物线的解析式中，可得m 2-m-1=0，然后代入原式即可求出答案．【详解】解：将（m,0）代入21y x x =--中，∴m 2-m-1=0，∴m 2-m=1
∴原式=1+2019=2020，故选C ．
【点睛】本题考查的知识点是抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是将交点坐标代入解析式中，然后利用整体代入法求值即可．2．D
【详解】解：将方程组的两式相加，得339x y +=，即3x y +=．故选：D ．3．D
【分析】根据二次函数的解析式可直接得到顶点坐标．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣2（x ﹣3）2+1是顶点式，∴顶点坐标为（3，1）．故选：D ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，属于基础题，解题的关键是掌握()2
y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ．4．D
【分析】利用ABC AED ∆∆ ，对应边成比例和锐角三角函数即可解决【详解】解：过点E 做EF ⊥AB 于点F ∵AC 平分∠BAD ∴∠BAC =∠DAC ∴ED =EF
因为∠ABE =30°，可设EF =x ，则BE =2x ∵cos ∠CBE =
15
16
，
∴
15162BC x
=∴158
BC x =
∵∠BAC =∠DAC ，∠BCA =∠ADE ∴ABC AED ∆∆ ∴8
15
158
AD ED x AC BC x ===
故答案为：
D
【点睛】本题主要考查了相似的性质和判定，以及锐角三角函数和角平分线的性质，找到相似三角形是解决本题的关键．5．D
【分析】利用待定系数法求出k 即可判断．【详解】解：点M （﹣2，6）在反比例函数y ＝x
k
的图象上，∴k ＝﹣2×6＝﹣12，∵3×（﹣4）＝-12＝k ，
∴（3，﹣4）也在反比例函数y ＝x
k
的图象上，故选：D ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，属于常考题型．6．A
【详解】解：连接CO ．∵AC =AO ，BC =OB ，∴AB 是线段OC 的垂直平分线．∵直线AB 的解析式为1
42
y x =
+，∴直线OC 的解析式为y =－2x ，∴设C （a ，－2a ）．∵CB =OB =4，
4=，解得：a =0（舍去）或a =165-
，∴C （165-，325
）．设直线BC 为4y kx =+，
把C （165
-，325）代入得：3216455k =-+，解得：k =34-，∴直线BC 为344y x =-+．过O 作OQ ⊥AC 于Q 交AB 于点P ，连接PC ，则PC +PQ =OQ 最短．∵直线OQ ∥直线BC ，
∴直线OQ 的解析式为：34
y x =-．故选A ．
点睛：本题考查了翻折变换的性质，一次函数图象上点的坐标特征．准确找出P 的位置是解答本题的关键．
7．C
【详解】分析：首先确定不等式组的解集，先利用含m 的式子表示，可表示出整数解，根据所有整数解的积为2就可以确定有哪些整数解，从而求出m 的范围．
详解：原不等式组的解集为m ＜x ≤12
-．整数解可能为－1，－2，－3…等又因为不等式组的所有整数解的积是2，而2=－1×（－2），由此可以得到-3≤m ＜-2．故选C ．
点睛：本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m 的不等式组，要借助数轴做出正确的取舍．
8．C
【分析】过点F 作FN BC ⊥于点N ，延长NF 交DE 的延长线于点M ，利用
CQF CDQ QEF BCF CDEB S S S S S =--- 梯形，求出函数解析式，进行判断即可．
【详解】解：过点F 作FN BC ⊥于点N ，延长NF 交DE 的延长线于点M ，如图，
∵点D 、E 分别为AC ，BC 的中点，∴1
4,2DE BC DE BC ==∥，
∵FN BC ⊥，
∴MN DE ⊥，
∵90ACB ∠=︒，
∴四边形CDMN 为矩形，∴1
42MN CD BC ===．
∵890AC BC ACB ==∠=︒，，
∴45B ∠=︒．
∵FN BC ⊥，
∴45NFB ∠=︒，
∴45EFM NFB ∠=∠=︒．
∴MEF 为等腰直角三角形，
∴ME MF =．
设ME MF m ==，
由题意得：PA x =，则4DP x =-，
∵DQ DP =，
∴4DQ x =-，
∴()44QE DE DQ x x =-=--=．
∵QF CQ ⊥，
∴90DQC MQF ∠+∠=︒，
∵90DQC DCQ ∠+∠=︒，
∴DCQ MQF ∠=∠．
∵90CDQ QMF ∠=∠=︒，
∴DCQ MQF ∽，∴CD MQ DQ MF
=，∴44m x x m
+=-，解得：4m x =-，
∴4MF x =-．
∴FN MN MF x =-=．
∵CQF CDQ QEF BCF CDEB S S S S S =--- 梯形，∴∴1111()2222y DE BC CD CD DQ QE MF BC NF =
