二元一次不定方程的解法及其应用

一次不定方程#
$&) 有整数解的条件
定理 $&$ 设 A!g4Bi%有一组整数解 !i!% "BiB% "且
( A"4) i8"A iA$ 8"4i4$ 8"则'$( 式的所有解可以表示成!
{!i!% j4$ " ( "i%"f$"f)"f("3) BiB% jA$ "
')(
定理 $&) 二元一次不定方程 A!g4Bi%有整数解的充
其中
.i)"("3"?#
C% i%"C$ i$"C.iE.C.j$ gC.j)
依次求出 D) "C) "D( "C( "3"D? "C? "即可得到'(( 式# )&( 降低系数法 逐步取整法
当方程的系 数 较 大 时" 以 较 小 的 系 数 作 除 数 辗 转 相
除"根据不定方 程 的 解 是 整 数 这 一 条 件" 把 所 求 不 定 方 程
则 A!g4Bi%与方程 A !g 4 Bi % 即 A !g4Bi ( A"4) ( A"4) ( A"4) 8 8
%同解"令 8
A
:8 iA$
"4:8 i4$ "%:8 i%$ "得
A$
!g4$ Bi%$ "此方
程中未 知 数 !和 B的 系 数 是 互 质 的" 所 以 只 需 求 出 A$ ! g4$ Bi$ 的一组整数解为 !i!% "BiB% "则 !i%$ !% "Bi%$ B% 为 方程 A$ !g4$ Bi%$ 的一组整数解"也即为 A!g4Bi%的一组 整数解#
阵$不等式$同余式和连分数的知识解决不定方程问题"拓
展了不定方程的解法# 古代的) 百鸡问题* 已经将不定方
程应用于生活中"文中就运用不定方程的基本解法解决了
) 百鸡问题* "实际上不 定方程在实 际 生 活 中 的 应 用 很 广"
却不被人们 所 熟 知" 很 多 人 大 都 局 限 于 商 业 中 求 最 大 利
系"当不定方程 的 系 数 较 大 时" 可 以 先 利 用 同 余 理 论 使 方
程简化"最后再根据以上所介绍的方法求出不定方程的整
数解#
)&1 连分数求解法
若连
分
数
%
A$
"A)
"
3"A?
&
的
渐
进
连
分
数
分
别
为
D$ " C$
D) "3"D? "则在这些渐进连分数中有下列关系式!
C)
C?
D$ iA$ "D) iA) A$ g$"D.iA D . .j$ gD.j) "'( .?(
即 GFi(!g4B"要求 G的最大值"只需求出 GF的最大值# 对
以上约束条件运算得到!
$4!g]B4%%
4GFj$1B4%%!
'!g$(B40% GFi(!g4B (GFj)B40%"
$)!g)1B$%]%
)
3GFg1B$%]%#
% B3%"!$B$- % B3%"B$GF$-
润"本文阐述了不定方程在古代生活中$线性规划$商业中
{ { !i$$ !i$0 或 Bi(4 Bi() 经检验"!i$$"Bi(4 满足所有约束条件"而 !i$0"Bi () 不满足约束条件 4!g3B)%%# 故 GF的最大值是 )%]"即 可得 Gi)%%GF的最大值是 3$0%%# (&( 二元一次不定方程在商业中求最大利润的应用 例!某公司计划 在 今 年 销 售 冰 箱 和 洗 衣 机 两 种 产 品" 这两种产品在市场上非常受欢迎"生产出来的产品都可以 销售完"但该公司在资金和劳动力上有一定的限制"因此" 该公司要根 据 实 际 情 况 来 确 定 这 两 种 产 品 的 月 供 应 量# 调查显示"与这两种产品相关的数据如下表!
以及不定方程在化学物质结构求解中的应用#
对不定方程的学习"不仅可以提升我们的数学水平"
提高解题能力"还可以很好地培养中学生的思维能力#
%二元一次不定方程的定义及有整数解的条件
$&$ 定义
A!g4Bi%
'$(
式'$( 叫做二元一次不定方程"其中 A"4"%为整数"且
A"4不为 %# 求方程'$( 的整数解 !"B的问题叫做解二元
1 n" g) n#得!
