中考数学压轴题真题分类汇编三角形

2013年中考数学压轴题真题分类汇编：三角形
六、三角形 1．（北京）在△ABC 中，BA ＝BC ，∠BAC ＝α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α＝60°且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；
(2)在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示），并加以证明;
（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合)时,能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ,且PQ ＝QD ，请直接写出α的范围．
2．(北京模拟）已知,点P 是∠MON 的平分线OT 上的一动点，射线P A 交直线OM 于点A ，将射线P A 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB ＋∠MON ＝180°． （1）求证:P A ＝PB ；
（2）若点C 是直线AB 与直线OP 的交点,当S △POB
＝3S △PCB
时，求 错误! 的值; (3)若∠MON ＝60°，OB ＝2，直线P A 交射线ON 于点D ,且满足∠PBD ＝∠ABO ,求OP 的长．
3．（北京模拟）已知△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点，连接AD 、BE ，F 为线段AD 的中点，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在BC 边上时，BE 与CF 的数量关系是____________，位置关系是____________，请证明；
（2）如图2，把△DEC 绕点C 顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变,问（1)中的关系是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明; (3）如图3,把△DEC 绕点C 顺时针旋转45°,BE 、CD 交于点G ．若∠DCF ＝30°，求 错误! 及
错误!
的值．
图1 A B C Q M (P ) 图2 A
B
C Q P
M M T N O M T
N O 备用图 M
T
N
O
备用图
4．(
上海模拟）如图，∠ACB ＝90°,CD 是∠ACB 的平分线,点P 在CD 上，CP ＝2．将三角
板的直角顶点放置在点P 处，绕着点P 旋转,三角板的一条直角边与射线CB 交于点E ,另一
条直角边与直线CA 、直线CB 分别交于点F 、点G ．
(1)当点F 在射线CA 上时 ①求证：PF ＝PE ．
②设CF ＝x ，EG ＝y ，求y 与x 的函数解析式并写出函数的定义域． （2）连接EF ，当△CEF 与△EGP 相似时，求EG 的长．
5．（上海模拟)已知△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6,sin B ＝
错误!
．点P 从点B 出发沿射线BA 移动,同时点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，点P 、Q 移动的速度相同，PQ 与直线BC 相交于点D ．
（1）如图①，当点P 为AB 的中点时，求CD 的长;
（2）如图②，过点P 作直线BC 的垂线,垂足为E ，当点P 、Q 在移动的过程中，线段BE 、DE 、CD 中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由; (3）如图③,当PQ 经过△ABC 的重心G 时，求BP 的长．
6．（上海模拟)如图，三角形纸片ABC 中,∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3．将纸片折叠，使点B 落在AC 边上的点D 处,折痕与BC 、AB 分别交于点E 、F ．
(1）设BE ＝x ，DC ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围; (2)当△ADF 是直角三角形时，求BE 的长； （3）当△ADF 是等腰三角形时，求BE 的长
（4）过C 、D 、E 三点的圆能否与AB 边相切？若能，求BE 的长；若不能，说明理由．
A C
B F P D G E 备用图
A D C
B P Q 图② E A D
C B P Q 图① Q
A
F
A A
B D E
F
图1 A B C D
E
F
图2 A B C D E
F
图3 G
7．（上海模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，AD ⊥BC 于D ,点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF ＝90°,连接EF ． (1）求
错误!
的值；
（2)设AE 的长为x ，△DEF 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式;
（3）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，求AE 的长；若不能，请说明理由．
8．（上海模拟)如图,在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝5,D 是BC 边上一点,CD ＝3，P 是AC 边上一动点（不与A 、C 重合)，过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ． (1）设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式；
（2）以PE 为半径的⊙E 与以DB 为半径的⊙D 能否相切?若能,求tan ∠DPE 的值；若不能，请说明理由；
（3）将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB ′D ，连接B ′C ，当∠ACE ＝∠BCB ′
时，求AP 的长．
9．（上海模拟）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是边AB 上的一个动点，连接CP ,过点B 作BD ⊥CP ，垂足为点D 。

(1）如图1，当CP 经过△ABC 的重心时，求证：△BCD ∽△ABC ；
（2）如图2，若BC ＝2厘米，cot A ＝2，点P 从点A 向点B 运动(不与点A 、B 重合），点P 的速度是 错误!
