2014年高考全国2卷理科数学试题(含解析)

绝密★启用前
2014年高考全国2卷理科数学试题（含解析）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分
一、选择题（题型注释）
1．设复数
1
z ，
2
z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，
12z i
=+，则
12z z =
（ ）
A.- 5
B.5
C.- 4+ i
D.- 4 - i 2．设向量a,b 满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a ⋅b = ( ) A.1 B.2 C.3 D.5
3．钝角三角形ABC 的面积是1
2，AB=1，BC=2 ，则AC=( )
A.5
B.5
C.2
D.1
4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
5．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A.1727
B.59
C.1027
D.1
3
6．执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A.4 B.5 C.6 D.7
7．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A.0 B.1 C.2 D.3
8．设F 为抛物线C:2
3y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，
则
△OAB 的面积为（ ）
A.33
B.93
C.6332
D.94
9．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）
A.110
B.2
5 C.30 D.2
10．设函数()3x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()2
2200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范
围是（ ） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),11,-∞-⋃∞
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题（题型注释）
11．
()10
x a +的展开式中，7
x 的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)
12． 函数
()()()
sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.
13．已知偶函数()
f x 在
[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________. 14．设点M （0
x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x
的取值范围是
________. 评卷人
得分
三、解答题（题型注释）
15．已知数列
{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.
（1）证明
{}12n
a +是等比数列，并求{}n
a 的通项公式； （2）证明：12
3
1112n a a a ++<…+. 16．如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.
（1）证明：PB ∥平面AEC ；
（2）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD 的体积.
17．某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：
年份 2 2 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求y 关于t 的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i i t t y y b t t ∧
==--=
-∑∑，ˆˆa y bt =-
18．设1F ,2F 分别是椭圆()
2
22
210y x a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直
线
1
MF 与C 的另一个交点为N.
（1）若直线MN 的斜率为3
4，求C 的离心率；
（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N
=，求a,b.
19．已知函数()f x =2x x e e x
---.
（1）讨论()
f x 的单调性；
（2）设
()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，
()0
g x >,求b 的最大值；
（3）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）
20．如图，P 是
O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与
O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为
PC 的中点，AD 的延长线交
O 于点E 。

证明：（1）BE=EC ； （2）AD ⋅DE=22
PB
21．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为
2cos ρθ=，
0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥
⎣
⎦.
（1）求C 的参数方程；
（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
22．设函数()f x =1
(0)
x x a a a ++->
（1）证明：()f x ≥
2；
（2）若
()35
f <，求a 的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】由题意知：
22z i
=-+，所以
12z z =
-5，故选A 。

考点：本小题主要考查复数的乘法，复数的几何意义，复数是高考的重点，年年必考，常常以选择或填空题的形式出现，难度不大，熟练基础知识是关键。

2．A
【解析】因为2
2
||()a b a b +=+=22
2a b a b ++⋅=10，
2
2
||()a b a b -=-=2226a b a b +-⋅=，两式相加得：22
8a b +=，所以1a b ⋅=，故选A.
考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基础知识
与基本题型是解答好本类题目的关键。

3．B
【解析】由面积公式得：11
2
2B =
，解得sin 2B =，所以45B =或135B =，当45B =时，
由余弦定理得：2
1245AC =+-=1，所以1AC =，又因为AB=1，
，所以此时ABC ∆为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B =
，由余弦定理得：
212AC =+-=5
，所以AC = B.
考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.
4．A
【解析】设A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，则
()0.6
(|)0.8
()0.75P A B P B A P A ⋂=
==，故选A.
考点：本小题主要考查条件概率的求法，熟练概率的基础知识是解答好本类题目的关键.
5．C
【解析】因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积
154V π
=，又因为加工后的零件，
左半部为小圆柱，半径为2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，所以体积
2161834V πππ=+=，所以削掉部分的体积与原体积之比为
543410
5427πππ-=，故选C. 考点：本小题主要考查立体几何中的三视图，考查同学们的空间想象能力.
6．D
【解析】由题意知：当1k =时，2M =，5S =；当2k =时，2M =，7S =；当3k =时，输出S=7，故选D 。