)'GF0%]%"GF0%)]'% i)%'
$' )'
由于 GF$-"则 GF的最大可能值是 )%'# 当 GFi)%' 时"
由!$"$#知 Bi(3"将 GF$B值代入 GFi(!g4B得 !i$(+再
将 !$B的值代入 4!g3Bi)%$"不符合条件 4!g3B)%%#
要条件是( A"4) s%#
&二元一次不定方程的解法
)&$ 观察法
当二元一次不定方程中的系数比较简单时"可通过观
察直接得到方程的一组特殊整数解"然后据此写出方程的
整数解#
)&) Βιβλιοθήκη 转相除法当二元一次不定方程中的系数比较大时"可以通过辗
转相除法求出方程的一组整数解"从而写出方程的全部整
数解#
在不定方程 A!g4Bi%有整数解的情况下"设( A"4) i8"
GF的最大可能值是 )%]# 当 GFi)%] 时"由 !$"$#
知 () B(4" 而不定方程 (!g4Bi)%] 的 整 数 解 可 以 表
示为!
DC
%科技风 &'&& 年 & 月
创新教学
{ !i$g4" ' "i%"f$"f)"3( Bi3$ j( " 又由 () B(4" 即 () 3$ j("(4" 则 "i) 或 "i(" 因此!
中国古代数学家们对不定方程的研究很早"公元初的
)五家井井*问题就是一个不定方程的问题# 公元 4 世纪"
张丘建就已经解答了) 百钱买百鸡* 的问题") 百鸡问题*
作为不定方程中典型的例题一直流传至今# 本文除了介
绍解不定方程常用的方法之外"还利用同余式和连分数对
不定方程进行求解# 同余是数论中最基本的概念"连分数
%科技风 &'&& 年 & 月
创新教学 !"#!$%&$'(') *+&,-./&$01$21(3$&)%))%4%(%
二元一次不定方程的解法及其应用
龚子明
黔南民族职业技术学院!贵州都匀!AAC#&&
摘5要不定方程是数论中一个古老的分支本文主要研究不定方程中最常见的二元一次不定方程的解法及其在实 际生活中的应用
分解成几个整数的和"从而使系数之绝对值逐步减小"易
于观察求出不定方程的解#
设给定一个二元一次不定方程适合下列条件!
A!g4Bi%"Ak4k%"( A"4) i$
'3(
则有整数 E$ "EF$ "3$ "3F$ 满足条件!
DB
创新教学
科技风 &'&& 年 & 月
A i4E$ g3$ "%t3$ t4
%i4EF$ g3F$ "%t3F$ t4
则( 4"3$ ) i( A"4) i$"故方程!
4BFg3$ !Fi3$ F
'4(
有 整 数 解# 设 !i!% " BiB% 是 A!g4Bi%" A k4k%"
( A"4) i$ 的一组整数解"则有 Bi%j4A!% iEF$ jE$ !% g3F$ j43$ !%
'其中( A"4) i$"4k%( 的一组特解"所以要求此方程的特
解"关键是要求出 !F$BF#
设
A i% 4
E$ "E) "3"E? "E?g$
&
"得!
' A"4( ' D?g$ C? jD? C?g$ ( i( j$) ?g$' A"4(
在条件( A"4) i8 i$ 下"上式可以化简为!
D?g$ C? jD? C?g$ i( j$) ?g$
如若求不定方程 A!g4Bi%的一组特殊解"可以先写出矩阵
( ) $ % A "然后对该矩阵施行一系列行初等变换' 将其 %$ 4
中某一行乘以某个非 零 整 数 加 到 另 一 行( "最 终 将 上 述 矩
( ) ! ! !
