正弦定理作业2及解答
正弦定理练习题及答案解析
) 2，则，ABC中，A＝60°a＝(43，b＝41．在△．B＝135°B．B＝45°或135° A ．以上答案都不对DC．B＝45°2.45°b，∴B＝，∵a＞＝B解析：选2) ，则a等于(，若c＝2，b＝6，B＝2．△ABC的内角A，120°B，C的对边分别为a，b，c2 B．162 ，＝＝sin 由正弦定理C解析：选?D.2sin 120°C sin2.c＝＝30°?a于是＝C＝30°?A1__________.＝BC＝1，则AB150°．在△ABC中，若tan A＝，C＝，331 150°，C＝，＝解析：在△ABC中，若tan A31 1，＝，BC＝A∴A为锐角，sin 1010sin CBC·＝AB＝则根据正弦定理知.A2sin10答案：2BDAB4．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交对边BC于D，求证：＝.DCAC证明：如图所示，设∠ADB＝θ，则∠ADC＝π－θ.在△ABD中，由正弦定理得：A sin2BDBDAB＝；①＝，即θAB sin sin θA sin 2CDAC在△ACD中，＝，A sin?π－θ?sin 2A sin2CD∴＝.②AC sin θBDCD由①②得＝，ABACBDAB∴＝. DCAC一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是()sin Aa5＝＝.根据正弦定理得解析：选A.sin Bb3sin A cos C2．在△ABC中，若＝，则C的值为()ac A．30°B．45°C．60°D．90°sin A cos C sin Aa＝，∴＝，∵B.解析：选ac cos Cca sin A又由正弦定理＝.c sin C B.，故选45°＝C，即C sin ＝C cos ∴．)＝10，A＝60°，则，b cos B＝(3．(2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝1522 A．－36 C．－31015 ，＝由正弦定理得D.解析：选B sin sin 60°3×1023sin 60°10·＝＝∴sin B＝.31515 为锐角．∵Ba＞b，A＝60°，∴63＝∴cos B＝1－sin22. ?1－?B＝33)sin 在△ABC中，a＝bA，则△ABC一定是(4．．直角三角形A．锐角三角形 B ．等腰三角形C．钝角三角形D ba＝，则sin B＝1是直角三角形．，即角B为直角，故△ABC＝b由题意有解析：选B.B sin sin Aπ)，b＝1，则c＝(a．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、c，已知A＝，a＝3532 A．1 B．－11ab3 ＝，可得＝，由正弦定理B.解析：选πB sin sin B sin A sin31.150°30°或＝，故B＝∴sin B 2.＝30°＞B，∴B＞由ab，得A2.＝cC＝90°，由勾股定理得故) 4，则此三角形有＝)在△ABC中，如果A＝60°，c4，(a＝6．(2011年天津质检．一解B．两解 A D ．无穷多解C．无解，故有唯一解．a＝c sin 选B.因cA＝23＜4，且解析：二、填空题________.2sin A，则ABABC中，已知BC＝＝5，sin C7．在△＝C sin 5.2BC＝2解析：AB＝BC＝A sin52答案：________. c＝aC＝120°，则∶b∶B8．在△ABC中，＝30°，30°，＝＝180°－30°－A解析：120°由正弦定理得：3. ∶∶sin 1C＝1sin ∶ab∶c＝sin A∶B∶31∶∶答案：12π，则a＝＝c＝3，∠C________. 1)．9(2010年高考北京卷中，若在△ABCb＝，313 ，＝由正弦定理，有解析：2πB sin sin31∴sin B＝.∵∠C为钝角，2π∴∠B必为锐角，∴∠B＝，6．π＝∴∠A.61. ＝b＝∴a1 答案：三、解答题.，求a＋b＋c＝30B∶sin C＝4∶5∶6，且a∶10．在△ABC中，已知sin A sincab c，＝a∶b∶∶∶＝sin CB∵sin A∶sin ∶解：RR22R248.＝∴a＝30×＝a∶b∶c4∶5∶6.∴15 ，解此三角形．＝2，120°Bc.已知a＝5，b＝ABC11．在△中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，3×52B sin ba53a不存在，即此三角所以A＝＝＞1.，得＝sin A＝根据正弦定理解：法一：4b2sin A sin B形无解．B＞240°，这与A＋B＋C ＝180°矛盾．120°B＝，所以A＞B＝120°.所以A＋所5法二：因为a＝，b＝2，以此三角形无解．53，所以b＜a sin B．又因为若三角形＝＝5sin 120°，b＝2，B＝120°，所以a sin B＝法三：因为a52存在，则b sin A＝a sin B，得b＞a sin B，所以此三角形无解．ππ12．在△ABC中，a cos(－A)＝b cos(－B)，判断△ABC的形状．22ππ－A)＝b cos(－B)，cos(a 解：法一：∵22ab∴a sin A＝b sin B．由正弦定理可得：a·＝b·，2R2R∴a＝b，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．22ππ－A)＝b cos(－B)，cos(法二a：∵22∴a sin A＝b sin B．由正弦定理可得：22B，即sin A＝sin 2A＝R sin B，sin2R∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)为等腰三角形．ABC故△．。
课时作业13：1.1.1 正弦定理(二)
1．1.1 正弦定理(二)一、选择题1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 由正弦定理可得2sin A sin B ＝3sin B ，又∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin B ≠0，∴sin A ＝32，又A 为锐角，∴A ＝π3.2．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，由此得三角形最短边的长度为() A.63 B.62 C.12 D.32答案 A解析 B ＝45°，C ＝60°，A ＝75°，故最短边为b ，由正弦定理得b ＝c sin Bsin C ＝132×22＝63.3．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB 的取值范围是() A ．[33，6] B ．(2，43)C ．(33，4 3 ]D ．(3，6]答案 D 解析 ∵A ＝π3，∴B ＋C ＝23π.∴AC ＋AB ＝BCsin A (sin B ＋sin C ) ＝332[sin B ＋sin(23π－B )] ＝23(32sin B ＋32cos B )＝6sin(B ＋π6)， ∴B ∈(0，23π)，∴B ＋π6∈(π6，56π)，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]， ∴AC ＋AB ∈(3，6]．4．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定答案 C解析 由正弦定理得6sin 60°＝4sin B. ∴sin B ＝2>1，∴角B 不存在．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3答案 C解析 ∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，∴tan A ＝3，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3， 由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，即sin C ＝1，∴C ＝π2，B ＝π6. 