高等微积分B期末试题(4)

高等微积分B 期末试题（2008）
1、填空题（4分/小题）：
1). −1 n u n ∞n =1 条件收敛，则 lim n→∞ u 2k n k =1=
. 2). 广义积分 d x x ln x ln ln x +∞10 在 时收敛，其余各种情形发散.
3). A n = x x ∈ℕ, 且x <n ,x 与n 互素 ，φ n 是 A n 中元素个数，则
lim n→∞ φ n n = .
4). 叙述函数Riemann 可积的 ε−δ 定义。

函数 f x 在区间 a ,b 可积是指：
.
2、选择题（3分/小题）：
1). 设级数 u n ∞n =1 绝对收敛， v n ∞n =1 条件收敛，则 u n +v n ∞n =1 的敛散情况是
（ ）. A. 绝对收敛 B. 条件收敛
C. 收敛但不能判断是绝对收敛还是条件收敛
D. 不能判断是否收敛
2). 幂级数题目，不考
3). 下列陈述中，正确的是（ ）
A. 若级数 −1 n−1u n ∞n =1 条件收敛，则级数 u n ∞n =1 收敛。

B. 若函数 f x 在区间 a ,b 黎曼可积，则函数 f t dt x a 在区间 a ,b 上可导。

C. 正项级数收敛的充要条件是：以某种方式加括号后所得级数收敛。

D. 若广义积分 f t dt +∞0 收敛，则广义积分 f t dt +∞
0 收敛。

4). 傅里叶级数题目，不考
3、判断题，指出下列陈述是否正确，并简述理由（若正确，给出简要证明；若错误，举出反例）（5分/小题）：
1). 若函数 f x 在区间 a ,b , b ,c 上都一致连续，则在区间 a ,c 一致连续。

2). 幂级数题目，不考
3). 若正项级数 u n ∞n =1 收敛，且∀n >0,v n >0,v n +1
v n ≤u n +1u n ，则级数 v n ∞n =1 收敛。

4). 若函数 f x 在区间 a ,b 上黎曼可积，则函数 f x 在区间 a ,b 上只有有限多个间断点。

4、（10分）用定义证明极限 lim n→∞ln n n =0 .
5、（12分）傅里叶级数题目，不考
6、（12分）证明零点存在定理：若函数 f x 在区间 a ,b 上连续，f a f b <0 ，则存
在 ε∈ a ,b ，使得 f ε =0 .
7、（12分）求幂级数 x 2n +1 2n +1 !∞n =0 。

（幂级数题，仅供参考）
8、（二选一，6分）
1) 证明级数 sin nx n ∞n =1
在 −∞,+∞ 不一致收敛.
2) 设 ∀n ,u n >0,v n >0,a n =u n v n u n +1−v n +1 ，试证明，若lim n→∞a n =A >0 ，则级数 u n ∞n =1 收敛.
选择题参考答案：1. B 3. C
判断题参考答案：1.√ 3.√ 4.×。