厘米/秒,设点P 运动的时间为t 秒，△BCD 的面积为S 平方厘米,求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围;
（3）在（2)的条件下，若△PBC 是以CP 为腰的等腰三角形，求△BCD 的面积．
C B A
D E
F
C B A
D 备用图 C
B A
D 备用图 A
D C B 备用图 A D C B P E
10．（上海模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CE 是斜边AB 上的中线，AB ＝10，tan A ＝
错误!
．点P 是CE 延长线上的一动点，过点P 作PQ ⊥CB ，交CB 延长线于点Q ．设EP ＝x ,BQ ＝y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式及定义域；
（2）连接PB ,当PB 平分∠CPQ 时，求∠PE 的长；
（3）过点B 作BF ⊥AB 交PQ 于F ，当△BEF 和△QBF 相似时，求x 的值．
11．（上海模拟）如图1，在Rt △AOC 中，AO ⊥OC ,点B 在OC 边上，OB ＝6，BC ＝12，∠ABO ＋∠C ＝90°，动点M 和N 分别在线段AB 和AC 边上． (1）求证：△AOB ∽△COA ，并求cos C 的值；
(2）当AM ＝4时，△AMN 与△ABC 相似,求△AMN 与△ABC 的面积之比； （3）如图2，当MN ∥BC 时，以MN 所在直线为对称轴将△AMN 作轴对称变换得△EMN ．设MN ＝x ，△EMN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ,求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
12．(上海模拟）把两块边长为4的等边三角板ABC 和DE 如图1放置，使三角板DEF 的顶点D 与三角板ABC 的AC 边的中点重合，DF 经过点B ，射线DE 与射线AB 相交于点M ．把三角板ABC 固定不动，将三角板DEF 绕点D 按逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°＜α＜90°，射线DF 与线段BC 相交于点Q (如图2）． （1）当0°＜α＜60°时,求AM ·CN 的值； (2)当0°＜α＜60°时,设AM ＝x ，两块三角板重叠部分的面积为y ,求y 与x 的函数关系式并确定自变量x 的取值范围;
C A P B
D 图1 C A P
B D
图2 C A
B
备用图 A B P
C Q E A B C E 备用图 A B C E 备用图 A O N
C B M 图1 A
O N E
C B M
图2
（3)当BM ＝2时，求两块三角板重叠部分的面积．
13．（上海模拟）如图,在△ABC 中,∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，CD ⊥AB ，垂足为点D ，点E 、F 分别在边AC 、BC 上,且∠EDF ＝60°．设AE ＝x ，BF ＝y ． （1)求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;
(2）△BDF 能否成为等腰三角形？如果能，请求出x 的值，如果不能,请说明理由．
14．（上海模拟)如图,P 是线段AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），分别以AP 、BP 为边，在AB 的同侧作等边△APD 和等边△BPC ，连接BD 与PC 交于点E ,连接CD ． (1）当BC ⊥CD 时，试求∠DBC 的正切值;
（2）若线段CD 是线段DE 和DB 的比例中项,试求此时 错误! 的值；
（3）记四边形ABCD 的面积为S ，当P 在线段AB 上运动时，S 与BD 2是否成正比例？若成正比例,试求出比例系数；若不成正比例,请说明理由．
15．（上海模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6,D 是AC 边的中点，E 是BC 边上一动点（不与端点重合）,EF ∥BD 交AC 于F ，交AB 延长线于G ，H 是BC 延长线上的点,且CH ＝BE ,连接FH ．设BE ＝x ,CF ＝y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式;
（2）连接AE ，当以GE 为半径的⊙G 和以FH 为半径的⊙F 相切时，求tan ∠BAE 的值； A B C D E F M
图1 A
B C D E F
M
图2 N A B C
备用图
A
F
B
C D
E D A C B P E D A
C B
P E
备用图 A
B C
D
E
F
G
H
（3)当△BEG 与△FCH 相似时，求BE 的长．
16．（上海模拟)如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝4,点O 为AB 边的中点，点M 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），AD ⊥AB ，垂足为点A ．连接MO ，将△BOM 沿直线MO 翻折，点B 落在点B 1处,直线MB 1与AC 、AD 分别交于点F 、N ． （1）当∠CMF ＝120° 时，求BM 的长；
（2）设BM ＝x ,y ＝
错误!