6．已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且A ，B 为△ABC 的两内角，a ，b 为角A ，B 的对边，则此三角形为( )A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形答案 C解析 设x 1，x 2是方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根，则x 1＋x 2＝b cos A ，x 1·x 2＝a cos B . 由条件知a cos B ＝b cos A .由a ∶b ＝sin A ∶sin B 得sin A cos B ＝sin B cos A ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0，∵A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，∴－π<A －B <π，∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形．7．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 为角A 的平分线，AC ＝3，AB ＝6，则AD 等于( )A ．2B ．2或4C ．1或2D ．5答案 A解析 设AD ＝x ，如图，∠DAC ＝∠DAB ＝60°.∵AC ＝3，AB ＝6，且S △ABC ＝S △ACD ＋S △ABD ， ∴12×3×6×32＝12×3x ×32＋12×6x ×32， 解得x ＝2.二、填空题8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．答案 2113解析 在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 9．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．答案 (1， 2 ]解析 ∵a ＋b ＝cx ，∴x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)． ∵A ∈(0，π2)，∴A ＋π4∈(π4，34π)， ∴sin(A ＋π4)∈(22，1]，∴x ∈(1， 2 ]．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则a b＝________． 答案 2解析 因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，故sin(B ＋C )＝2sin B ，故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即a b＝2. 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小． (1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24， 故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ， 因sin B ≠0，得sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2； 当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4. 12．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C. 证明 ∵左边＝sin 2A －sin 2B sin 2C＝1－cos 2A 2－1－cos 2B 2sin 2C ＝cos 2B －cos 2A 2sin 2C＝cos[（B ＋A ）＋（B －A ）]－cos[（B ＋A ）－（B －A ）]2sin 2C＝－2sin （B ＋A ）·sin （B －A ）2sin 2C ＝2sin C sin （A －B ）2sin 2C ＝sin （A －B ）sin C＝右边， ∴原等式成立．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，p ＝(2a ，1)，q ＝(2b －c ，cos C )，且p ∥q .(1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos 2C 1＋tan C＋1的取值范围． 解 (1)∵p ∥q ，∴2a cos C ＝2b －c .根据正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ，∴2sin A cos C ＝2sin(A ＋C )－sin C ，∴sin C ＝2cos A sin C ，∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12. 又∵0<A <π，∴A ＝π3，sin A ＝32. (2)－2cos 2C 1＋tan C ＋1＝1－2（cos 2C －sin 2C ）1＋sin C cos C＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C＝sin 2C －cos 2C ＝2sin(2C －π4)． ∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π， ∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2， ∴三角函数式－2cos 2C 1＋tan C ＋1的取值范围是(－1， 2 ]．。
正弦定理二作业答案
正弦定理二作业答案1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】B [由正弦定理得，sin A a ＝sin C c ＝cos C c ，则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.]2．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定A [由b <a 和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．]3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53 D ．1【答案】B [在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝5×133＝59.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( )A. 3B.33C.63 D ．－63【答案】B [由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sin B ＝33.]5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C等于( ) A.833 B.2393 C.2633 D ．2 3【答案】B [由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝a sin A ＝13sin 60°＝2393.]6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3【答案】C[∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，∴tan A ＝3，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，即sin C ＝1，∴C ＝π2，B ＝π6.]7．