2022年1月福建高中学业水平合格性考试数学试卷真题(答案详解)

机密★启用前
2022年1月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学试题
（考试时间：90分钟；满分：100分）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至3页，第II 卷4至6页．注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的考生号､姓名填写在试题卷､答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号､姓名”与考生本人考生号､姓名是否一致．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：
第I 卷（选择题45分）
一､选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}{}2,0,1,0,1,2A B =-=，则A B = （）
A ．{}
0,1B ．{}
2,0,1-C ．{}
0,1,2D ．{}
2,0,1,2-2．某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体是（
）
A ．球
B ．圆锥
C ．圆台
D ．圆柱
3．直线1y =+的倾斜角是（）
A ．
6
πB ．
3
πC ．23
πD ．
56
π4．函数()2log 32y x =-的定义域是（）
A ．2,3⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭B ．2,3⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
C ．()
0,∞+D ．R
5．随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为奇数的概率是（）
A ．
16
B ．
13
C ．1
2
D ．
2
3
6．等差数列{}n a 中，若14a =，公差2d =，则5a =（）
A ．10
B ．12
C ．14
D ．22
7．已知函数()22,0,
2,0,x x x f x x ⎧-=⎨<⎩
则()()1f f =（
）
A ．4
B ．2
C ．1
2
D ．1
-8．已知3
sin 5
α=，且α为第一象限角，则cos α=（）
A ．
4
5
B ．45
-
C ．
34
D ．34
-
9．函数()234x
f x x =+-的零点所在的区间是（
）
A ．()1,0-
B ．()0,1
C ．()1,2
D ．()
2,310．函数sin 2y x =的最小正周期是（
）
A ．
2
πB ．πC ．2π
D ．4π
11．如图，在长方体体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱111,BB B C 的中点，以下说法正确的是（
）
A ．1A E 平面11CC D D
B ．1A E ⊥平面11BC
C B C ．11A E
D F ∥D ．11A
E D
F ⊥12．函数1
y x x
=+
的图象大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
13．为了得到函数sin 13y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin y x =的图象（
）
A ．向右平移
3π
个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3
π
个单位长度，再向下平移1个单位长度
C ．向左平移3π
个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3
π
个单位长度，再向下平移1个单位长度
14．已知3321
log 4,log 2,log 3
a b c ===测,,a b c 的大小关系是（
）
A ．a b c <<
B ．c<a<b
C ．a c b
<<D ．c b a
<<15．下列各组向量中，可以用来表示向量()3,5a =
的是（
）
A ．()()120,0,1,2e e ==-
B ．()()121,2,1,2e e ==--
C ．()12,3e =
，()24,6e = D ．()()
121,3,2,1e e ==-
第II 卷（请考生在答题卡上作答）
二､填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
16．数列{}n a 的前几项和为n S ，且111,2n n a a a +==，则，4S =__________．
17．ABC 的内角,,A B C
所对的边分别为,,a b c ，且60,45a A B == ，则b =__________．18．已知向量a 与b 满足
5,4a b == ，且10a b ⋅=r r
，则a 与b 的夹角等于__________．19．一车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所需的时间，为此进行了多次试验，收集了加工零件个数x 与所用时间y （分钟）的相关数据，并利用最小二乘法求得回归方程
0.6755y x =+．据此可预测加工200个零件所用的时间约为__________分钟．
20．某工厂要建造一个容积为39m 的长方体形无盖水池．如果该水池池底的一边长为1m ，池底的造价为每平方米200元，池壁的造价为每平方米100元，那么要使水池的总造价最低，水池的高应为__________m ．
三､解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
21．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于P 点34,.