+⋅-⨯⋅-⨯⋅-⨯⋅1111(48)44(4)(4)82222
x x x x =⨯+⨯-⨯--⨯--⨯212482242x x x x =-+-+-214162x x =
++21(4)82
x =-+∵102
>，∴抛物线的开口方向向上，顶点为()4,8，
由题意：x 的取值范围为：04x ≤≤，
∴当0x =时，16y =，当4x =时，8y =，
∴y 与x 的函数图像是以点()4,8和()0,16为端点的抛物线21(4)82
y x =
-+上的一部分，故选：C ．
【点睛】本题考查动点的函数图像问题．主要考查了三角形的中位线，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．解题的关键是准确的求出函数解析式．
9．3
x <-【分析】找出两个不等式的解的公共部分即可得．
【详解】3x <- 和2x <的公共部分为3x <-∴这个不等式组的解集是3
x <-故答案为：3x <-．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解题关键．
10．1
3
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（a ，b ）在函数12y x
=图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中点（a ，b ）在函数12y x
=
图象上的结果数为4，所以点（a ，b ）在函数12y x =图象上的概率41123=．故答案为：1
3【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，
再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
11．1
k <-【分析】根据根的判别式，即可求出k 的取值范围.
【详解】解：根据题意得：()224(2)410b ac k -=--⨯⨯-<，
解得：1k <-.
故答案为：1k <-.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式求参数的取值范围.
12．(1)乙种小麦长势整齐；（2）16
．【分析】(1)先分别计算出这两组数据的平均数，再利用方差公式分别求得这两组数据的方差，比较即可得答案；
（2）列表（或画树状图）求得所有等可能的结果，利用概率公式求得所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率即可．
【详解】（1）x 甲＝(63＋66＋63＋61＋64＋61)÷6＝63．
x
乙
＝(63＋65＋60＋63＋64＋63)÷6＝63．
2 S 甲＝()()()()()()
222222 1636366636363616364636163
6
⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦＝3．
2 S 乙＝()()()()()()
222222 1636365636063636364636363
6
⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦＝
7
3．
∵2S甲＞2S乙．
∴乙种小麦长势整齐．
（2）列表如下
636560636463
63（63，63）（63，65）（63，60）（63，63）（63，64）（63，63）66（66，63）（66，65）（66，60）（66，63）（66，64）（66，63）63（63，63）（63，65）（63，60）（63，63）（63，64）（63，63）61（61，63）（61，65）（61，60）（61，63）（61，64）（61，63）64（64，63）（64，65）（64，60）（64，63）（64，64）（64，63）61（61，63）（61，65）（61，60）（61，63）（61，64）（61，63）∴共有36种情况，其中小麦株高恰好都等于各自平均株高（记为事件A）有6种．
∴P(A)＝1 6．
【点睛】本题考查了统计中的平均数，方差的计算，列表求概率，解决此题的关键是熟练掌握这些知识点．
13．3-
【分析】设直线AB 与y 轴交点为C ，易得()02C ，
，设(),2A a a -+，(),2B b b -+，利用a 、b 是方程2k x x
-+=的两个根可得：2a b +=，则()2,B a a -，利用三角形AOB 面积列出方程，解方程即可得出答案.
【详解】解：如图，设直线AB 与y 轴交点为C ，则()02C ，，
设(),2A a a -+，(),2B b b -+，
a 、
b 是方程2k x x
-+=的两个根，方程整理后得：220x x k -+=，
2a b ∴+=，
2b a ∴=-，
()2,B a a ∴-；
AOB AOC BOC S S S =+ ，
()()11222422
AOB S a a ∴=⨯⨯-+⨯⨯-= ，解得：1a =-，()1,3A ∴-，
()133k ∴=-⨯=-；
故答案为：3-.
