2021-2022学年北京市东城区七年级(上)期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年北京市东城区七年级第一学期期末数学试卷一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列四个数中，的倒数是（）
A．3B．C．D．﹣3
2．2021年4月29日11时23分，空间站天和核心舱发射升空．7月22日上午8时，核心舱组合体轨道近地点高度约为384000米，用科学记数法表示384000应为（）A．3.84×105B．3.84×106C．38.4×104D．384×103
3．单项式2x2y的次数是（）
A．1B．2C．3D．4
4．下列图形中，能折叠成正方体的是（）
A．
B．
C．
D．
5．比a的平方小1的数可以表示为（）
A．（a﹣1）2B．a2﹣1C．a2+1D．（a+1）2
6．如图是一个运算程序，若x的值为﹣1，则运算结果为（）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
7．表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，以下四个式子中正确的是（）
A．a+b＞0B．ab＞0C．a+2＞0D．a﹣b＜0
8．据北京市公园管理中心统计数据显示，10月1日至3日，市属11家公园及中国园林博物馆共12个景点接待市民游客105.23万人，比去年同期增长了5.7%，求去年同期这12个景点接待市民游客人数．设去年同期这12个景点接待市民游客x万人，则可列方程为（）
A．（1+5.7%）x＝105.23B．（1﹣5.7%）x＝105.23
C．x+5.7%＝105.23D．x﹣5.7%＝105.23
9．下列说法正确的是（）
A．若x+1＝0，则x＝1
B．若|a|＞1，则a＞1
C．若点A，B，C不在同一条直线上，则AC+BC＞AB
D．若AM＝BM，则点M为线段AB的中点
10．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（）
A．S甲＞S乙B．S甲＜S乙C．S甲＝S乙D．不确定
二、填空题（本题共12分，每小题2分）
11．若∠A＝38°15'，∠B＝51°45'，则∠A与∠B的关系是．（填“互余”或“互补”）
12．如图，正方体纸盒上相对两个面上的数互为相反数，则正方体纸盒六个面上的数中，最小的是．
13．若（2m﹣1）x+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值可以是．（写出一个即可）
14．已知m，n为正整数，若a2b+3a﹣4a m﹣1b n合并同类项后只有两项，则m＝，n ＝．
15．在数轴上，点A到原点O的距离为4，则线段OA的中点所表示的数为．16．[x]表示不超过数x的最大整数，当x＝5.2时，[x]表示的整数为；若x+2[x]+3[x]+4[x]+…+100[x]＝10100，则x＝．
三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18-19题，每小题8分，第20题4分，第21题10分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25题6分，第26-27题，每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：
（1）12+（﹣17）﹣（﹣3）；
（2）2×（﹣7）÷（﹣）+（﹣2）2．
18．化简多项式2x+y2﹣（y2﹣x），当x＝1，y＝时，求该多项式的值．
19．如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的东北方向（北偏东45°）有一艘
船．同时，从B地发现这艘船在它的北偏西60°方向．在图中画出这艘船的位置O．（保留作图痕迹）
20．若一个角的补角是它的余角的6倍，求这个角的度数．
21．解方程：
（1）5x+2＝3x﹣18；
（2）﹣＝1．
22．如图，点O在直线AB上，∠BOC＝90°，∠BOD和∠COD互补．（1）根据已知条件，可以判断∠AOD＝∠COD，将如下推理过程补充完整（括号内填推理依据）．
推理过程：因为∠BOD和∠COD互补，
所以∠BOD+∠COD＝°．（）
因为点O在直线AB上，所以∠AOB＝180°．
所以∠BOD+∠AOD＝180°，
所以∠AOD＝∠COD．（）
（2）求∠AOD的度数．
23．在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车．则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？
某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析过程：
第一步，设共有x辆车；