55⎛⎫
⎪⎝⎭
(1)求()sin πα-的值；(2)求tan 4πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值．
22．某校高三年级共有学生1000名．该校为调查高三学生的某项体育技能水平，从中随机抽取了100名学生进行测试，记录他们的成绩，并将数据分成6组：
[)[)[]40,50,50,60,,90,100 ，整理得到频率分布直方图，如图．
(1)若0.002,0.006a b ==，估计该校高三学生这项体育技能的平均成绩；
(2)如果所抽取的100名学生中成绩分布在区间[)60,70内的有8人，估计该校高三学生这项体育技能成绩低于60分的人数．
23．如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面,ABC AC BC
⊥(1)求证：PA ⊥BC ；
(2)若2,30PA PC BC BAC ∠==== ，求三棱锥-P ABC 的体积.
24．已知函数()()e e e e ,22
x x x x
f x
g x ---+==
．(1)从()(),g f x x 中选择一个函数，判断其奇偶性，并证明你的结论；(2)若函数()()()x x h f g x a =-有零点，求实数a 的取值范围．
25．已知圆C 过点()()1,2,2,1A B ，且圆心C 在直线y x =-上．P 是圆C 外的点，过点P 的直线l 交圆C 于,M N 两点．(1)求圆C 的方程；
(2)若点P 的坐标为()0,3-，求证：无论l 的位置如何变化PM PN ⋅恒为定值；
(3)对于（2）中的定值，使PM PN ⋅恒为该定值的点P 是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点P 的集合（不必证明）．
1．A 【分析】
根据集合交集的定义即可求解.【详解】
解：因为集合{}{}2,0,1,0,1,2A B =-=，所以{}0,1A B = ，故选：A.2．D 【分析】
由几何体的三视图可得该几何体为圆柱，从而即可得答案.【详解】
解：由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是球、圆锥、圆台，故选项A 、B 、C 错误，因此该几何体为圆柱，即选项D 正确，故选：D.3．B 【分析】
根据直线斜率等于倾斜角的正切值，从而求出倾斜角θ【详解】
因为：
1y +，所以：k
由于：k tan θ=，则tan θ，即：θ=3
π故选：B.【点睛】
本题考查直线斜率与倾斜角的关系4．B 【分析】
根据真数大于零，即可解出．【详解】
由320x ->解得：23
x >
．
5．C 【分析】
分别求出点数向上的结果数和向上的点数为奇数的结果数，由古典概率可得答案.【详解】
随机投掷一枚质地均匀的骰子，点数向上的结果有6种，其中向上的点数为奇数的有3种所以出现向上的点数为奇数的概率是3162
=故选：C 6．B 【分析】
根据等差数列的性质直接计算即可.【详解】
由等差数列的性质可知：51444212a a d =+=+⨯=；故选：B.7．C 【分析】
根据分段函数的定义即可求解.【详解】
解：因为()22,0
2,0
x x x f x x ⎧-=⎨<⎩，所以2(1)121f =-=-，
所以()()()1
11122
f f f -=-==
，故选：C.8．A 【分析】
根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系即可解出．【详解】
因为α为第一象限角，3sin 5
α=，所以4cos 5α==．
故选：A ．9．B
根据函数零点存在定理即可判断.【详解】
解：因为()234x f x x =+-为R 上的增函数，又()0
0230430f =+⨯-=-<，
()11231410f =+⨯-=>，
所以函数()234x
f x x =+-的零点所在的区间是()0,1，
故选：B.10．B 【分析】
根据正弦型函数的最小正周期公式即可得出答案.【详解】
解：由函数sin 2y x =，则最小正周期22
T π
π==.故选：B.11．A 【分析】
对A ：由平面11ABB A 平面11CC D D ，然后根据面面平行的性质定理即可判断；
对B ：若1A E ⊥平面11BCC B ，则1A E ⊥1BB ，这与1A E 和1BB 不垂直相矛盾，从而即可判断；
对C 、D ：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由1 A E 与1D F
不是共线向量，且
2110A E D F b ⋅=>
，从而即可判断.