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合问题，熟练掌握两个函数交点求法以及坐标系中图形面积的求法是本题解题关键.
14．①④
【分析】利用统计图与统计表获取的信息逐项判定即可．
【详解】解：①根据统计表可得日接待游客人数10≤x<15为拥挤，15≤x<20为严重拥挤，
由统计图可知，游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”，1日至5日有2天，25日-30日有2天，共4天，故①正确；
②本题中位数是指将30天的游客人数从小到大排列，第15与第16位的和除以2，根据统计图可知0≤x<5的有16天，从而中位数位于0≤x<5范围内，故②错误；
③从统计图可以看出，接近10的有6天，大于10而小于15的有2天，15以上的有2天，10上下的估算为10，则（10×8+15×2-5×10）÷16=3.25，可以考虑为给每个0至5的补上3.25，则大部分大于5，而0至5范围内有6天接近5，故平均数一定大于5，故③错误；
④由题意可知“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为323
5410
⨯=，故④正确．
故答案为①④．
【点睛】本题考查了中位数、平均数及可能性等知识，利用统计图与统计表获取的有效信息是解答本题的关键．
15
【分析】设A1B1，A2B2，A3B3与角平分线的交点为C1，C2，C3，根据等边三角形的判定和性质求得OC1，可得△A1B1O1面积，由△A1B1O1∽△A2B2C2，求得相似比OA1∶OA2，可得面积比；同理可得△A3B3C3面积，…，△AnBnOn面积；
【详解】解：如图，设A1B1，A2B2，A3B3与角平分线的交点为C1，C2，C3，
∵∠O1OA1=∠O1OB1=30°，O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，OO1=2，
∴OA
1=OB1=OO1
∠AOB=60°，则△OA1B1是等边三角形，
∵OO3平分∠AOB，
∴OO1⊥A1B1，OC1=OA1cos30°=3 2，
∴O 1C 1=2-32=12
，
∴△A 1B 1O 1面积=12A 1B 1•O 1C 1
△O 2A 1B 1是等边三角形，O 2A 1=A 1B 1=OA 1O 2O ⊥A 1B 1，则O 2C 1=O 2A 1•cos30°=
32，∴O 2O =OC 1+O 2C 1=3，
∴OA 2=OO 2•cos30°=2
，△A 1B 1O 1中，∠O 1A 1B 1=∠O 1A 1O -∠B 1A 1O =30°，∠O 1B 1A 1=∠O 1B 1O -∠A 1B 1O =30°，OA 2=OB 2=OO 2cos30°，∠AOB =60°，则△OA 2B 2是等边三角形，
△A 2B 2O 2中，∠O 2A 2B 2=∠O 2A 2O -∠B 2A 2O =30°，∠O 2B 2A 2=∠O 2B 2O -∠A 2B 2O =30°，∴△A 1B 1O 1∽△A 2B 2O 2，
相似比为A 1B 1∶A 2B 2=OA 1∶OA 2∶3，∴△A 1B 1O 1和△A 2B 2C 2面积比为4∶9，
△A 2B 2C 2面积=94同理可得△A 2B 2O 2和△A 3B 3C 3面积比为4∶9，
△A 3B 3C 3面积=94△A 2B 2C 2面积=2
94⎛⎫ ⎪⎝⎭×4，…，
△AnBnOn 面积=194n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；掌握相似三角形的性质是解题关键．
16．(0，22
-)或(0，22+)．
【分析】根据勾股定理得到=设M 坐标为（0，m ）（m ＞0），即OM=m ，若M 在B 点下边时，BM=2-m ，根据切线的性质得到∠MN′B=90°，根据相似三角形的性质
得到m=2-，此时M （0，2；若M 在B 点上边时，同法求得M （0，）．【详解】解：∵直线l 经过点A (4，0)，B (0，2)，
∴AB ==设M 坐标为(0，m )(m ＞0)，即OM =m ，
若M 在B 点下边时，BM =2﹣m ，
当AB 是⊙O 的切线，
∴∠MN 'B =90°．
∵∠MBN '=∠ABO ，∠MN 'B =∠BOA =90°，
∴△MBN '∽△ABO ，∴MN BM
OA AB
=，即14=
解得：m =22M (0，22
-)；若M 在B 点上边时，BM =m ﹣2，同理△BMN ∽△BAO ，则有
MN BM
OA AB =，即14=
解得：m =2．此时M (0，2)，
综上所述：M (0，22-
)或(0，2．
故答案为：(0，22
-)或(0，22+)．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般．
17．
（1）（1）如图所示：
（2）；（3）3100万元
【详解】试题分析：（1）“新型农村合作医疗”的人数=这次调查的总人数×45%，“城镇职工基本医疗保险”的人数=2000-B表示的人数-C表示的人数-D表示的其他情况的人数；
（2）用B表示的“城镇居民基本医疗保险”的人数÷这次调查的总人数可得B类人数占被调查人数的百分比；
