19-20版 第2章 §3 3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2 空间向量基本定理

§3向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1空间向量的标准正交分解与坐标表

示

3.2空间向量基本定理

学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义．(重点) 2.掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标．(重点) 3.理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底．(难点)

1．标准正交基

在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的单位

向量i，j，k叫作标准正交基．

2．标准正交分解

设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数组(x，y，z)，使得a＝x i＋y j＋z k，则把a＝x i＋y j＋z k叫作a的标准正交分解．3．向量的坐标表示

在a的标准正交分解中三元有序实数组(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，a ＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．

思考：平行于坐标轴或坐标平面的向量，如何用坐标表示？

[提示](1)当向量a平行于x轴时，纵坐标，竖坐标都为0，即a＝(x，0，0)．

(2)当向量a平行于y轴时，横坐标，竖坐标都为0，即a＝(0，y，0)．

(3)当向量a 平行于z 轴时，横坐标，纵坐标都为0，即a ＝(0，0，z )． (4)当向量a 平行于xOy 平面时，竖坐标为0，即a ＝(x ，y ，0)． (5)当向量a 平行于yOz 平面时，横坐标为0，即a ＝(0，y ，z )． (6)当向量a 平行于xOz 平面时，纵坐标为0，即a ＝(x ，0，z )． 4．向量坐标与投影

(1)i ，j ，k 为标准正交基，a ＝x i ＋y j ＋z k ，那么a·i ＝x ，a·j ＝y ，a·k ＝z ．把x ，y ，z 分别称为向量a 在单位向量i ，j ，k 上的投影．

(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．

(3)一般地，若b 0为b 的单位向量，则称a·b 0＝|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影．

5．空间向量基本定理

如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3．

思考：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？

[提示] 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．

1.判断正误

(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．

( ) (2)向量AP →

的坐标与点P 的坐标一致．

(3)对于三个不共面向量a 1，a 2，a 3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使λ1a 1＋λ2a 2＋λ3a 3＝0.

( )

[答案] (1)× (2)× (3)×

2．若向量a 、b 、c 是空间的一个基底，向量m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，那么可以与m 、n 构成空间的另一个基底的向量是( )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．2a

C [只有c 与m ，n 不共面，故c ，m ，n 可作一组基底．] 3．向量a ＝(0，2，3)，则( ) A ．a 平行于x 轴 B ．a 平行于平面yOz C ．a 平行于平面zOx

D ．a 平行于平面xOy

B [因为a 的横坐标为0，所以a 平行于平面yOz .]

4．若向量i ，j ，k 为空间直角坐标系上对应x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位向量，且设a ＝2i －j ＋3k ，则向量a 的坐标为________．

(2，－1，3) [根据空间向量坐标的定义知，a ＝(2，－1，3)．

]

【例1】 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ＝e 1＋2e 2－e 3，OB ＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →

}能否作为空间的一个基底．

[解] 假设OA →，OB →，OC →

共面． 则存在实λ，μ使得OA →＝λOB →＋μOC →

，

∴e 1＋2e 2－e 3＝λ(－3e 1＋e 2＋2e 3)＋μ(e 1＋e 2－e 3) ＝(－3λ＋μ)e 1＋(λ＋μ)e 2＋(2λ－μ)e 3， ∵e 1，e 2，e 3不共面，

∴⎩⎪⎨⎪

⎧－3λ＋μ＝1，λ＋μ＝2，2λ－μ＝－1此方程组无解， ∴OA →，OB →，OC →

不共面，

∴{OA →，OB →，OC →

}可以作为空间的一个基底．

空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．

1．设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组：

①{a ，b ，x }；②{x ，y ，z }；③{b ，c ，z }；④{x ，y ，a ＋b ＋c }． 其中可以作为空间的基底的向量组有________个．

3 [如图所设a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →

，a ＋b ＋c ＝AC 1→

.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．]

【例2】 如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量.