，求y 关于x 的函数关系式。

并写出自变量x 的取值范围； （3)连接NO ,与AC 边交于点E ，当△FMC ∽△AEO 时，求BM 的长．
17．（上海模拟)如图,在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，cos B ＝
错误!
，点D 在射线AB 上，DE ∥BC 交射线AC 于点E ，点F 在AE 的延长线上,且EF ＝ 错误!
AE ,以DE 、EF 为邻边作□DEFG ，连接BG ．
(1）当EF ＝FC 时，求△ADE 的面积；
（2）设AD ＝x ，□DEFG 与△ABC 重合部分的面积为S ，求S 与x 的函数关系式,并求出S 的最大值；
（3）当△DBG 是等腰三角形时，求AD 的长．
A B C D 备用图 A B C D
备用图 D A C
B N O F
M
B 1 A B D E
C G F A B
C
备用图
18．（上海模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，cos ∠BAC ＝
错误!
,点O 在AB 上，且CA ＝CO ＝6．将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB ′C ′，且C ′ 落在CO 的延长线上,连接BB ′ 交CO 的延长线于点D , (1)求证：△COA ∽△BOD
(2）求BD 的长．
19．（安徽）如图1，在△ABC 中,D 、E 、F 分别为三边的中点，G 点在边AB 上，△BDG 与四边形ACDG 的周长相等，设BC ＝a 、AC ＝b 、A B ＝c ． （1）求线段BG 的长；
（2）求证：DG 平分∠EDF ；
（3）连接CG ,如图2，若△BDG 与△DFG 相似，求证：BG ⊥CG ．
20．(浙江金华、丽水）在△ABC 中，∠ABC ＝45°，tan ∠ACB ＝
错误!
．如图，把△AB C 的
一边BC 放置在x 轴上，有OB ＝14，OC ＝
10
3
，34,AC 与y 轴交于点E ． （1）求AC 所在直线的函数解析式;
（2）过点O 作OG ⊥AC ,垂足为G ，求△OEG 的面积； (3）已知点F （10，0），在△ABC 的边上取两点P ,Q ，是否存在以O ，P ，Q 为顶点的三角形与△OFP 全等,且这两个三角形在OP 的异侧?若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；
备用图
D A B C G F
E 图1 D A
B C G F E 图2 A
B
O B ′
D C C ′
21．（浙江义乌）在锐角△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，∠ACB ＝45°．将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．
（1)如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；
（2）如图2，连接AA 1、CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；
（3）如图3，点D 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1,求线段DP 1长度的最大值与最小值．
22．(浙江模拟）如图,在边长为2的等边△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，点P 是边AB 上的一个动点,过点P 作PF ∥AC 交线段BD 于点F ,作PG ⊥AB 交AD 于点E ，交线段CD 于点G ，设BP ＝x ．
（1）用含x 的代数式表示线段DG 的长，并写出自变量x 的取值范围；
（2）记△DEF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值； （1）设BP ＝x ，△DEF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式；
（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能,求出BP 的长；如果不能，请说明理由．
23．（江苏淮安）
阅读理解
如图1，△ABC 中,沿∠BAC 的平分线AB 1折叠,剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n +1折叠，点B n 与点C 重合．．,无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC 是△ABC 的好角．
A 图3 A
B C 1 A 1 图2 A B C 1 A 1
图1 C A
D F B
E G P
A
C
12n n +1A 1
A 2
A n
图1
…
A
B
C
1图2
A
B
C
B 1 图3
B 2
A 1
小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形△ABC 顶角∠BAC 的平分线AB 1折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿△ABC 的∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，此时点B 1与点C 重合． 探究发现
（1）△ABC 中，∠B ＝2∠C ，经过两次折叠,∠BAC 是不是△ABC 的好角？_________（填
“是”或“不是”）． （2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角，请探究∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）
之间的等量关系． 根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C )之间的等量关系为________________． 应用提升
（3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15°,60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成,如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角． 24．（江苏宿迁）（1）如图1，在△ABC 中，BA ＝BC ，D ，E 是AC 边上的两点，且满足∠DBE ＝
错误!∠ABC （0°＜∠CBE ＜
错误!∠ABC ）．以点B 为旋转中心，将△BEC 按顺时针方向旋转∠ABC ,得到△BE ′A （点C 与点A 重合,点E 到点E ′ 处），连接DE ′．求证：DE ′＝DE ． （2)如图2，在△ABC 中，BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，D ，E 是AC 边上的两点，且满足∠DBE
＝
错误!∠ABC （0°＜∠CBE ＜45°)．求证：DE 2＝AD 2＋EC 2．
25．（江苏镇江)等边△ABC 的边长为2，P 是BC 边上的任一点（与B 、C 不重合)，连接AP ,以AP 为边向两侧作等边△APD 和等边△APE ，分别与边AB 、AC 交于点M 、N (如图1）． （1）求证:AM ＝AN ； (2）设BP ＝x ．
①若BM ＝
错误!