第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为（用含x的式子表示）；
第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”．可得人数为（用含x的式子表示）；
第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为．
24．如图，∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的平分线．
（1）画出射线OC；
（2）若射线OD在∠AOB的内部，且∠BOD＝20°，求∠COD的度数．
25．如图，点A，B，C不在同一条直线上．
（1）画直线AB；
（2）尺规作图：作射线CF交直线AB于点D，使得AD＝2AB（不写作法，保留作图痕迹）．
26．某工厂需将产品分别运送至不同的仓库，为节约运费，考察了甲、乙两家运输公司．甲、乙公司的收费标准如下表：
运输公司起步价（单位：元）里程价（单位：元/千米）
甲10005
乙50010
（1）仓库A距离该工厂120千米，应选择哪家运输公司？
（2）仓库B，C，D与该工厂的距离分别为60千米、100千米、200千米，运送到哪个仓库时，可以从甲、乙两家运输公司任选一家？
（3）根据以上信息，你能给工厂提供选择甲、乙公司的标准吗？
27．对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP＝kNP（k＞0），则称点P是“点M到点N的k倍分点”．
例如：如图，点Q1，Q2，Q3在同一条直线上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，则点Q1是点Q2到点Q3的倍分点，点Q1是点Q3到点Q2的3倍分点．
已知：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2．
（1）点B是点A到点C的倍分点，点C是点B到点A的倍分点；
（2）点B到点C的3倍分点表示的数是；
（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，写出x的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列四个数中，的倒数是（）
A．3B．C．D．﹣3
【分析】根据倒数的概念即可得到答案．
解：﹣的倒数是﹣3，
故选：D．
2．2021年4月29日11时23分，空间站天和核心舱发射升空．7月22日上午8时，核心舱组合体轨道近地点高度约为384000米，用科学记数法表示384000应为（）A．3.84×105B．3.84×106C．38.4×104D．384×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：384000＝3.84×105．
故选：A．
3．单项式2x2y的次数是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
解：根据单项式定义得：单项式2x2y次数是2+1＝3．
故选：C．
4．下列图形中，能折叠成正方体的是（）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
解：A．折叠后有一行两个面无法折起来，缺少一个面，故本选项不合题意；
B．折叠后是三棱柱，故本选项不合题意；
C．折叠后能折叠成正方体，故本选项符合题意；
D．折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺少一个面有两个面重合，不能折成正方体，故本选项不合题意；
故选：C．
5．比a的平方小1的数可以表示为（）
A．（a﹣1）2B．a2﹣1C．a2+1D．（a+1）2
【分析】直接利用“a的平方”即为a2，再减1得出答案．
解：由题意可得：a2﹣1．
故选：B．
6．如图是一个运算程序，若x的值为﹣1，则运算结果为（）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【分析】根据运算程序可得算式﹣3﹣|﹣1|，先算绝对值，再算减法即可求解．
解：依题意有：﹣3﹣|﹣1|＝﹣3﹣1＝﹣4．
故选：A．
7．表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，以下四个式子中正确的是（）
A．a+b＞0B．ab＞0C．a+2＞0D．a﹣b＜0
【分析】根据所给数值在数轴上的位置，判断出a、b的范围，进而对所给代数式的正误进行判断即可．
解：由图可知：﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，
∴a+b＜0，故A不符合题意；
ab＜0，故B不符合题意；
a+2＜0，故C不符合题意；
a﹣b＜0，故D符合题意；
故选：D．