下列条件判断三角形解的情况，正确的是________(填序号)．①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解；②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解；③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解；④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．【答案】④ [①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°，有一解．综上，④正确．]8．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________.【答案】23 [在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，所以4sin B ＝23sin 60°，解得sin B ＝1.因为B ∈(0°，120°)，所以B ＝90°，所以C ＝30°，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝2 3.]9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a＝1，则b ＝________.【答案】2113[在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.]10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .求角C 的大小；【答案】 由正弦定理及已知条件得sin C sin A ＝sin A cos C ．因为0<A <π，所以sin A >0，从而sin C ＝cos C ，则C ＝π4.。
课时作业21：第2课时 正弦定理和余弦定理
第2课时 正弦定理和余弦定理一、选择题1．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形答案 B解析 设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形． 2．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.32 D.12 答案 A解析 由2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，得2(a 2＋c 2－b 2)＋ac ＝0.由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，∴4ac cos B ＋ac ＝0.∵ac ≠0，∴4cos B ＋1＝0，cos B ＝－14， 又B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝154. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23答案 A解析 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ，∴(a ＋b )2－c 2＝2ab (1＋cos C )＝2ab (1＋cos 60°)＝3ab ＝4，∴ab ＝43. 5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin A sin B的值为( )A.12B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由余弦定理得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理得sin A sin B＝a b＝2. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则C 等于( )A.π3B.3π4C.2π3D.5π6答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B和3sin A ＝5sin B ， 得3a ＝5b ，即b ＝35a ， 又b ＋c ＝2a ，∴c ＝75a ， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， ∴C ＝2π3. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A. 3 B.932 C.332 D ．3 3 答案 C解析 由题意得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，∴－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝332. 8．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( ) A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos ∠ABC＝(2)2＋32－2×2×3×cos π4＝5. ∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC，得 sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝3×sin π45＝3×225＝31010. 二、填空题9．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝ .答案 45°解析 由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且bc ＝8，则△ABC 的面积为 ．答案 2 3解析 因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3， 三角形面积S ＝12bc sin A ＝12×8×32＝2 3. 11．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .答案 30°解析 由sin C ＝23sin B 及正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32， 又0°<A <180°，所以A ＝30°.三、解答题12.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，求sin C 的值．解 设AB ＝a ，则AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝2BD ＝4a 3， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a 22a 2＝13， ∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin A ＝1－cos 2A ＝223. 由正弦定理，得sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66. 13．已知在△ABC 中，BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长． 