，求x 的值；
②记四边形ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与x 之间的函数关系式以及S 的最小值;
③连接DE ,分别与边AB 、AC 交于点G 、H （如图2),当x 取何值时，∠BAD ＝15°?并判断此时以DG 、GH 、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．
A
B
C 图2
E
D A B C
E ′
图1 E D A E
D
M
N
A
E
D M
N
G H
26．（江苏模拟）如图,在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，2），点P 是线段OA 上的一个动点（不与端点重合)，过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ,以PQ 为边向右作正方形PQMN ．连接AN 并延长交x 轴于点B ,连接ON ，设OQ ＝t ． （1）求tan ∠BON 的值； （2）用含t 的代数式表示△OAB 的面积S ； （3）是否存在点P ,使以B 、M 、N 为顶点的三角形与△MON 相似，若存在,请求出B 点的坐标;若不存在，请说明理由．
27．（江苏模拟)在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（0，4）,A （t ,0）是x 轴上一动点，M 是线段AC 的中点．把线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转90°，得到线段AB ，过点B 作x 轴的垂线，过点C 作y 轴的垂线，两直线交于点D ，直线DB 交x 轴于点E ． （1)若t ＝3，则点B 的坐标为____________,若t ＝－3，则点B 的坐标为____________； （2）当t 为何值时，△BCD 的面积等于6
？
（3）是否存在t ，使得以B 、C 、D 为顶点的三角形与△AOC 相似?若存在，求此时t 的值；若不存在,请说明理由．
28．（江苏模拟）如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ADE ＝90°，∠BAE ＝135°,AC ＝2错误!，AD ＝1，F 为BE 的中点．
(1)求CF 的长；
（2）将△ADE 绕点A 旋转一周，求点F 运动路径的长．
备用图
备用图
C A B
D E
F
29．（江苏模拟）如图，在△ABC 中,AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，点D 为AC 边上一点，且AD ＝8cm ．动点E 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿线段BC 向终点C 运动，F 是射线CA 上的动点，且∠DEF ＝∠B ．设运动时间为t s ，CF 的长为y cm ． （1）求y 与t 之间的函数关系式及点F 运动路线的长；
（2）当以点B 为圆心，BE 长为半径的⊙B 与以点C 为圆心，CF 长为半径的⊙C 相切时，求t 的值；
(3）当△CEF 为等腰三角形时，求t 的值．
30．（江苏模拟）如图，在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ，∠A ＝90°，AB ＝8，tan C ＝
错误!
，BD ＝CD ，E 、F 分别是线段BC 、BDC 上的动点（点E 与点B 、C 不重合），且∠DEF ＝∠ADB ．设CE ＝x ，DF ＝y ． （1)求BC 和BD 的长；
（2）求y 与x 的函数关系式；
（2）当△DEF 为等腰三角形时，求x 的值．
31．（江苏模拟）如图,Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 是AC 上一点，点G 在BE 上，连接DG 并延长交AE 于F ，若∠FGE ＝45°．
(1）求证：BD ·BC ＝BG ·BE ；
（2）求证：AG ⊥BE ；
(3）若E 是AC 的中点,求
错误!
