北京市101中学2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试卷及答案

北京101中学2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试卷

本试卷满分120分，考试时间100分钟

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 设i

i

z +-=

11，则|z |=（ ） A. 1

B. 2

C.

2

D. 22

2. 设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线x sinA+ay +c =0与直线bx -y sinB+sinC=0的位置关系是（ ）

A. 平行

B. 重合

C. 垂直

D. 相交但不垂直

3. 已知下列三个命题：

①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；

②z 1，z 2都是复数，若z 1+ z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数； ③复数z 是实数的充要条件是z =z 。 则其中正确命题的个数为（ ） A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

4. 椭圆14

22

=+y x 的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为（ ）

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 以上答案均不正确

5. 已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9。动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（ ）

A.

148642

2=-y x

B.

164482

2=+y x C.

164

482

2=-y x

D.

148

642

2=+y x 6. 已知F 是抛物线x y =2

的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，3||||=+BF AF ，则线段AB 的中点D 到y 轴的距离为（ ）

A.

4

3

B. 1

C.

4

5

D.

4

7 7. 正四棱锥S-ABCD 底面边长为2，高为1，E 是棱BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0=⋅AC PE ，则动点P 的轨迹的周长为（ ）

A. 1+2

B.

2+3 C. 22

D. 23

8. 设点P 为双曲线122

22=-b

y a x （a >0，b >0）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，

垂足分别为A ，B ，若点A ，B 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）

A. （1，

3

3

2]

B. （1，2]

C. [3

3

2，+∞）

D. [2，+∞）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 若抛物线px y 22

=的焦点与双曲线13

62

2=-y x 的右焦点重合，则p 的值为________。 10. 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则⋅的值为_________。

11. 已知点A （-1，0），B （1，0），过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若⋅=λ2

||，当λ≠0时，动点M 的轨迹可以是__________。（把所有可能的序号都写上）

①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线。 12. 过点M （

2

1

，1）的直线l 与圆C ：（x -1）2+y 2=4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为___________。

13. 斜率为1的直线l 与椭圆14

22

=+y x 相交于A ，B 两点，则|AB|的最大值为_________。 14. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动。平面区域W 由所有满足5≤|A 1P|≤6的点P 组成，则W 的面积是________；四面体P-A 1BC 的体积的最大值是____________。

三、解答题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. （本小题8分）

已知复数z满足|z|=2，z的实部大于0，z2的虚部为2。

（1）求复数z；

（2）设复数z，z2，z-z2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（OA+OB）·OC 的值。

16. （本小题8分）

如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=2，OB=1。△AOC可以通过△AOB以直线AO 为轴旋转得到，且OB⊥OC，点D为斜边AB的中点。

（1）求异面直线OB与CD所成角的余弦值；

（2）求直线OB与平面COD所成角的正弦值。

17. （本小题12分）

已知三棱锥P-ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为2

的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形。在三棱锥P-ABC 中，

（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）求二面角A-PC-B 的余弦值； （3）若点M 在棱PC 上，满足λ=CP CM ，λ∈[31，3

2

]，点N 在棱BP 上，且BM ⊥AN ，求

BP

BN

的取值范围。 18. （本小题10分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，

抛物线C ：px y 22

=（p >0）。

（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q 。 ①求证：线段PQ 的中点坐标为（2-p ，-p ）； ②求p 的取值范围。