（3）该县B类人员每年享受国家补助的总钱数=国家对B类人员每人每年补助的钱数×80×B 类人员所占的百分比．
（1）如图所示：
（2）500÷2000=25%，即在本次调查中，B类人数占被调查人数的百分比为25%．
（3）155×80×25%=3100（万元）．
答：该县B类人员每年享受国家补助共3100万元．
考点：条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体
点评：读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．同时熟记条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．11x =，29
x =【分析】把方程两边开方得到54x -=±，然后求解即可．【详解】解：将2(5)16x -=把方程两边开方得：
54x -=±，
∴11x =，29x =．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟悉相关解法是解题的关键．19．14
x <<【分析】分别解出两个不等式，再求出公共解即可．【详解】解：解不等式①得1x >，解不等式②得，4x <，∴不等式组的解集为14
x <<【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，求两个不等式的公共解可以借助数轴求公共部分，也可借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求公共部分．20．
（1）12（2）3【分析】（1）先证出AC=AE ，然后根据三角函数的性质求出AB 的长，然后利用勾股定理求出BC 的长；
（2）利用△DBE ∽△ABC 得出DE 的长，从而求出∠ADE 的正切值．【详解】（1）由∠90ACB = ，可知AC CD ⊥．于是，由AD 平分∠BAC ，DE AB ⊥，得
．
在Rt △ABC 中，由4
sin 5
AC B AB ∠==，得20
AB =
利用勾股定理，得12BC ===．∴12
BC =（2）∵20AB =，16AE =，∴4BE =．
由DE AB ⊥，得90DEB ∠= ．即得90DBE ABC ∠=∠= ．
又∵DBE ABC ∠=∠，∴△DBE ∽△ABC ．∴
DE BE
AC BC =．即得
4
1612
DE =．解得163
DE =
．Rt △ADE 中，
16
tan 3
163
AE ADE DE ∠=
==．∴tan 3ADE ∠=．
21．（1）k=3；（2）x ＞1；（3）△ABC 的面积=212
．【分析】（1）将点A 的坐标代入y ＝k
x
，即可求解；（2）观察图象即可求解；（3）将点A 的坐标代入y 2＝
3
4
x+b 得，求出b 的值，即求出解析式y 2的解析式，即可求出点B 、点C 的坐标，从而求出△ABC 的面积.【详解】（1）将点A 的坐标代入y ＝
k
x
得，k ＝xy ＝1×3＝3；（2）由观察图象可知，当x ＞0时，不等式3
4x+b ＞k x 的解集为：x ＞1；
（3）将点A 的坐标代入y 2＝34x+b 得，3＝3
4
+b ，解得：b ＝94，
y 2＝
3
4
x+94，令y 2＝0，则x ＝﹣3，即点C （﹣3，0），y 1＝﹣x+4，令y 1＝0，则x ＝4，即点B （4，0），则BC ＝7，所以△ABC 的面积=
21
2
．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到三角形面积和不等式的内容，综合性较强，难度适中．22．(1)8，0.1；(2)画图见解析；
(3)估计该校八年级学生视力为“D 级”的有40人；(4)2
3
．
【分析】（1）由题意得a＝8，再由频率的定义得出b＝0.1；
（2）由C等级的频数为8，D等级的频数为4，补全条形统计图即可；
（3）由该校八年级学生人数乘以视力为“D级”的人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“1男1女”的结果有8种，再由概率公式求解即可．
(1)
解：由题意得：a＝8，b＝4÷40＝0.1，
故答案为：8，0.1；
(2)
解：C等级的频数为8，D等级的频数为4，
补全条形统计图如下：
(3)
解：400×4
40＝40（人），
即估计该校八年级学生视力为“D级”的有40人；
(4)
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中“1男1女”的结果有8种，
∴恰好选中“1男1女”的概率为
82=123
．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和频数分布表等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（1）2286y x x =-+；（2）存在，
498；（3）()3,5或711,22⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】（1）已知B （4，m ）在直线y=x+2上，求得m 的值，抛物线图象上的A 、B 两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式；
