高三第一次联考试卷理科数学

南昌市四校（南昌一中、南昌十中、南昌十九中、南铁一中）高三第一次联考试卷
数 学（理）
命题人：甘海虹 学校：南昌十九中 审 题 人：张小荣 学校：南昌十九中
考试时间：2019.01.24 试卷总分：150分
第I 卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．已知集合 ，集合 ，且 ，若集合 ，则实数 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2．下列有关命题的说法正确的是（ ） A ． 命题“若，则
”的否命题为“若
，则
”
B ． 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题
C ． 命题“，使得
”的否定是“
，都有
”
D ． 命题“若
，则
”的逆否命题为真命题
3．若 ，则下列不等式关系中，不能．．成立的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙
两组数据的平均数分别为 甲、 乙，标准差分别为 甲 乙，则（ ）
A ． 甲 乙， 甲 乙
B ． 甲 乙， 甲 乙
C ． 甲 乙， 甲 乙
D ． 甲 乙， 甲 乙
5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）
A ． 808π+
B ． 804π+
C ． 808π-
D ． 804π- 6．函数
（ ）的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的a 的值为4，则输出的m 的值为（ ） A ． 19 B ． 35 C ． 67 D ． 131 8．在1和17之间插入n-2个数，使这n 个数成等差数列，若这
n-2个数中第一个为a ，第n-2个为b,当
取最小值时，n 的值为（ ）
A ． 6
B ． 7
C ． 8
D ． 9
9．将函数
的图象，向右平移
个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A ． 函数 的最小正周期为
B ． 函数 在区间
上单调递增
C ． 函数 在区间 上的最小值为
D ．
是函数 的一条对称轴 10．已知函数 ，若关于 的方程 有4个不同的实
数解，则 的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．焦点为F 的抛物线2
:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当
MA MF
取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）
A ． 2y x =+或2y x =--
B ． 2y x =+
C ． 22y x =+或 22y x =-+
D ． 22y x =-+
12.定义：如果函数 在区间 上存在 ，满足
a b a f b f x f --=
)()()(1'，a
b a f b f x f --=)()()(2'
，则称函数 是在区间 上的
一个双中值函数，已知函数
是区间 上的双中值函数，则实数 的取
A ．
B ．
C ．
D ．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在直角梯形 中， ， ，则向量 在向量 上的投影为_______.
14．已知实数x ，y 满足不等式组且z=2x-y 的最大值为a ，则
dx x
a ⎰
π
22
cos
=_______.
15．已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列， n S 为其前n 项和，且)
*n a n N =∈．若不等式8
n
n a n
λ
+≤
对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的最大值为________
16．已知正方形 的边长为 ，将 沿对角线 折起，使平面 平面 ，得到如图所示的三棱锥 ，若 为 边的中点， 分别为 上的动点（不包括端点），且 ，设 ，则三棱锥 的体积取得最大值时，三棱锥 的内切球的半径为_______.
三、解答题（共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 17．已知在 中， 所对的边分别为 ，
.
（1）求 的大小； （2）若 ，求
c
a
的值. 18．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”. （1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，从社会上任取3人，记 表示随机抽取3人中被系统评为“积极型”的人数，求 和 的数学期望.
（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其中男性中被系统评定为“积极型”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极型”的人数为 ；其中女性中被系统评定为“积极型”和“懈怠型”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极型”的人数为 ；求 的概率.
19.如图，四棱锥中，⊥底面，底面
为梯形，，，且，点是棱上的动点.
（Ⅰ）当∥平面时，确定点在棱上的位置； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角的余弦值. 20．对称轴为坐标轴的椭圆 的焦点为 ， ，
在 上.（1）求椭圆 的方程；
（2）设不过原点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且直线 ， ， 的斜率依次成等比数列，则当 的面积为
时，求直线 的方程. 21．已知函数 . （1）当 时，讨论 的极值情况； （2）若 ，求 的值.
请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
(其中 为参数)，曲线
.以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 、 的极坐标方程；