考点：本小题主要考查程序框图的基础知识，程序框图是新课标新增内容，是高考的重点，年年必考，主要以客观题的形式出现，经常也数列、不等式、函数等知识相结合，在知识的交汇处出题，应熟练这部分的基础知识.
7．B
【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形，平移直线
2
z x y
=-，可知当
经过两条直线
310
x y
-+=与70
x y
+-=的交点A（5，2）时，取得最大值8，故选B.
考点：本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题，正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.
8．D
【解析】由题意可知：直线AB
的方程为
3
)
4
y x
=-
，代入抛物线的方程可得：2
490
y--=，设A11
(,)
x y
、B22
(,)
x y
，则所求三角形的面积
为13
24
⨯
9
4，故选D.
考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
9．C
【解析】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线1
CC
为z轴，则设CA=CB=1，则
(0,1,0)
B，
11
(,,1)
22
M
，A（1，0，0），
1
(,0,1)
2
N
，故
11
(,,1)
22
BM=-
，
1
(,0,1)
2
AN=-
，所以
cos,
||||
BM AN
BM AN
BM AN
⋅
==
⋅
3
22
=
10，故选C.
考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.
10．C
【解析
】由题意知：
()
f x
的极值为，所以
()
2
3
f x=
⎡⎤
⎣⎦，因为
'0
()0
x
f x
m m
π
π
==
，
所以
0,
2
x
k k z
m
ππ
π
=+∈
，所以
1
,
2
x
k k z
m
=+∈
即
11
||||
22
x
k
m
=+≥
，所以
||||
2
m
x≥
，
即
2200[()]x f x +≥24m +3，而已知()2
22
00x f x m +<⎡⎤⎣⎦，所以224m m >+3，故2334m >，
解得2m >或2m <-，故选C.
考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，
考查分析问题与解决问题的能力.
11．12
【解析】因为
10110r r r
r T C x a
-+=，所以令107r -=，解得3r =，所以
373
410T C x a
==157
x ，
解得
1
2a =
.
考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档. 12．1 【
解
析
】
由
题
意
知：
()()()
sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=
()()
sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+ =
()sin cos x ϕϕ++
()cos sin x ϕϕ+-()
2sin cos x ϕϕ+=
()cos sin x ϕϕ+-
()
sin cos x ϕϕ+
=
()sin[]x ϕϕ+-=sin x
，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1.
考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答
好本类题目的关键. 13．(1,3)-
【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式(1)0(|1|)(2)f x f x f ->⇔->，又因为
()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以|1|2x -<，解得13x -<<.
考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键. 14．[1,1]-
【解析】由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，
过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以||||sin 45OA OM ==
2
|1OM ≤，
解得||2OM ≤M （0x ,1），所以20||12OM x =+≤011x -≤≤，故
x 的取值范围是
[1,1]-.
考点：本小题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力，考查同学们分析问题和解决问题的能力，有一定的区分度.
15．n a =312n -
【解析】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后
利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出1
n a ，然后转化为
等比数列求和，放缩法证明不等式.
试题解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以11
23
12n n a a ++
=+，所以
12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1
3
32n -⋅，解得n
a =31
2n -.
（2）由（1）知：n a =312n -，所以1231n
n
a =-，
因为当1n ≥时，1
3123
n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是1
1a +2
1a +1
n
a 11113
3n -≤++
+
=31(1)23n -3
2<
，
所以1
1a +21a +1n a 3
2<.
【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当1n ≥时，
13123n n --≥⋅，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.
考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.
16．8
【解析】试题分析：本题第（1）问，证明直线与平面平行，可利用线面平行的判定定理来证明；对第（2）问，可先建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算计算二面角，从而计算出AB ，然后由棱锥的体积公式求出三棱锥的体积.
试题解析：（1）证明：设O 为AC 与BD 交点，连结OE ，则由矩形ABCD 知：O 为BD 的中点，因为E 是BD 的中点，所以OE ∥PB ，因为OE ⊂面AEC ，PB ⊄面AEC ，所以PB ∥平面AEC 。