的值．
32．（河北)如图1，点E 是线段BC 的中点,分别以B ，C 为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰直角三角形,且在BC 的同侧．
（1）AE 和ED 的数量关系为______________，
AE 和ED 的位置关系为______________；
(2）在图中，以点E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，点H 是BC 所在直线上的一点，
连接GH ，HD ，分别得到了图2和图3．
①在图2中，点F 在BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比是1 ：
2，H 是EC 的中点．
C
C
备用图
A B C
D E
F
求证:GH ＝HD ，GH ⊥HD ．
②在图3中，点F 在BE 的延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是k :
1，若BC ＝2，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH ＝HD 且GH ⊥HD （用含k 的代数式表示）．
33．(河北）如图1和图2,在△ABC 中，AB ＝13,BC ＝14，cos ∠ABC ＝
错误!
． 探究 如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝__________,AC ＝__________，△ABC 的面积S △ABC
＝__________．
拓展 如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A ，C 作直线BD 的垂线,垂足为E ，F ．设BD ＝x ，AE ＝m ,CF ＝n ．（当点D 与A 重合时，我们认为S △ABD
＝0) （1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD
；
（2）求( m ＋n ）与x 的函数关系式,并求( m ＋n
）的最大值和最小值；
（3)对给定的一个x 值,有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A ，B ，C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程）,并写出这个最小值．
34．（河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，在△ABC 中，BC ＝2AB ，点B 的坐标为（－4,0），点D 是BC 的中点,且tan ∠ACB ＝ 错误!
． （1）求点A 的坐标；
（2）点P 从C 点出发，沿线段CB 以每秒5个单位的速度向终点B 匀速运动，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，PE 交直线AC 于点F ，设EF 的长为y （y ≠0）,点P 的运动时间为t 秒，求y 与t 之间的函数关系式(直接写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2)的条件下，过点O 作OQ ∥AC 交A B 于Q 点，连接DQ ．是否存在这样的t 值，使△FDQ 是以DQ 为一条直角边的直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
B E A D
C 图2
G F H B E A D C 图1 B
E
A
D
C
图3 G F
H
A C H
B 图1 A
C E B 图2
D
F
35．(山西模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线l 与坐标轴相交于A （2错误!，0），B （0，错误!）两点,将Rt △AOB 绕原点O 逆时针旋转得到Rt △A ′OB ′． （1）求直线l 的解析式；
（2）若OA ′⊥AB ，垂足为D ,求点D 的坐标;
（3）如图2，若将Rt △AOB 绕原点O 逆时针旋转90°，A ′B ′ 与直线l 相交于点F ，点E 为x 轴上一动点．试探究:是否存在点E ,使得以点A ,E ，F 为顶点的三角形和△A ′BB ′ 相似．若存在，请求出点E 的坐标;若不存在，请说明理由．
36．（陕西）如图，正三角形ABC 的边长为3＋错误!．
（1）如图①，正方形EFPN 的顶点E 、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上．在正三角形ABC 及其内部,以点A 为位似中心,作正方形EFPN 的位似正方形E ′F ′P ′N ′,且使正方形E ′F ′P ′N ′
的面积最大（不要求写作法)；
（2）求（1）中作出的正方形E ′F ′P ′N ′
的边长；
(3)如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE 、EF 在边AB 上,点P 、N 分别在边CB 、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．
37．(陕西模拟）（1)如图1，△ABC 在平面坐标系内，点A （0，3，3）,B (－3，0)，C （2，0)．一动点由点A 沿y 轴向下运动，运动到线段OA 上的G 点时，再沿GC 到达C ．若由A
B C A
图①
E F P N B
C
A
图②
E F
M N P D
H
图1
图2
到G 方向的速度是G 到C 方向的速度的2倍,要使动点由A －G －C 所用的时间最短,求点G 的坐标；
（2）如图2，A 、B 两村相距10千米,且tan A ＝
错误!
，现计划修一条公路把A 、B 两村连接起来，由于A 、B 两村之间有些重要的建筑物不能直接经过，故计划先沿水平AC 方向修到某处M ，再由M 处沿山坡修到B 村．
①若由A 到M 的速度是M 到B 的速度的 错误!