阵变换为 以 下 这 种 形 式
'可以变换两行的
!! %
位置(# 我们就可以从变换后的矩阵中的第二行里读出原
Bj! )
i$40"即!Bj!i)# )
此不定方程的解为!Mi)"Fi(# 综上可知"该氮的氧
化物的分子式为 -) 7( # 结语
本文分别运用观察法$辗转相除法$同余式法$连分数
法等七种不同的方法来研究二元一次不定方程的解法"其
中观察法$辗转相除法和降低系数法是解不定方程的基本
方法"矩阵法$不等式估算法$同余式法和连分数法应用矩
资金
单位产品所需资金'百元( 月资金供应量
冰箱
洗衣机
' 百元(
成本
(%
)%
(%%
劳动力' 工资(
4
$%
$$%
单位利润
0
]
-!7BgBH) * )!-) gBH) 7( 液态) 55I
55 $5 B55 !55555555'$gBj!(
)
)
51]55555555555555)(3
( ) 整理计算得!1]
不定方程的一组特殊解' !% "B% "%( 了# )&4 不等式估算法
利用不等式确定不定方程中某些变量的取值范围"从
而求出满足条件的不定方程的解#
)&0 同余式求解法
二元一次不定方程 A!g4Bi%' A"4"%为整数"且 A"4不
为 %( 与一次同余式 4B'%( /68A) ' A 不为 %( 具有等价关
但 B% "EF$ jE$ !%
都 是 整 数" 所 以
3F$ j3$ !% 也 是 整 数" 令 4
3F$ j43$ !% iB% F"则 !Fi!% "BFiB% F是'4( 的一组整数解"即'3(
的任意一组整数解可以表示为!
!i!F"BiEF$ jE$ !FgBF
'0(
其中 !F"BF是'4( 的某一组整数解"反之"如果 !F"BF是
当 ? 取奇数时"A!g4Bi$"' 其中( A"4) i$"4k%( 的一
组特解是 C? "jD? # 当 ? 取偶数时"A!g4Bi$"' 其中( A"4) i$"4k%( 的一
组特解是jC? "D? # 因此"不定方程 A!g4Bi%"' 其中( A"4) i$"4k%( 的一
组特解是 %C? "j%D? "或j%C? "%D? # 于是其整数解就可以表
$4%% 年前"张丘建就曾经解答了不定方程中流传千古的典
型例题,) 百钱买百鸡* 的问题#
(&) 二元一次不定方程在线性规划中的应用
$%!g3B(%%
4!g3B)%%
例!设
!$ B满 足 约 束 条 件
3!g'B(0%
求
Gi0%%!g
!$B$-
$%%%B的最大值#
解!由题 意 设 Gi0%%!g$%%%Bi)%% ( (!g4B) i)%%GF"
示出来了#
那么如何求 C?
和 D? 呢0
只需将
A 写成连分 4
数% E$ "E) "3"E? "E?g$ & 的形式"再求出其第 ? 个渐进连分数 D? 即可# C?
"二元一次不定方程的应用
(&$ 二元一次不定方程在古代的应用
中国古代数 学 家 们 很 早 就 开 始 研 究 不 定 方 程 了" 约
假定 Ak%"4k%# 利用辗转相除法易得! A [ ( j$) ?j$ C? ] g4[ ( j$) ? D? ] i$
因此 A!g4Bi$"( A"4) i$ 有一组特殊解!
{!i(
j$)
C ?j$ ?
Bi( j$) ? D?
'((
{ D% i$"D$ iE$ "D.iE.D.j$ gD.j) "
C$ i$"C) iA) "5C.iA.C.j$ gC.j) "'( .?(
D.C.j$ jD.j$ C.i( j$) .# ( .())
在有解的条件下"不定方程的求解问题往往取决于求
出方程的一组特解 !% "B% "如果 !F$BF满足不定方程 A!g4Bi $"' 其中( A"4) i$"4k%( 则 %!F$%BF就是不定方程 A!g4Bi%"
是一种新形式的) 分数*"数学史上"人们对三者的研究已
经非常深入"但将三者联系在一起讨论得却非常少# 在很
多文献中只提到二元一次不定方程和一次同余式的解法
是等价的"利用连分数研究不定方程的更是少之又少#
提到不定方程的应用"很对人都局限在商业中求最大
利润"本文还阐 述 了 不 定 方 程 在 线 性 规 划 问 题 中 的 应 用"
'4( 的任意一组整数解"则由'0( 式所求出的 !"B是'3( 的
一组解"这是因为由'4( 和'0( 可以得出!
BiEF$ jE$ !FgBFiEF$ jE$ !g3F$ j43$ !i%j4A!
)&3 矩阵法