（2）以A 为原点，直线AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB=m ，则
(,0,0)AB m =是平面AED 的一个法向量，设(,,)n x y z =是平面AEC
的法向量，则 31
0220n AE
y z n AC mx ⎧⋅=+=
⎪⎨
⎪⋅=+=⎩，解得z =
，
mx =-，所以令1y =-，得
3
(
,n
m =-，所以
cos ,n AB
=
，因为二面角的大小与其两个半平面的两个法向
量的夹角相等哉互补，所以
cos ,n AB =
=cos 60，解得
3
2m =
，因为E 是PD
的中点，所以三棱锥E-ACD 的高为12，所以三棱锥E-ACD 的体积为11
3
2ACD S ∆⨯⨯
=
1162m ⨯
=113
62
2⨯
=
. 【易错点】对第（1）问，证明线面平行时,容易漏掉条件；对第（2）问，二面角的大小与
两个法向量夹角相等或互补的关系，一部分同学容易得出它们相等；并且计算法向量可能出现错误.
考点：本小题考查空间中直线与平面平行等位置关系的证明、二面角的求解，空间几何体的体积的求法，考查利用空间向量知识解决立体几何的能力，考查同学们的逻辑推理能力、空间想象能力，考查分析问题以及解决问题的能力.
17．（1）0.5 2.3y t =+；（2）在2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加0.5千元；6.8千元.
【解析】试题分析：本题第（1）问，由给出的b 与a 公式求出b 与a ，从而求出回归直线方程；对第（2）问，由第（1）问求出的回归直线方程进行预测，令9t =，可得y 的近似值.
试题解析：（1）由题意知，4t =，
4.3y =，所以b =
3 1.420.700.5 1.83 1.6
9410149⨯++++++⨯++++++=0.5，
所以a =y bt -=4.30.54-⨯=2.3，所以线性回归方程为0.5 2.3y t =+。

（2）由（1）中的线性回归方程可知，0b >，所以在2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加0.5千元.
令9t =得：0.59 2.3 6.8y =⨯+=，故预测该地区在2015年农村居民家庭人均纯收入为
6.8千元。

【易错点】本题的易错点是第（1）问计算错误，第（2）问在2007至2013年该地区农村
居民家庭人均纯收入的变化情况，不知道如何回答.
考点：本小题主要考查线性回归方程的解法等基础知识，属中档题目，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
18．（1）1
2；（2）7a =
，b =
【解析】试题分析：本题第（1）问，可结合2
MF 与x 轴垂直，由勾股定理及椭圆定义求
出椭圆的离心率；对第（2）问，观察到
2
MF 是三角形的中位线，然后结合向量的坐标运
算及椭圆方程，可求出a,b.
试题解析：（1）由题意知，2||324MF c =，所以23
||2MF c =，由勾股定理可得：15||2MF c =
，由椭圆定义可得：32c +52c =2a ，解得C 的离心率为1
2。

