高中数学第一章计数原理5第二课时二项式系数的性质教学案北师大版选修2-3

第二课时二项式系数的性质
[对应学生用书P17]
二项式系数的性质
n依次取1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示：
观察此表，思考下列问题．
问题1：同一行中，系数有什么规律？
提示：两端都是1，与两端1等距离的项的系数相等，
r n C
即
＝
n C
.
－r
问题2：相邻两行，系数有什么规律？
提示：在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即
＝
C
n C
r n＋1
.
r－1
r n C
＋
“杨辉三角”及其规律
(1)杨辉三角
(2)“杨辉三角”蕴含的规律
①在同一行中，每行两端都是1.
②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和．即二项式系数
.
r n C ＋r －1n C ＝r n ＋1C 满足组合数的性质 ＝
r n C 的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性．”等距离“与首末两端③.
－r n C
1．二项式系数性质类似于组合数的两个性质：
；－r n C ＝r n (1)C .
r n C ＋r －1n C ＝r n ＋1(2)C 的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数和
n
)b ＋a (．从表中可以看出2.
n
2＝n C ＋…＋2n C ＋1n C ＋0n C ，而n
2等于
[对应学生用书P18]
与“杨辉三角”有关的问题
[例1] 如图所示，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n 项和为
S n ，求S 19的值．
[思路点拨] 观察数列各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式系数，利用组合的性质求和．
[精解详析] 由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.
∴S 19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211) ＝
2＋10×9
2
＋C312＝54＋220＝274.
[一点通] 解决与杨辉三角有关问题的一般思路：
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察； (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．
1．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为
________．
解析：观察规律可知：第n 行的首尾两个数均为2n －1. 答案：2n －1
2．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
行3；第2C ，12C ，02C 行中的数是2；第1C ，01C 行中的数是1解析：由杨辉三角知，第行中从左到
n 设第.n C ，…，2n C ，1n C ，0n C 行中的数是n ；第…；3C ，23C ，13C ，03C 中的数是34.
＝n ，解之得3∶2＝14n C ∶13n C ，则3∶2个数的比为15与第14右第 答案：34
二项展开式中系数的和
[例2] (10012 2 013
(1)求a 0的值；
(2)求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 013的值； (3)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 20 13的值．
[思路点拨] 可在已知的等式中分别取x ＝0,1，－1，得各系数和、差的关系，进而求解．
[精解详析] (1)在等式(1－2x )2 013
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x
2 013
中，令x ＝0，得1
＝a 0.
∴a 0＝1.
(3分)
(2)在等式中，令x ＝1，得－1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 013，∴a 1＋a 2＋…＋a 2 013＝－2.
(6分)
(3)令x ＝－1，x ＝1，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
32 013＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012－a2 013，
－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＋a2 013， 相减，得－1－32 013
＝2(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)．
(8分)
∴a 1＋a 3＋…＋a 2 013＝－12(1＋22 013
)．
(10分)
[一点通] (1)赋值法是求二项展开式系数和问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．
(2)一般地，二项式展开式f (x )的各项系数的和为f (1)，奇次项系数和为1
2
[f (1)－
f (－1)]，偶次项系数和为1
2
[f (1)＋f (－1)]．
3．(1－2x )15
的展开式中的各项系数和是( ) A ．1 B ．－1 C ．215
D ．315
解析：令x ＝1时(－1)15
＝－1. 答案：B
4．若(3x －1)7
＝a 7x 7
＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7|. 解：(1)令x ＝0，则a 0＝－1.
令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 7＝27
＝128，① ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.
(2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋…＋a 6－a 7＝(－4)7
，② 由①－②得，2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8256. (3)∵T r ＋1＝Cr 7(3x )
7－r
(－1)r
，
∴a 2k －1>0(k ∈N ＋)，a 2k <0(k ∈N ＋)． ∴|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7| ＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－…－a 6＋a 7 ＝47
＝16 384.
解决与杨辉三角有关的问题的注意事项：
(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系．然后对数
据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．
的应用．
m －1n C ＋m n C ＝m n ＋1C ，－m n C ＝m n C 注意二项式系数性质(2)
[对应课时跟踪训练八]
1．(x －1)11
展开式中x 的偶次项系数之和是( ) A ．－2 048 B ．－1 023 C ．－1 024
D ．1 024
解析：令f (x )＝(x －1)11
，偶次项系数之和是f
1＋f －1
2
＝
－211
2
＝－1 024.
答案：C
2．若C1n x ＋C2n x 2＋…＋Cn n x n
能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4
D ．x ＝6，n ＝5
解析：由C1n x ＋C2n x 2
＋…＋Cn n x n
＝(1＋x )n
－1分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有x ＝5，n ＝4适合．
答案：C
3．若⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x n
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A ．10
B ．20
C ．30
D ．120
解析：由2n
＝64，得n ＝6，∴T k ＋1＝Ck 6x 6－k
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x k
＝Ck 6x
6－2k
(0≤k ≤6，k ∈N )．
由6－2k ＝0，得k ＝3.∴T 4＝C36＝20. 答案：B
4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x 4的展开式中各项系数之和是16.则a 的值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．－1或3
解析：由题意可得(a －1)4
＝16，a －1＝±2，解得a ＝－1或a ＝3.
答案：D
5．若(x 2
＋1)(2x ＋1)9
＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2
＋…＋a 11(x ＋2)11
，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．
解析：令x ＝－1，则原式可化为[(－1)2
＋1][2×(－1)＋1]9
＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋…＋a 11(2－1)11
，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.
答案：－2
6．若(2x ＋3)4
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋a 3x 3
＋a 4x 4
，则(a 0＋a 2＋a 4)2
－(a 1＋a 3)2
的值为________．
解析：(a 0＋a 2＋a 4)2
－(a 1＋a 3)2
＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)·(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(a 0＋a 1
＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4
，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4
＝(2－3)4
，于是(2＋3)4
·(2－3)4＝1.
答案：1
7．已知(1＋3x )n
的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．
解：由题意知Cn n ＋Cn －1n ＋Cn －2n ＝121， 即C0n ＋C1n ＋C2n ＝121， ∴1＋n ＋
n n －12
＝121，即n 2
＋n －240＝0， 解得n ＝15或－16(舍)．
∴在(1＋3x )15
的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项． 且T 8＝C715(3x )7
＝C71537x 7
，
T 9＝C815(3x )8＝C81538x 8.
8．对二项式(1－x )10
，
(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项． (2)求展开式中各二项式系数之和．
(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和． 解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，
T 6＝C510(－x )5＝－252x 5.
(2)C010＋C110＋C210＋…＋C1010 ＝210
＝1 024.
(3)设(1－x )10
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 10x 10
. 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0.
令x＝0，得a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.。