【详解】
解：对A ：由长方体的性质有平面11ABB A 平面11CC D D ，又1A E ⊂平面11ABB A ，所以1A E 平面11CC D D ，故选项A 正确；
对B ：因为E 为棱1BB 的中点，且111A B BB ⊥，所以1A E 与1BB 不垂直，
所以若1A E ⊥平面11BCC B ，则1A E ⊥1BB ，这与1A E 和1BB 不垂直相矛盾，故选项B 错误；对C 、D ：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设1,,DA a DC b DD c ===，则()1,0,A a c =，,,2c E a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,0,D c ，,,2a F b c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以10,,2c A E b ⎛⎫=- ⎝⎭ ，1,,02a D F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
因为1 A E 与1D F 不是共线向量，且2110A E D F b ⋅=>
，
所以1A E 与1D F 不平行，且1A E 与1D F 不垂直，故选项C 、D 错误.故选：A.12．A 【分析】根据函数1
y x x
=+的奇偶性以及值域即可解出．【详解】
因为()1y f x x x
==+
的定义域为{}|0x x ≠，且()()f x f x -=-，所以函数1y x x =+为奇函数，
其图象关于原点对称，所以排除C ；又当0x >时，1
2y x x
=+≥，当且仅当1x =时取等号，所以排除B ，D ．故选：A ．13．C 【分析】
由三角函数图象变换求解【详解】
要得到函数sin 13y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
需把函数sin y x =的向左平移3
π
个单位长度，再向上平移1个单位长度，故选：C 14．D
【分析】
运用对数的性质直接判断即可.【详解】
3log 41a =>，30log 21
b <=<，2
21
log log 303
c ==-<，a b c ∴>>；
故选：D.15．D 【分析】
在平面向量中能作为基底的充分必要条件是一组不平行的非零向量，按照这个条件逐项分析即可.【详解】
对于A ，()10,0e =
是零向量，不可以；
对于B ，12e e =-
，是平行向量，不可以；
对于C ，1212
e e = ，是平行向量，不可以；
对于D ，不存在实数λ使得12e e λ=
成立，是一组不平行的非零向量，可以；
故选：D.16．15【分析】
按照等比数列写出通项公式和求和公式计算即可.【详解】
12n n a a += ，∴{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，
44
41112115
112
q S a q --=⨯=⨯=--故答案为15.17
【分析】
直接运用正弦定理计算即可.【详解】
由正弦定理得：
sin sin45
,
sin sin sin sin60
a b B
b a
A B A
︒
︒
=∴=⨯==；
.
18．
3
π
##60︒
【分析】
直接用数量积的定义求夹角即可.
【详解】
依题意，
101
cos,
542
a b
a b
a b
===
⨯
，∴a
与b
的夹角为
3
π
；
故答案为：
3
π
.
19．189
【分析】
根据回归方程0.6755
y x
=+即可求解.
【详解】
解：因为回归方程0.6755
y x
=+，
所以当200
x=时，0.6720055189
y=⨯+=，
所以可预测加工200个零件所用的时间约为189分钟，
故答案为：189.
20．3
【分析】
写出底边长和高的关系式，运用基本不等式运算即可.
【详解】
由题意，设底面另一边长为x，高为y，则有9
xy=，
总造价为200210021002002001800
S x y xy x y
=+⨯+⨯=+
+
218003000
≥⨯=，当且仅当x=y=3时等号成立，
故答案为：3.