（2）由题意，原点O 为
12
F F 的中点，
2
MF ∥y 轴，所以直线
1
MF 与y 轴的交点D （0，2）
是线段1
MF 的中点，故2
4b a =，即24b a =，由15MN F N =得11||2||DF F N =，设11(,)
N x y ，由题意知
10
y <，则
112()22c x c y --=⎧⎨-=⎩，即11321x c y ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩，代入C 的方程得2229114c a b +=，将24b a =
及c =2229114c a b +=得：22
9(4)1144a a a a -+=，解得7a =
，b =
【易错点】对第（1）问，较容易，大部分同学都能计算出；对第（2）问,一部分同学考虑不到中位线，
容易联立方程组求解而走弯路，并且容易出现计算失误.
考点：本小题考查椭圆的几何意义（离心率的求解）、椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.
19．（1）函数()f x 在R 上是增函数；（2）2；（3）0.693
【解析】试题分析：本题第（1）问，判断函数的单调，关键是判断导数的正数；对第（2）问，可构造函数()g x =(2)4()f x bf x -，对（3）问，可根据b 的取值讨论.
试题解析：（1）因为
'1
()20x x f x e e =+
-≥，当且仅当0x =时等号成立，所以函数
()f x 在R 上是增函数；
（2）因为()g x =(2)4()f x bf x -=
224()(84)x x x x e e b e e b x -----+-， 所以'
()g x =222[2()(42)]x x x x e e b e e b --+-++-=
2(2)(22)x x x x e e e e b --+-+-+. (1)当2b ≤时, '
()0g x ≥,等号仅当0x =时成立，所以()g x 在R 上单调递增，而
(0)0g =，所以对任意0x >，()0g x >；
（2）当2b >时，若x 满足222x x e e b -<+<-
，即0ln(1x b <<-时，'()0g x <，而(0)0g =，
因此当
0ln(1x b <≤-时，()0g x <， 综上，b 的最大值为2.
（3）由（2
）知，32(21)ln 22g b =
-+-，
当2b =
时，36ln 202g =->
，ln 20.6928>>；
当14b =
+
时，ln(1b -=
，
32)ln 22g =--0<，
18ln 20.693428+<<，所以ln 2的近似值为0.693.
【易错点】对第(Ι)问,函数单调性的判断，容易;对第（2）问,考虑不到针对b 去讨论；对第（3）问,
找不到思路.
考点：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，综合性较强，考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法，考查同学们分析问题、解决问题的能力，熟练函数与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键.
20．（1）见解析 （2）见解析
【解析】试题分析：本题第（1）问，先由已知得出PA=PD ，然后由对应角相等，拆分角得出结论；对第（2）问，可由切割线定理得出2PA PB =，4PC PB =，
然后由相交弦定理，得出结论.
试题解析：（1）连结AB ，AC ，由题意知PA=PD ，故PAD PDA ∠=∠，因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠，
PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DCA PAB ∠=∠，所以DAC BAD ∠=∠，从而BE EC =，因此BE=EC.
（2）由切割线定理得：2PA PB PC =⋅，因为2PC PA =，所以2PA PB =，4PC PB =，
由相交弦定理得：AD DE BD DC ⋅=⋅=()PD PB PD -⋅=11()22PC PB PC -⋅
=2(2)22PB PB PB PB -⋅=，所以等式成立.
【易错点】对第（1）问，不容易找到思路;第（2）问中不会灵活应用已知条件而出错. 考点：本小题主要考查圆的切线、割线、相交弦定理、圆内接四边形等平面几何知识，考查数形结合思想，考查分析问题、解决问题的能力.
21．（1）1cos ,(sin x y βββ=+⎧⎨=⎩是参数，0)βπ≤≤；（2
）3(2
【解析】试题分析：本题第（1）问，由极坐标与普通方程的互化关系可得出C 的普通方程
为：222x y x +=，从而写出C 的参数方程为1cos ,(sin x y βββ=+⎧⎨=⎩是参数，0)βπ≤≤.；
对第（2）问，可先设D 点坐标为(1cos ,sin )ββ+，然后由C 在点D 处的切线与l 垂直，
得出tan β=3πβ=，写出D 点坐标.
试题解析：（1）设点M (,)x y 是C 上任意一点，则由2cos ρθ=可得C 的普通方程为：222x y x +=，
即
22(1)1(01)x y y -+=≤≤， 所以C 的参数方程为1cos ,(sin x y βββ=+⎧⎨=⎩是参数，0)βπ≤≤.
（2）设D 点坐标为(1cos ,sin )ββ+，由（1）知C 是以G （1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l
的斜率相同，tan β=3πβ=，
故D 点的直角坐标为(1cos
,sin )33ππ+
，即3(2.
【易错点】对第（1）问，极坐标与普通方程、参数方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.
考点：本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.
22．（2
）52a <<
【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =，从而得出结论；对第（2）问，由0a >去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a 的取值范围.
试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：
min ()f x =12a a +≥，当且仅
当1a =时，取等号，所以()2f x ≥. （2）因为(3)5f <，所以1|
3||3|5a a ++-<⇔13|3|5a a ++-<⇔1|3|2a a -<-⇔ 11232a a a -<-<-
，解得：a <<.
【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.
考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.。