倍，要尽快完成任务，求AM 的长; ②若由A 到M 的速度是M 到B 的速度的3倍，要尽快完成任务，求AM 的长；
③若由A 到M 的速度是M 到B 的速度的n 倍，要尽快完成任务,直接写出AM 的长．
38．(新疆乌鲁木齐)如图，已知点A （－12,0），B (3,0），点C 在y 轴的正半轴上,且∠ACB ＝90°．
（1）求点C 的坐标；
（2）求Rt △ACB 的角平分线CD 所在直线l 的解析式；
（3）在l 上求出满足S △PBC
＝
错误!
S △ACB 的点P 的坐标； （4）已知点M 在l 上，在平面内是否存在点N ，使以O 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
39．（内蒙古赤峰）如图所示,要在燃气管道l 上修建一个
泵站，分别向A 、B 两镇供气，已知A 、B 到l 的距离分别是3km 、4km(即AC ＝3km,BE ＝4km ），AB ＝x km ，现设计两种方案；
方案一：如图①所示,AP ⊥l 于点P ，泵站修建在P 处，该方案中管道长度a 1＝AB ＋AP ； 方案二：如图②所示，点A ′
与点A 关于l 对称，A ′B 与l 相交于点P ,泵站修建在点P 处,该方案中管道长度a 2＝AP ＋BP
（1）在方案一中，a 1＝____________km （用含x 的式子表示）; （2）在方案二中，a 2＝____________km （用含x 的式子表示）；
（3）请你分析要使铺设的输气管道最短，应选择方案一还是方案二．
图1 M C A 图2
B C A B
E l P A B
l
图①
(C )
P
A B
l 图②
C
40．（黑龙江哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中,点O 坐标原点,直线y ＝2x ＋4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ,四边形ABCO 是平行四边形，直线y ＝－x ＋m 经过点C ，交x 轴于点D ． (1）求m 的值;
（2）点P （0，t )是线段OB 上的一个动点（点P 不与O ，B 两点重合)，过点P 作x 轴的平行线，分别交AB ，OC ，DC 于点E ,F ，G ．设线段EG 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点H 是线段OB 上一点，连接BG 交OC 于点M ，当以OG 为直径的圆经过点M 时，恰好使∠BFH ＝∠ABO ．求此时t 的值及点H 的坐标．
41．（黑龙江哈尔滨）已知：在△ABC 中,∠ACB ＝90°,点P 是线段AC 上一点，过点A 作AB 的垂线，交BP 的延长线于点M ，MN ⊥AC 于点N ，PQ ⊥AB 于点Q ，AQ ＝MN ． (1）如图l ，求证:PC ＝AN ；
（2）如图2,点E 是MN 上一点,连接EP 并延长交BC 于点K ，点D 是AB 上一点，连接DK ,∠DKE ＝∠ABC ，EF ⊥PM 于点H ，交BC 延长线于点F ,若NP ＝2，PC ＝3,CK :
CF ＝2 ：
3，求DQ 的长．
42．(哈尔滨模拟）已知△ABC 中，∠ACB ＝2∠BAC ，点E 在边AC 上，且AE ＝BE ,CD 平分∠ACB 交AB 于点D ,连接DE ． （1）如图1，求证：BD ＝ED ; （2）设线段CD 、BE 相交于点P ，将∠BAC 沿直线AC 翻折得到∠B ′AC （如图2),射线AB ′ 交BE 延长线于点Q ,连接CQ ．若DE ：
BC ＝2 ：
3,求∠ACQ 的正切值．
B
D
C P
E Q B ′ B D
C P E
O A y
x
备用图
B C D O A y x B C D Q A P B C M N （图1） Q A
P B C
M
N （图2） K D
E N F
43．(哈尔滨模拟）在△ABC 中,∠ACB ＝90°，点P 、D 分别在边AB 、AC 上,且PC ＝PD ． （1）如图1，若tan B ＝1，请写出线段CD 与线段PB 的数量关系； （2）如图2,若tan B ＝2，求证：2BC ＝AD ＋
错误!PB ．
(3）如图3，在（2）的条件下，若点B 关于直线CP 的对称点E 恰好落在边AC 上，连接PE 、BD 分别交PE 、CP 于M 、N 两点，且AD ＝2,求线段MN 的长．
44．（哈尔滨模拟）已知△ABC 中，∠ACB ＝2∠ABC ，AD 为∠BAC 的平分线，E 为线段AC 上一点，过E 作AD 的垂线交直线AB 于F ．
（1）如图1,当点E 与点C 重合时，求证:BF ＝DE ；