（2）设出P 点横坐标，根据直线AB 和抛物线的解析式表示出P 、C 的纵坐标，可得到关于PC 与P 点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可；
（3）当△PAC 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可．
【详解】（1）∵()4,B m 在直线2y x =+上，∴426m =+=，∴()4,6B ，
∵15,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭
、()4,6B 在抛物线26y ax bx =++上，
∴2511
6
222
61646
b a b ⎧⎛⎫=++⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=++⎩
，解得28a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为2286y x x =-+．
（2）设动点P 得坐标为(),2n n +，则C 点得坐标为()
2
,286n n n -+，
∴()()2
2
2
9492286294248PC n n n n n n ⎛
⎫=+--+=-+-=--+ ⎪⎝
⎭，
∵0PC ＞，
∴当9
n 4
=时，线段PC 最大且为498
．（3）∵PAC △为直角三角形，
①若点A 为直角顶点，90APC ∠=︒．由题意易知，//PC y 轴，45APC ∠=︒，因为此种情形不存在；
②若点A 为直角顶点，则90PAC ∠=︒．
如图1，过点15,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭
作AN x ⊥轴于点N ，则12ON =，52AN =．过点A 作AM AB ⊥直线，
交x 轴于点M ，则由题意易知，AMN 为等腰直角三角形，∴5
2
MN AN ==
，∴15
0322
OM N MN =+=+=，∴()3,0M ．
设直线AM 得解析式为y kx b =+，则：1
52230
k b k b ⎧+=
⎪⎨⎪+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩，所以直线AM 得解析式
为：3
y x =-+又抛物线得解析式为：2286y x x =-+②联立①②式，解得：3x =或1
2
x =
（与点A 重合，舍去）∴()3,0C ，即点C 、M 点重合．当3x =时，25y x =+=，∴()13,5P ；③若点C 为直角顶点，则90ACP ∠=︒．∵()2
2286222y x x x =-+=--，∴抛物线的对称轴为直线2x =．
如图2，作点15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
关于对称轴2x =得对称点C ，则点C 在抛物线上，且75,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当72x =
时，11
22
y x =+=．
∵点()13,5P 、2711,22P ⎛⎫
⎪⎝⎭
均在线段AB 上，
∴综上所述，PAC △为直角三角形时，点P 得坐标为()3,5或711,22⎛⎫
⎪⎝⎭
．
【点睛】考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题．24．
（1）（2，3）；（2）见解析；（3）EF ＝3.【分析】（1）将直线的解析式变形为y=k （x-2）+3，进而即可得出该直线必过点（2，3）；（2）联立直线AB 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点A ，B 的坐标，结合B ，C 两点关于抛物线y=a （x-2）2的对称轴对称可得出点C 的坐标，由点A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AC 的解析式，变形后可证出直线AC 必过点（2，-3）；（3）联立直线AB 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点A ，B 的坐标，由抛物线的解析式可得出其顶点D 的坐标，由点B ，D 的坐标，利用待定系数法即可求出直线BD 的解析式，再由点A 的坐标结合一次函数图象上点的坐标特征，可得出点E ，F 的坐标，进而可求出线段EF 的长．
【详解】解：（1）∵y ＝kx ﹣2k+3＝k （x ﹣2）+3，∴直线y ＝kx ﹣2k+3必过点（2，3）．故答案为（2，3）．
（2）证明：联立直线AB 和抛物线的解析式成方程组，得：223
1(2)2y kx k y x =-+⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，解得：2122
12663x k k y k k ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩，222222663x k k y k k ⎧=+++⎪⎨=++⎪