(2)射线 与曲线 、 分别交于点 (且 均异于原点 )当
时，求 的最小值.
23．设函数 .
（1）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围； （2）若 是（1）中的最大值，且 ，证明： .
P ABCD -PA ABCD ABCD //AB DC ︒=∠=∠90CAD ABC PA AB BC ==E PB PD EAC E PB A CE P -
-
联考理科数学参考答案
1．C 2．B 3．D 4．C 5．B 6．A
7．C 8．D 9．C 10．B 11．A 12．A
13．14．15．9 16．
17．解：（1）∵,
∴，即，
∴，∴，∴
又，∴或
（2）∵，∴
又由余弦定理得，∴
当时，则，∴，∴，
当时，则，
∴，，此方程无解.
综上所述，当且仅当时，可得.
18.（1）被系统评为“积极性”的概率为.
故，
的数学期望；
（2）“”包含“”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，
，
，
30
1
)0,3(240
23634=
⨯===C C C C y x P ， 5
2)1,2(241212361224=⨯===C C C C C C y x P ，
，
，
所以
.
19．解：（Ⅰ）在梯形中，由，，得，
∴．又，故为等腰直角三角形.
∴.
连接，交于点，则
∥平面,又平面,∴.
在中，
， 即时，∥平面.
（Ⅱ）方法一：在等腰直角中，取中点，连结，则．∵平面⊥平面，且平面平面=，∴平面．
在平面内，过作直线于，连结，由、，得平面，故．∴就是二面角的平面角． 在中，设，则，
，，， 由，可知：∽，∴
， ABCD AB BC ⊥AB BC =4
BAC π
∠=
4
DCA BAC π
∠=∠=AC AD ⊥DAC
∆)
2DC AB =
==BD AC M 2.DM DC
MB AB
==PD EAC EAC
PDB ME =平面//PD EM BPD ∆2PE DM
EB MB
==2PE EB =PD EAC PAB ∆PB N AN AN PB ⊥PAB PCB
PAB
PCB PB AN ⊥PBC PBC N NH ⊥CE H AH AN CE ⊥NH CE ⊥CE ⊥ANH AH CE ⊥AHN ∠A CE P --Rt PBC ∆CB a
=PB =
=133BE PB a =
=166
NE PB a =
=3CE a ==NH CE ⊥EB CB ⊥NEH ∆CEB ∆NH CB
NE CE
=
代入解得：．在中，，∴， ． ∴二面角的余弦值为
． 方法二：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系．
设，则，
，，，． 设为平面的一个法向量，则
，，∴，
解得，∴．
设为平面的一个法向量，则，，
又，，∴，解得 ∴． ∴二面角
．
20．（1）设椭圆 的方程为
，
由题意可得 ，又由 ，得 ，故 ， 椭圆 的方程为
；
（2）设 ， . 由题意直线 的方程为： ， 联立
得 ，
NH =
Rt AHN ∆2
AN a =
tan AN AHN NH ∠==cos 6AHN ∠=
=A CE P --6
A ,A
B AP y z PA AB B
C a ===()0,0,0A ()0,,0B a (),,0C a a ()0,0,P a 20,,33a a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
)1,,(1y x n =EAC ⊥1n AC ⊥1n AE 0,20.33ax ay ay a +=⎧⎪
⎨+=⎪⎩11,22x y ==-)1,2
1
,21(1-=n 2(',',1)n x y =PBC ⊥2n BC ⊥2n BP (),0,0BC a =(0,,)BP a a =-'
'0,
0,
ax ay a =⎧⎨-+=⎩'0,'1x y ==)1,1,0(2=n 1212123
cos ,6||||
n n n n n n ⋅∴<>=
=⋅A CE P --
，化简，得①
②，③
直线，，的斜率依次成等比数列，，
，化简，得
，，又，，
且由①知.
原点到直线的距离.
，解得（负舍）或（负舍）.
直线的方程为：或.
21．（1）
．
因为，由得，或．
①当时，，单调递增，故无极值．
②当时，．,,的关系如下表：
故有极大值，极小值．
③当时，．,,的关系如下表：
故有极大值，极小值．
综上：当时，有极大值，极小值；
当时，无极值；
当时，有极大值，极小值．
（2）令，则．
（i）当时，，
所以当时，，单调递减，所以，此时，不满足题意．
（ii）由于与有相同的单调性，因此，由（Ⅰ）知：
①当时，在上单调递增，又，
所以当时，；当时，．
故当时，恒有，满足题意．
②当时，在单调递减，
所以当时，，
此时，不满足题意．
③当时，在单调递减，
所以当时，，
此时，不满足题意．
综上所述：．
22.（1）曲线的普通方程为，的极坐标方程为
的极坐标方程为
（2）联立与的极坐标方程得，
联立与的极坐标方程得，
则= =
=
（当且仅当时取等号）.
所以的最小值为
23．（1）
存在，使得
（2）由（1）知:
而
①
②
由①②
古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

知识就是机积累起来的，经验也是积累起来的。

我们对什么事情都不应该像“过眼云烟”。

学习知识要善于思考，思考，再思考。

——爱因斯坦
镜破不改光，兰死不改香。

——孟郊
生活的全部意义在于无穷地探索尚未知道的东西，在于不断地增加更多的知识。

—
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

好比吃饭一样，要嚼得烂，方好消化，才会对人体有益。

——陶铸
研卷知古今；藏书教子孙。

——《对联集锦》
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

——《礼记》
知识是珍贵宝石的结晶，文化是宝石放出来的光泽。

——泰戈尔
你是一个积极向上，有自信心的孩子。

学习上有计划、有目标，能够合理安排自己的时间，学习状态挺好；心态平和，关心、帮助同学，关心班集体，积极参加班级、学校组织的各项活动，具有较强的劳动观念，积极参加体育活动，尊敬师长。

希望你再接再厉，不满足于现状，争取做的更好。