(2）如图2，连接BE 交AD 于点N ,M 是BF 的中点，连接DM ．若DM ⊥BF ,DC ＝4，S △ABD ：
S △ACD ＝3 ：
2,求DN 的长．
45．（辽宁沈阳）已知，如图①，∠MON ＝60°，点A ，B 为射线OM ,ON 上的动点(点A ,B 不与点O 重合)，且AB ＝4错误!，在∠MON 的内部、△AOB 的外部有一点P ,且AP ＝BP ，∠APB ＝120°．
（1）求AP 的长；
(2）求证：点P 在∠MON 的平分线上；
（3）如图②，点C ，D ，E ，F 分别是四边形AOBP 的边AO ，OB ,BP ，P A 的中点，连接CD ，DE ，EF ，FC ,OP ．
①当AB ⊥OP 时，请直接．．
写出四边形CDEF 的周长的值； ②若CDEF 的周长用t 表示，请直接．．写出t 的取值范围．
A P B
O
M
N
C D E
F A
P
B
O
M
N
P B A C D 图1 P B A C D 图2 P
B
A C E 图3 D M N
A
B D
N
C E
F M
图2 A B D C F
图1 (E )
46．（辽宁抚顺）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°,∠ABC ＝30°．点D 是直线BC 上的一个动点，连接AD ，并以AD 为边在AD 的右侧作等边△ADE ．
(1）如图①，当点E 恰好在线段BC 上时，请判断线段DE 和BE 的数量关系,并结合图①证明你的结论；
（2)当点E 不在直线BC 上时，连接BE ,其它条件不变，（1)中结论是否成立？若成立,请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；
（3）若AC ＝3，点D 在直线BC 上移动的过程中，是否存在以A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD 的长度;如果不存在，请说明理由．
47．（辽宁模拟）如图,在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，BC ＝6,AD ＝4．矩形EFGH 内接于△ABC (FG 在BC 边上），正方形PQMN 内接于△AEH （QM 在EH 边上）,PN 、EH 分别交AD 于点R 、S ．设AE ＝x ．
（1）试用x 的代数式表示线段PN 、EH 的长；
（2）设S ＝S 正方形PQMN
＋
S 矩形EFGH
①求S 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；
②当x 取何值时,S 有最大值？ （3）连接FH ，当△HFC 是等腰三角形时，求x 的值． 48．（四川成都）如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP ＝AQ 时，求证:△BPE ≌△CQE ;
（2）如图②,当点Q 在线段CA 的延长线上时,求证:△BPE ∽△CEQ ；并求当BP ＝a ,CQ ＝
错误!
a 时,P ，Q 两点间的距离(用含a 的代数式表示）．
A P F
B Q
C E
图①
D A
P
F B Q
C
E
图②
D
B D A
C E 图① B
D A C
E 图② B
A
C
备用图 A
B P G C
E F H
Q M N R
S D
49．（四川南充）在Rt △POQ 中，OP ＝OQ ＝4，M 是PQ 中点,把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺,三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A 、B ．
（1）求证：MA ＝MB ；
（2）连接AB ，探究:在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值;若不存在，请说明理由．
50．(四川攀枝花)如图所示,在形状和大小不确定的△ABC 中,BC ＝6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，P 在EF 或EF 的延长线上，BP 交CE 于D ,Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP ＝y ，PE ＝x ．
（1）当x ＝
错误!
EF 时，求S △DPE : S △DBC
的值；
（2）当CQ ＝ 错误!
CE 时，求y 与x 之间的函数关系式； （3）①当CQ ＝ 错误!
CE 时，求y 与x 之间的函数关系式；
②当CQ ＝ 错误!
