241圆的标准方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)

2.4.1圆的标准方程
（基础知识+基本题型）
知识点一 确定圆的几何要素
确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.
从集合的角度理解圆
（1）圆的定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径.
（2）确定一个圆的条件
在平面直角坐标系中，圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆上的点M 的集合就是集合{|||}P M MA r ==.
知识点二 圆的标准方程
1．圆的标准方程的推导
如图所示，设圆上任意一点(,)M x y ，圆心A 的坐标为(,)a b ，
由||MA r =r =，
等式两边平方得222()()x a y b r -+-=.①
若点(,)M x y 在圆上，易知点M 的坐标满足方程①；
反之，若点(,)M x y 的坐标适合方程①，则点M 在圆上，我们把方程222()()x a y b r -+-=称为圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆的标准方程.
确定圆的标准方程的条件
（1）圆的标准方程中有三个参数a ，b ，r ，其中实数对(,)a b 是圆心的坐标，能确定圆的位置；正数r 表示圆的半径，能确定圆的大小.
（2）已知圆的圆心坐标和圆的半径，即可写出圆的标准方程，反之，已知圆的标准方程，即可写出圆的圆心坐标和圆的半径.
2．几种常见的特殊位置的圆的方程
1．圆的标准方程的推导
圆的标准方程为222
()()
x a y b r
-+-=，圆心为(,)
A a b，半径长为r.设所给点为
00
(,)
M x y，则点M与圆的位置关系及判断方法如下：
（
系来判断.
（2）判断点与圆的位置关系时，还可将点的坐标代入圆的标准方程的左边，与半径的平方比较大小.
考点一：圆的标准方程
例1．求满足下列条件的各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3；
(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上；
(3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．
【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.
【答案】（1）229x y +=（2）22(2)10x y -+=（3）()()22
8325x y -++= 【解析】(1)229x y +=
(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，
所以半径为||CB =，所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.
(3)解法一：∵圆的半径
||5r CP ==
=，圆心在点()8,3C - ∴圆的方程是()()228325x y -++=
解法二：∵圆心在点()8,3C -，故设圆的方程为()()22
283x y r -++= 又∵点()5,1P 在圆上，∴()()22
25813r -++=，∴225r = ∴所求圆的方程是()()22
8325x y -++=.
例2 已知圆过两点(3,1)A ，(1,3)B -，且它的圆心在直线320x y --=上，求此圆的标准方程.
解：方法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.
依题意，有222
222(3)(1)(1)(3)320a b r a b r a b ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪--=⎩
，
即22222262102610320a b a b r a b a b r a b ⎧+--=-⎪++-=-⎨⎪--=⎩，解得22410a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.
故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.
方法2：直线AB 的斜率311132
k -==---， 所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为2.
线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为3112x -==，1322
y +==. 因此直线m 的方程为22(1)y x -=-即20x y -=.
又因为圆心在直线320x y --=上，
所以圆心是这两条直线的交点.
联立方程，得20320x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩
.
设圆心为C ，所以圆心坐标为(2,4)，又因为半径长||r CA ==所以所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.
方法3：设圆心为C .因为圆心C 在直线320x y --=上，
所以可设圆心C 的坐标为(,32)a a -.
又因为||||CA CB =2a =.
所以圆心为(2,4)，半径长||r CA ==.
故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.
【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：
（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2；
（2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；
（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
考点二：点与圆的位置关系
例3．判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）与圆(x ―5)2+(y ―6)2=10的位置关系．
【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内
【解析】 ∵圆的方程为(x ―5)2+(y ―6)2=10，
分别将M （6，9），N （3，3），Q （5，3）代入得
(6―5)2+(9―6)2=10，∴M 在圆上；
(3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N 在圆外；
(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q 在圆内．
【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O ，半径为r ，则点P 在圆内⇔|PQ|＜r ；点P 在圆上⇔|PQ|=r ；点P 在圆外⇔|PO|＞r ．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2，圆心为A （a ，b ），半径为r ，则点M （x 0，y 0）在圆上⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2=r 2；点M （x 0，y 0）在圆外⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＞r 2；点M （x 0，y 0）在圆内⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＜r 2．
例4 已知点(1,2)A 在圆C ：222()()2x a y a a -++=的内部，求实数a 的取值范围. 解：因为点A 在圆的内部，所以222(1)(2)2a a a -++<.
所以250a +<，52a <-.所以a 的取值范围是5|2a a ⎧⎫<-⎨⎬⎩
⎭. 总结：利用已知点与圆的位置关系确定圆中的参数的值或取值范围时，可直接将点的坐标代入圆的标准方程，依据点与圆的位置关系，得出方程或不等式，求解即可.
例5 已知两点1(3,8)P 和2(5,4)P ，求以线段12P P 为直径的圆的标准方程，
并判断点(5,3)M ，(3,4)N ，(3,5)P 是在圆上、在圆内、还是在圆外.
解：设圆心(,)C a b ，半径长为r .因为点C 为线段12P P 的中点，
所以3542a +==，8462
b +==，即圆心坐标为(4,6)C .又由两点间的距离公式，
得1||r CP =所求圆的标准方程为
22(4)(6)5x y -+-=.
分别计算点M ，N ，P 到圆心C 的距离：||CM =>
||CN =，||CP =所以点点M 在此圆外，点N 在此圆上，点P 在此圆内.。