8．据北京市公园管理中心统计数据显示，10月1日至3日，市属11家公园及中国园林博物馆共12个景点接待市民游客105.23万人，比去年同期增长了5.7%，求去年同期这12个景点接待市民游客人数．设去年同期这12个景点接待市民游客x万人，则可列方程为（）
A．（1+5.7%）x＝105.23B．（1﹣5.7%）x＝105.23
C．x+5.7%＝105.23D．x﹣5.7%＝105.23
【分析】根据10月1日至3日接待市民游客人数和增长率列出方程求解即可．
解：设去年同期这12个景点接待市民游客x万人，则可列方程为：
（1+5.7%）x＝105.23．
故选：A．
9．下列说法正确的是（）
A．若x+1＝0，则x＝1
B．若|a|＞1，则a＞1
C．若点A，B，C不在同一条直线上，则AC+BC＞AB
D．若AM＝BM，则点M为线段AB的中点
【分析】根据线段中点的定义：线段上一点，到线段两端点距离相等的点，可进行判断解答．
解：若x+1＝0，则x＝﹣1，故A错误，不符合题意；
若|a|＞1，则a＞1或a＜﹣1，故B错误，不符合题意；
若点A，B，C不在同一条直线上，则AC+BC＞AB，故C正确，符合题意；
若AM＝BM，则点M不一定为线段AB的中点，故D错误，不符合题意．
故选：C．
10．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（）
A．S甲＞S乙B．S甲＜S乙C．S甲＝S乙D．不确定
【分析】根据图形分别求出S甲＝πab2，S乙＝πba2，再求出S甲﹣S乙＝πab（b﹣a），根据差的正负即可比较大小．
解：∵S甲＝π×b2×a＝πab2，S乙＝π×a2×b＝πba2，
∴S甲﹣S乙
＝πab2﹣πba2
＝πab（b﹣a），
∵a＞b，
∴b﹣a＜0，
∴S甲﹣S乙＜0，
∴S甲＜S乙，
故选：B．
二、填空题（本题共12分，每小题2分）
11．若∠A＝38°15'，∠B＝51°45'，则∠A与∠B的关系是互余．（填“互余”或“互补”）
【分析】互为余角的两角和为90°，∠A+∠B计算可判断．
解：∵∠A＝38°15'，∠B＝51°45'，
∴∠A+∠B＝90°；
∴∠A与∠B的关系是互余．
故答案为：互余．
12．如图，正方体纸盒上相对两个面上的数互为相反数，则正方体纸盒六个面上的数中，最小的是﹣2．
【分析】由图可知，0，1和2是相邻的面，找出它们每一个面的对面上的数，比较即可解答．
解：由题意得：
0的对面是0，1的对面是﹣1，2的对面是﹣2，
∴正方体纸盒六个面上的数中，最小的是﹣2，
故答案为：﹣2．
13．若（2m﹣1）x+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值可以是1（答案不唯一）．（写出一个即可）
【分析】直接利用一元一次方程的定义进而得出2m﹣1≠0，即可得出答案．
解：∵（2m﹣1）x+1＝0是关于x的一元一次方程，
∴2m﹣1≠0，
解得：m，
∴m的值可以是1．
故答案为：1（答案不唯一）．
14．已知m，n为正整数，若a2b+3a﹣4a m﹣1b n合并同类项后只有两项，则m＝3，n＝1．
【分析】根据同类项的法则即可求出答案．
解：由题意可知：a2b与4a m﹣1b n是同类项，
∴m﹣1＝2，n＝1，
∴m＝3，n＝1，
故答案为：3，1．
15．在数轴上，点A到原点O的距离为4，则线段OA的中点所表示的数为2或﹣2．【分析】分两种情况，点A在原点的左侧，点A在原点的右侧．
解：分两种情况：
当点A在原点的左侧，
∵点A到原点O的距离为4，
∴点A表示的数是：﹣4，
∴线段OA的中点所表示的数为：﹣2，
当点A在原点的右侧，
∵点A到原点O的距离为4，
∴点A表示的数是：4，
∴线段OA的中点所表示的数为：2，
综上所述：线段OA的中点所表示的数为：2或﹣2，
故答案为：2或﹣2．
16．[x]表示不超过数x的最大整数，当x＝5.2时，[x]表示的整数为5；若x+2[x]+3[x]+4[x]+…+100[x]＝10100，则x＝2．
【分析】要解此方程，必须先去掉[]，根据[x]是整数，2[x]，3[x]，n[x]都是整数，所以x
必是整数，即可求解．
解：[x]表示不超过数x的最大整数，当x＝5.2时，[x]表示的整数为5；
由于10100是整数，[x]是整数，2[x]，3[x]，…，100[x]都是整数，所以x必是整数．所以原方程化为x+2x+3x+4x+…+100x＝10100，
合并同类项得（1+2+3+…+100）x＝10100，
适于x＝10100，
所以x＝2．
故答案为：5，2．
三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18-19题，每小题8分，第20题4分，第21题10分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25题6分，第26-27题，每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：
（1）12+（﹣17）﹣（﹣3）；
（2）2×（﹣7）÷（﹣）+（﹣2）2．
【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；