CE （n 为不小于2的常数）时，直接写出y 与x 之间的函数关系式．
51．（四川宜宾）如图,在△ABC 中,已知AB ＝AC ＝5,BC ＝6，且△ABC ≌△DEF ．将△DEF
与△ABC 重合在一起，△ABC 不动,△DEF 运动，并满足:点E
在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与
AC 交于M 点．
(1)求证：△ABE ∽△ECM ；
M P
Q
O A B
A
C B P F E
D Q
（1） A
C B P F E D
Q
（2） B
F
E
（2)探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长;若不能，请说明理由；
（3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积． 52．（四川某校自主招生）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 、CE 分别是高和角平分线，若△BCE 的面积为15，△CDE 的面积为3，求△ABC 的面积．
53．(四川模拟）已知三角形纸片ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6,AC ＝8．折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点D 处，折痕为EF （点E 在AB 上，点F 在AC 上)．
（1)当D 是BC 的中点时，求EF 的长；
（2）当以B 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求EF 的长；
（3）△BDE 能否成为以DE 为腰的等腰三角形？若能，求AE 的长；若不能,说明理由． 54．（湖南娄底）如图,在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝30°,BC ＝8，D 在边BC 上,E 在线段DC 上，DE ＝4,△DEF 是等边三角形,边DF 交边AB 于点M ，边EF 交边AC 于点N ． （1）求证:△BMD ∽△CNE ；
(2）当BD 为何值时，以M 为圆心，以MF 为半径的圆与BC 相切?
（3）设BD ＝x ,五边形ANEDM 的面积为y ，求y 与x 的函数解析式（要求写出自变量x 的取值范围)；当x 为何值时，y 有最大值？并求y 的最大值．
55．（湖南邵阳)如图所示，直线y ＝－
错误!
x ＋b 与x 轴相交于点A （4,0），与y 轴相交于点B ，将△AOB 沿着y 轴折叠，使点A 落在x 轴上,点A 的对应点为点C ． （1）求点C 的坐标；
（2）设点P 为线段CA 上的一个动点(点P 与点A 、C 不重合），连接PB ,以点P 为端点作射线PM 交AB 于点M ,使∠BPM ＝∠BAC ． ①求证：△PBC ∽△MP A ；
②是否存在点P 使△PBM 为直角三角形？若存在,请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
A
C
B F
D
E
M
N E
A F
D B C
56．(湖南岳阳）
（1）操作发现:如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点(点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其它作法与（1)相同，猜想AF 与BD 在(1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究:
Ⅰ．如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时(点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在其上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF ′，连接AF 、BF ′，探究AF 、BF ′
与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D 在等边△ABC 边BA 的延长线上运动时，其它作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立,是否有新的结论？并证明你得出的结论．
57．(湖北武汉）在锐角三角形ABC 中，BC ＝5，sin A ＝
错误!
． (1)如图1，求△ABC 的外接圆的直径；
（2）如图2，点I 为△ABC 的内心,若BA ＝BC ,求AI 的长．
B C 图① A D
F B
C 图② A
D F B C
图③ A D F F ′
B C 图④
A
D F
F ′ B
C A 图1 图2
58．(湖北武汉）已知△ABC 中，AB ＝2，5，AC ＝45，BC ＝6．
（1）如图1,点M 为AB 的中点，在线段AC 上取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求线段MN 的长；
（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．
①请你在所给的网格中画出格点△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1与△ABC 全等（画出一个即可，不需证明)
②试直接写出所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明)．
59．（湖北黄石）如图（1）所示：等边△ABC 中,线段AD 为其内角角平分线，过D 点的直线B 1C 1⊥AC 于C 1交AB 的延长线于B 1．
（1)请你探究：错误!
＝
错误!
，错误!
＝
错误! 是否都成立? （2）请你继续探究：若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角角平分线,请问 错误!
＝
错误! 一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图(2）所示：Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝
错误!
,E 为AB 上一点且AE ＝5，CE 交其内角角平分线AD 于F ，试求 错误! 的值．
60．（湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田）△ABC 中,AB ＝AC ，D 为BC 边中点，以D 为顶点作∠MDN ＝∠B ．
（1）如图（1），当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形；
图
1 图2
C
C 1
D
B A B 1 图（1）
C
D
E A B
图（2） F。