⎩，
∴点A 的坐标为()
222
26,63k k k k ++-+，点B 的坐标为（26k +k 226k +）．
∵B ，C 两点关于抛物线y ＝a （x ﹣2）2的对称轴对称，∴点C 的坐标为（2﹣k
k 2
+3）．设直线AC 的解析式为y ＝mx+n （m≠0），
将A （k+2
，k 2﹣
），C （2﹣k
k 2
+3）代入y ＝mx+n ，
得：
(
(
222323k m n k k k m n k k ⎧+-+=-⎪⎨⎪-+=+⎩
，解得：3
m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线AC 的解析式为y
3．
3
（x ﹣2）﹣3，∴直线AC 必经过定点（2，﹣3）．
（3）联立直线AB 和抛物线的解析式成方程组，得：2
23(2)y kx k y a x =-+⎧⎨=-⎩，
解得：11223k x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，22223k x a
y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴点A
的坐标为（k 2
2a ++2，232k a -++3）
，点B 的坐标为2
+2
）．∵抛物线y ＝a （x ﹣2）2的顶点记为点D ，∴点D 的坐标为（2，0
）．
∴直线BD 的解析式为y
k -∵过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，与直线BD 交于点F ，
∴点E 2+，0），点F 2，﹣3）
，∴EF ＝3．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的性质，一次函数与二次函数的交点等知识.解题的关键是：（1）提取公因式，找出直线必过的定点的坐标；（2）根据点的坐标，利用待定系数法
求出直线AC 的解析式；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点E ，F 的坐标．
25．（1）
2
33
y x x =--（2n 3n =；（3）①不变，理由见解析；
②【分析】（1）将二次函数解析式变为交点式，可求点A 的坐标，根据4AB =，可得抛物线对称轴为：1x =，根据对称轴公式可求m ．即可得到二次函数1C 的表达式；
（2）设抛物线2C 的表达式为223y x x n =--+，当抛物线2C 经过点3(2
，0)时，代入可求n 的值，计算此时在3
02
x ≤≤
时与x 轴的两个交点，当抛物线2C 经过点(0,0)时，代入可求n 的值，再计算抛物线2C 与x 轴只有一个公共点时n 的值，从而求解；
（3）①先求得四边形ACBD 是矩形，证明BDM BCN ∆∆∽，列比例式并结合三角函数定义可得结论；
②首先证明点P 经过的路径是线段PQ 的长，如图2，根据三角形中位线定理即可求得．
【详解】解：（1）2((1)y mx m x mx x =+---+，当=1x -时，0y =，
(1,0)A ∴-，
4AB = ，(1,0)A -，
∴抛物线对称轴为：1x =，
1=，
3
m ∴=
，
∴
抛物线1C 的表达式为233
y x x =--
（2）设抛物线2C 的表达式为2y x n =
+，
当抛物线2C 经过点3
(2
，0)时，得n =
，此时抛物线2C ：在302
x ≤≤时与x 轴有两个交点，
当抛物线2C 经过点(0,0)时，得n =
若2(4()0n -⨯=，
解得：3
n =
，
当3
n =
时，当抛物线2C 与x 轴只有一个公共点，此公共点为(1,0)，
综上所述，n n n =（3）①tan NMB ∠的值为定值，不发生变化；如图1中，
Rt AOC ∆中，1OA =，
OC =，
30ACO ∴∠=︒，60OAC ∠=︒，
Rt BCO ∆中，3OB =，
BC ∴=
30OBC ∴∠=︒，60BCO ∠=︒，
90ACB ∴∠=︒，
由旋转得：90D ACB ∠=∠=︒，60ABD OAC ∠=∠=︒，D ，
90CBD ∴∠=︒，∴四边形ADBC 是矩形，
(3,0)B
，D ，
2BD ∴，
90MBN DBC ∠=∠=︒ ，DBM CBN ∴∠=∠，90MAN MBN ∠=∠=︒ ，
M ∴，A ，N ，B 四点共圆，DMB BNC ∴∠=∠，
BDM BCN ∴∆∆∽，
∴
BM BD BN BC ==
tan BN
NMB BM
∠=
tan NMB ∴∠的值为定值，不发生变化；
②如图2，当M 在点D 时，P 与Q 重合，当M 与A 重合时，P 在直线AC 上，
∴点P 经过的路线长是线段PQ 的长，
Rt MBN ∆中，4AB =，30BNM ∠=︒，
8MN ∴=，BN =
Q 是AB 的中点，P 是MN 的中点，
PQ ∴是ABN ∆的中位线，
1
2
PQ BN ∴=
=，
即点M 到达点A 时，点P 经过的路线长是
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角函数，含30度角的直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
23。