21．(1)
4
5
(2)-7
【分析】
先求出sin α和tan α，在根据诱导公式和两角和正切公式计算即可.(1)
由题意，4
44
5sin ,tan 3535
αα===，()4sin sin 5παα∴-==；
(2)
4
1tan
tan 34tan 74
41tan tan 143
π
απαπα+
+⎛⎫+===- ⎪⎝⎭--；
综上，()4sin π,tan 754παα⎛⎫
-=+=- ⎪⎝⎭
.22．(1)80.4(2)20
【分析】
（1）根据直方图所给出的数据求平均数即可；
（2）根据直方图面积等于1，求出a ，再将频率作为概率计算即可.（1）
由直方图可知：平均成绩
450.02550.02650.06750.4850.3950.280.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
即平均成绩为80.4；（2）
由于在[)60,70内有8人，0.008b ∴=，∴a =0.001，低于60分的人数约为20.00110100020⨯⨯⨯=人；综上，平均成绩约为80.4分，低于60分的人数约为20人.23．(1)证明见解析
【分析】
（1）根据面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面PAC ，从而即可得证PA ⊥BC ；（2）由三棱锥-P ABC 的体积1
3
A C P C P A
B S B
C V -=⨯ 即可求解.(1)
证明：因为平面PAC ⊥平面,ABC AC BC ⊥，平面PAC 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，所以PA ⊥BC ；(2)
解：由（1）知BC ⊥平面PAC ，所以BC AC ⊥，
又2,30BC BAC ∠== ，所以AC =
因为2PA PC ==，所以(2
22221
cos 222
2
APC +-∠==-⨯⨯，
所以sin APC ∠=
所以12222
APC S =
⨯⨯⨯=
所以三棱锥-P ABC 的体积11323
3A AP B C P C V S BC -⨯==
=
.24．(1)若选()f x ，则()f x 为奇函数；若选()g x ，则()g x 为偶函数.(2)()
1,1-【分析】
（1）根据函数奇偶性的定义即可求解；（2）将原问题等价转化为方程21e 1
2
x a =-+有解，求出21e 12x y =-+的值域即可得答案.
(1)
解：若选()f x ，则()f x 为奇函数，证明如下：因为()()e e 2
x x
f x f x ---=
=-且定义域为R ，所以()f x 为奇函数；
若选()g x ，则()g x 为偶函数，证明如下：因为()()e e
2
x x
g x g x -+-==且定义域为R ，所
以()g x 为偶函数；
(2)
解：因为函数()()()x x h f g x a =-有零点，
所以方程e e e e 022x x x x a ---+-⨯=，即222e e e 11e e 11
2
e e x x x x x x x a ----===-
+++有解，因为2e 0x >，所以2e 11x +>，2101e 1x
<<+，所以2111e 2
1
x -<-<+，所以11a -<<，即实数a 的取值范围()1,1-.25．(1)225x y +=(2)4
(3)不唯一，()(),,P a b a b R ∈.
【分析】
（1）联立AB 垂直平分线方程与y =-x ，求得圆心和半径即可；
（2）设过P 点的直线方程，与圆C 方程联立，按照两点距离公式计算即可；
（3）设点P 的坐标和过点P 的直线方程，与圆C 的方程联立，再用两点距离公式计算即可.(1)
B 两点的中点为33,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，斜率为12121AB k -=
=--，∴AB 垂直平分线的斜率为1，垂直平分线的方程为：y =x ，
联立方程y x
y x
=⎧⎨=-⎩，解得x =0，y =0，∴圆心为（0,0），半径为r ==，
圆C 的方程为：225x y +=；(2)如图：
若MN 斜率不存在，则3PN =-，3PM =，4PM PN = ；
若MN 斜率存在，设为k ，则MN 直线方程为y =kx -3，联立方程：225
3x y y kx ⎧+=⎨=-⎩
，
解得：()22
1640k x kx +-+=，
设()()1122,,,M x y N x y ，则12122
2
64
,11k x x x x k k +=
=++ ，
PM PN ==
，
()21214PM PN k x x =+= ，
即不论MN 斜率是否存在4PM PN = ，为定值4；(3)
不妨设P （a ,b ），当MN 斜率不存在时，联立方程：225
x y x a ⎧+=⎨=⎩
，
解得：y =，225PM PN b b a b =
-=+- ；
若MN 斜率存在，设为k ，则直线MN 的方程为()y kx b ak =+-，
联立方程：()
22
5x y y kx b ak ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩，解得：()
()()222
1250k x k b ak x b ak ++-+--=，
()()2
1212
2225,11k b ak b ak x x x x k k ---+=-=++ ，
()()2212121PM PN k x x a x
x a =
+-++ 225a b =+-，
即不论P 点在何处，MN 的斜率是否存在，22
5PM PN a b =+- ，为定值；
综上，圆C 的方程为225x y +=，4PM PN = ，P 点不唯一，其集合为()(),,P a b a b R ∈.。