（2）原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果．
解：（1）原式＝12﹣17+3
＝﹣（17﹣12）+3
＝﹣5+3
＝﹣2；
（2）原式＝2×（﹣7）÷（﹣）+4
＝（﹣14）÷（﹣）+4
＝28+4
＝32．
18．化简多项式2x+y2﹣（y2﹣x），当x＝1，y＝时，求该多项式的值．【分析】先根据整式的加减运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．解：原式＝2x+y2﹣y2+x
＝3x+y2，
当x＝1，时，
原式＝3×1+
＝3．
19．如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的东北方向（北偏东45°）有一艘船．同时，从B地发现这艘船在它的北偏西60°方向．在图中画出这艘船的位置O．（保留作图痕迹）
【分析】利用方向角分别得出北偏东45°方向以及北偏西60°方向的位置进而得出答案．解：如图．这艘船的位置O即为所求．
20．若一个角的补角是它的余角的6倍，求这个角的度数．
【分析】设这个角为x°，则它的余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°．根据题意，列方程得180﹣x＝6（90﹣x），求解即可．
解：设这个角为x°，则它的余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°．
根据题意，列方程得180﹣x＝6（90﹣x），
解得x＝72．
答：这个角是72°．
21．解方程：
（1）5x+2＝3x﹣18；
（2）﹣＝1．
【分析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可．
解：（1）移项，得5x﹣3x＝﹣20．
合并同类项，得2x＝﹣20．
系数化为1，得x＝﹣10．
所以方程的解为x＝﹣10．
（2）去分母，得3（2x+1）﹣2（x﹣1）＝6．
去括号，得6x+3﹣2x+2＝6．
移项，得6x﹣2x＝6﹣2﹣3．
合并同类项，得4x＝1．
系数化为1，得．
所以方程的解为．
22．如图，点O在直线AB上，∠BOC＝90°，∠BOD和∠COD互补．（1）根据已知条件，可以判断∠AOD＝∠COD，将如下推理过程补充完整（括号内填推理依据）．
推理过程：因为∠BOD和∠COD互补，
所以∠BOD+∠COD＝180°．（补角的定义）
因为点O在直线AB上，所以∠AOB＝180°．
所以∠BOD+∠AOD＝180°，
所以∠AOD＝∠COD．（同角的补角相等）
（2）求∠AOD的度数．
【分析】（1）由同角的互补可证明；
（2）由（1）得∠AOD＝∠COD，再由∠BOC＝90°，可得结论．
解：（1）推理过程：
因为∠BOD和∠COD互补，
所以∠BOD+∠COD＝180°．（补角定义）
因为点O在直线AB上，所以∠AOB＝180°．
所以∠BOD+∠AOD＝180°．
所以∠AOD＝∠COD．（同角的补角相等）．
故答案为：180；补角的定义；同角的互补相等；
（2）因为∠AOB＝180°，∠BOC＝90°，
所以∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣90°＝90°．
由（1）知∠AOD＝∠COD，所以OD是∠AOC的平分线．
所以．
23．在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车．则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？
某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析过程：
第一步，设共有x辆车；
第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为3（x﹣2）（用含x 的式子表示）；
第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”．可得人数为2x+9（用含x的式子表示）；
第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为3（x﹣2）＝2x+9．
【分析】直接利用总人数不变得出方程进而得出答案．
解：某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析过程：
第一步，设共有x辆车；
第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2 辆空车”，可得人数为3（x﹣2）（用含x的式子表示）；
第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为2x+9（用含x的式子表示）；
