高等数学下无穷级数ppt课件

则 级数成为
因此级数发散 ;
因此
Sn


a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知,q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发
散.
例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn

ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
边形,设 a0 表
示
这个和逼近于圆的面积 A .
即
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依

次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项
和
称为级数的部分和.
则称无穷级数
收敛 ,并称 S 为级数的和,记作
证: 因
为
1
n (n 1)
1 (n 1)2
而级数



k 2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
定理3. (比较审敛法的极限形式)设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 两个级数同时收敛或发散 ;
时,
(2) 当 l =
0
(3) 当 l
=∞
是两个正项级数,
(1) 当0 l 两个级数同时收敛或发散 ;
时,
(2) 当l 0
vn且
也收敛 ;
收敛时,
(3) 当l vn且
也发散 .
发散时,
特别取 vn

1 np
,
对正项级数 un ,
可得如下结论
:
0l
lim n p nn l
n
p 1, 0l
n1
乘以常数 c 所得级
数
也收敛 ,其和为 c S .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不
性变质.2. 设有两个收敛级数


S un, vn
n1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和 S .
n1
为
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或
减.
的和.
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发 散注.意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(11) (11) 0 , 但
发散.
三、级数收敛的必要条件
性质5、设收敛级数
则必有
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发
散. 例如,
其一般项为
不趋于0,因此这个级数发散.
un 发散 un 收敛
例3.
判别级数

sin
n1
1 n
的敛散性
.
sin
1 n
～
1 n
1 1)
p1


n
n k 1
k
1
p 1
(k
1 1) p1

1
(n
1 1) p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收
敛.
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在N Z , 对一切 n N ,
例2. 证明级数
发散 .
(2) 若弱级数 发散 ,则强级数 也发散 .
例1. 讨论 的敛散性.
p
级数1
1 2p

1 3p



1 np
(常数
0)
p
>
解: 1) 若
p 1, 因为对一切 1 n

而调和级数
n1
1 n
发散
,由比较审敛法可知
p
级数
发散 .
2) 若
p 1,因为当
1
np

n n1
1 np

(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , ( un vn )
则 必发散 .
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级 的敛散性数. 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
d
x
时, 1 np

1 xp
,
故

n1 n1 x p
dx

1 p 1
1 (n 1) p1

1 n p1

考1虑强2 p1级1数 n22
p1(n1113)
1
pp11
np11

n的p1部1分 (和n




1 2

1 3



1 3

1 4



1 n

n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1.
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数

收敛于 S ,即 S un , 则各项
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 则部分和
因此级数收敛
,其和为
a 1q
;
因此级数发散 .

aa qn 1q
从而 lim Sn
n

a 1q
从而
lim
n
Sn


,
2). 若
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其审敛法

若 un 0, 则称 un 为正项级数 .
n1
定理 1. 正项级 数
收敛
部分和序列 有界 .
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有 (1) 若强级数 收敛 ,则弱级数
(常数 k >
0 ), 也收敛 ;
注意:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级 数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S ,
则
但
S2n Sn
1 1 1 1
n1 n 2 n3
2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
第十一章
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
第十一章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数（数一）
第十一章
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件
一、常数项级数的概念
引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正
内接正三角形面积, ak 表示边数
增加时增加的面积, 则圆内接正
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧:
利用 “拆项相消” 求和
(2)
Sn

1 1 2

1 23

1 34

n
1 (n 1)ຫໍສະໝຸດ 1 1 2