人教版初中九年级上册数学课件 《解一元二次方程》一元二次方程教学课件

5 2
1
,
r2
5 1 2
(舍去).
答：小圆形场地的半径是 5 m. 2 1
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1. 将方程左边因式分解，右边等于0;
2. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个 一元一次方程.
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.
AB=0
A=0或B=0
（A、B表示两个因式）
解：化为一般式为 6x2－x－2=0.
因式分解，得
(3x－2)(2x+1) =0.
解：变形有
(x－4) 2－ (5－2x)2=0.
因式分解，得
(x－4－5+2x)(x－4+5－2x) =0.
有3x－2=0或2x+1=0，
x1
2 3
,
x2
1 2
.
(3x－9)(1－x) =0.
有3x－9=0或1－x=0，
x1 a,x2 a
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数 一半的平方;
4.变形:化成( x m)2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一 定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开 平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法 （适当也可考虑配方法）
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看 不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理 的方法。
例3解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
解：（1）因式分解，得 (2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
4x2 1 0.
于是得
因式分解，得 (2x＋1)(2x－1)=0.
x1
100 ， 49
x2 0
探究
10x 4.9x2 0
如果a·b=0，那么 a=0或b=0。
因式分解
x 10 4.9x 0
两个因式乘积为0，说明什么 降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1 0,
x2
100 49
2.04
这种解法是不是 很简单？
2、用适当方法解下列方程 ① -5x2-7x+6=0
② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2 3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
（5） 3t(t+2)=2(t+2)
小结： 1、 ax2+c=0====>
ax2+bx=0====>
直接开平方法 因式分解法
ax2+bx+c=0====>
公式法（配方法）
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精 确到0.01s）
提示
设物体经过xs落回地面，这时它离地 面的高度为0，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
解：4.9x2 10x 0
49
x2
100 49
（1）x2+x=0
解：因式分解，得 x (x+1) =0. 得x=0或x+1=0，
x1=0, x2=－1.
2 x2 2 3x 0
解：因式分解，得
x x 2 3 0.
得 x 0 或 x 2 3 0, x1 0, x2 2 3.
3 3x2 6x 3, 4 4x2 121 0
选用适当的方法解一元二次方程
1.解一元二次方程的方法有：
①因式分解法 ②直接开平方法 ③公式法 ④配方法
（方程一边是0，另一边整式容易因式分解） （ ()2=CC≥0） (化方程为一般式） （二次项系数为1，而一次项系为偶数）
2.引例：给下列方程选择较简便的方法
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
以上解方程①的方法是如何使二次方程降为一次的?
可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用开平 方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘 积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而 实现降次.这种解法叫做因式分解法.
提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“ab=0,则a=0或b=0”
3.公式法：1 x2 x 1
2 y 1 y 1 2 2 y
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没 有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括 号并整理为一般形式再选取合理的方法。
①x2-3x+1=0②3x2-1=0 ③-3t2+t=0④x2-4x=2 ⑤2x2－x=0⑥5(m+2)2=8 ⑦3y2-y-1=0⑧2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2) 适合运用直接开平方法； 适合运用因式分解法； 适合运用公式法； 适合运用配方法.
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
实际问题
根据物理学规律，如果把一个物 体从地面10m/s的速度竖直上抛， 那么经过xs物体离地面的高度 （单位：m）为
以上解方程 x10的方法4是.9如x何使二0次方程
降为一次的？
x10 4.9x 0 ①
x 0 或 1 0 4.9x 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开 方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘 积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而 实现降次，这种解法叫做因式分解法．
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
请用四种方法解下列方程: 4(x＋1)2= (2x－5)2
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
按要求解下列方程：
1.因式分解法： 3 x 22 x x 2
2.配方法： 2x2 5x 3 0
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4ac
.b2
4ac
0
.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
一移-----方程的右边=0;
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边化为_____零_。
2. 将方程左边分解成两个______一__次___因的式乘积。 3. 至少_____有___一因个式为零，得到两个一元一次方程。
4. 两个___________________就是原方程的根。
一元一次方程的解
课前练习
（1）2x2－4x＋2=0
（2） 3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得 3x(x 2) 5(x 2) 0
因式分解，得 (x 2) (3x 5) 0
x＋2=0 或 3x－5=0
∴x1=－2，
5
x2=
3
（3）x2－4=0
解：因式分解，得 (x＋2) (x－2) =0
x＋2=0 或 x－2=0
∴x1=－2， x2=2
用最好的方法求解下列方程
1)（3x-2）²-49=0
2)（3x-4）²=（4x-3）²
3) 4y=1－3y² 2
选择适当的方法解下列方程:
1
16 25
x2
1
25x2 2x
33x2 1 4x
4(x 2)2 9x2
5x(3x 7) 2x
6x(2x
7)
49 8
7(2x1)2 (3x1)2 8(x 1)(x1) 2 2x
解：化为一般式为
x2－2x+1=0.
因式分解，得 (x－1)(x－1) =0. 有x－1=0或x－1=0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得 (2x+11)(2x－11) =0.
有2x+11=0或2x－11=0，
x1
11, 2
x2
11.源自文库2
5 3x2x 1 4x 2 6 x 42 5 2x2
（4）(3x＋1)2－5=0
解：因式分解，得
3x 1 5 3x 1 5 =0
3x 1 5 0 或 3x 1 5 0
∴
x1
1 3
5 ，x2
1 3
5
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
x
50 49
2
0
50 49
2
a=4.9，b=－10，c=0
x
50 49
2
50 49
2
b2－4ac = (－10)2－4×4.9×0=100
x 50 50 49 49
x 50 50 49 49
x1
100 49
，
x2 0
x b b2 4ac 10 10
2a
2 4.9
x1=3, x2=1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增 加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r 根据题意 (r+5)2×π=2r2π. 因式分解，得
r 5 2r r 5 2r 0.
于是得 r 2r 5 0或r 2r 5 0.
r1
⑵ 3x2-2=0
（运用直接开平方法）
⑶ x2-4x=6
（运用配方法）
⑷ 2x2-x-3=0
（运用公式法）
⑸ 2x2+7x-7=0 （运用公式法）
②公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能 否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法， 若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
解一元二次方程
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
直接开平方法 x2=a (a≥0) 配方法 (x+m)2=n (n≥0)
公式法
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
回顾与复习 2
（2） 3x(x 2) 5(x 2)
（3）x2－4=0 （4）(3x＋1)2－5=0
（1）2x2－4x＋2=0 解：因式分解，得 2 (x－1) =0
x－1=0 或 2x－1=0
∴x1= x2=1
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
我的发现
一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；
若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先 化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若 容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用 配方法也较简单。
x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1.
2x＋1=0或2x－1=0,
于是得
x1
1 2
,
x2
1 2
.
练习
1.解下列方程： （1）x2 x 0; (2) x2 2 3x 0; (3) 3x2 6x 3; (4) 4x2 121 0; (5) 3x(2x 1) 4x 2; (6) ( x 4)2 (5 2x)2 .