第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为：3（x﹣2）＝2x+9．
故答案为：3（x﹣2），2x+9，3（x﹣2）＝2x+9．
24．如图，∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的平分线．
（1）画出射线OC；
（2）若射线OD在∠AOB的内部，且∠BOD＝20°，求∠COD的度数．
【分析】（1）作∠BOC＝60°即可；
（2）根据角平分线的定义求出∠BOC＝60°，根据∠COD＝∠BOC﹣∠BOD即可得出答案．
解：（1）如图所示：
射线OC即可所求；
（2）如图所示：
因为OC是∠AOB的平分线，且∠AOB＝120°，
所以，
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝40°．
答：∠COD的度数为40°．
25．如图，点A，B，C不在同一条直线上．
（1）画直线AB；
（2）尺规作图：作射线CF交直线AB于点D，使得AD＝2AB（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】（1）根据直线定义即可画直线AB；
（2）利用尺规分左右两侧作出AD＝2AB，进而可以作射线CF．
解：（1）如图，直线AB即为所求；
（2）如图，射线CF1和CF2即为所求．
26．某工厂需将产品分别运送至不同的仓库，为节约运费，考察了甲、乙两家运输公司．甲、乙公司的收费标准如下表：
运输公司起步价（单位：元）里程价（单位：元/千米）
甲10005
乙50010
（1）仓库A距离该工厂120千米，应选择哪家运输公司？
（2）仓库B，C，D与该工厂的距离分别为60千米、100千米、200千米，运送到哪个仓库时，可以从甲、乙两家运输公司任选一家？
（3）根据以上信息，你能给工厂提供选择甲、乙公司的标准吗？
【分析】（1）由收费方式分别求出甲、乙运输公司的收费，然后再比较大小即可．（2）设当运输距离为x千米时，两家公司的收费相同，由两家公司的收费方式列方程，然后解出即可；
（3）根据（1）、（2）可以得出结论．
解：（1）甲运输公司收费为1000+5×120＝1600（元），
乙运输公司收费为500+10×120＝1700（元）．
∵1600＜1700，
∴该工厂选择甲运输公司更划算；
（2）设当运输距离为x千米时，甲、乙两家运输公司收费相同，
根据题意，得1000+5x＝500+10x，
解得x＝100，
答：运送到C仓库时，甲、乙两家运输公司收费相同，可以任选一家；
（3）当仓库与工厂的距离大于100千米时，选择甲公司；
当仓库与工厂的距离等于100千米时，可以从甲、乙公司中任选一家；
当仓库与工厂的距离小于100千米时，选择乙公司．
27．对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP＝kNP（k＞0），则称点P是“点M到点N的k倍分点”．
例如：如图，点Q1，Q2，Q3在同一条直线上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，则点Q1是点Q2到点Q3的倍分点，点Q1是点Q3到点Q2的3倍分点．
已知：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2．
（1）点B是点A到点C的倍分点，点C是点B到点A的倍分点；
（2）点B到点C的3倍分点表示的数是1或4；
（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，写出x的取值范围．
【分析】（1）通过计算，的值，利用题干中的定义解答即可；
（2）设这点为E，对应的数字为a，利用分类讨论的思想方法根据＝3分别列出方程，解方程即可得出结论；
（3）分两种情况：①点D在点B的左侧，②点D在点C的右侧，分别计算出x的两个临界值即可得出结论．
解：（1）∵点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2，
∴BA＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BC＝2﹣（﹣2）＝4，CA＝2﹣（﹣4）＝6．∵，
∴点B是点A到点C的倍分点，
∵，
∴点C是点B到点A的倍分点．
故答案为：；；
（2）设这点为E，对应的数字为a，则＝3．
当点E在B，C之间时，
∵＝3，
∴，
解得：x＝1．
当点E在C点的右侧时，
∵＝3，
∴＝3，
解得：x＝4．
综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4．
故答案为：1或4．
（3）①点D在点B的左侧，
∵＝2，
解得：x＝﹣3．
∴x的最小值为﹣3．
②点D在点C的右侧，
∵，
解得：x＝5，
∴x的最大值为5，
综上，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，则x的取值范围为：﹣3≤x≤5．。