解 在△ABC 中，设AB ＝7x ，则AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8x sin B， 则sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32， 因为0<C <180°，AB <AC ，所以C ＝60°或C ＝120°(舍去)．再由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15×cos 60°，即x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝3或x ＝5，所以AB ＝21或AB ＝35.当AB ＝21时，AC ＝24，当AB ＝35时，AC ＝40，均可与BC ＝15构成三角形．在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ， 所以AD ＝123或AD ＝20 3.14．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不等的实根，A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在答案 A解析 由方程可得(sin A －sin C )x 2＋2x sin B ＋sin A ＋sin C ＝0.∵方程有两个不等的实根，∴4sin 2B －4(sin 2A －sin 2C )＞0.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 代入不等式中得 b 2－a 2＋c 2＞0，再由余弦定理，有2bc cos A ＝b 2＋c 2－a 2＞0.∴ 0°<A <90°，A 为锐角．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，∴2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝3，∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°，∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．。
人教A版新教材高中数学第二册课时作业2：6.4.3第2课时正弦定理
6.4.3 第2课时正弦定理A 级 基础达标一、选择题1．从A 处望B 处的俯角为α，从B 处望A 处的仰角为β，则α，β的关系为( )A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180° 2．如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km ，参考数据：3≈1.732)( )A ．11.4 kmB ．6.6 kmC ．6.5 kmD ．5.6 km3．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )A.π4B.π3C.π6D.512π 4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( )A ．1002米B ．400米C ．2003米D ．500米5．如图所示，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 等于( )A．30°B．45°C．60°D．75°二、填空题6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.7．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236)．8．如图所示，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M位于北偏东α，前进m海里后在B处测得该岛位于北偏东β，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．三、解答题9．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．10．如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1 m)．B级能力提升1．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为()A．200 m B．300 m C．400 m D．100 3 m2．如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/时．3.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？——★ 参*考*答*案 ★——A 级 基础达标一、选择题1．『『解 析』』由仰角和俯角的概念得α＝β.『『答 案』』B2．『『解 析』』因为AB ＝1 000×160＝503，C ＝75°－30°＝45°， 所以BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝5032. 所以航线离山顶h ＝5032×sin 75°＝5032×sin(45°＋30°)≈11.4. 所以山高为18－11.4＝6.6(km)．『『答 案』』B3．『『解 析』』设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＝π6.『『答 案』』C4．『『解 析』』由题可得下图，其中AS 为塔高，设为h ，甲、乙分别在B 、C 处．则∠ABS ＝45°，∠ACS ＝30°，BC ＝500，∠ABC ＝120°，所以在△ABS 中，AB ＝AS ＝h ，在△ACS 中，AC ＝3h ，在△ABC 中，AB ＝h ，AC ＝3h ，BC ＝500，∠ABC ＝120°.由余弦定理(3h )2＝5002＋h 2－2·500·h ·cos 120°，所以h ＝500(米)．『『答 案』』D5．『『解 析』』依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得，cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22， 又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.『『答 案』』B二、填空题 6．『『解 析』』根据图示，AC ＝100 2.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3. 在Rt △AMN 中，MN AM＝sin 60°， 所以MN ＝1003×32＝150 (m)． 『『答 案』』1507．『『解 析』』由题意，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ，由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×⎝⎛⎭⎫－22≈316.23 m ， 所以这辆汽车的速度为316.23÷14≈22.6 m/s.『『答 案』』22.68．『『解 析』』在△ABM 中，由正弦定理得BM sin （90°－α）＝m sin （α－β）， 故BM ＝m cos αsin （α－β）， 要使该船没有触礁危险需满足BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin （α－β）>n . 所以当α与β满足m cos αcos β>n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．『『答 案』』m cos αcos β>n sin(α－β)三、解答题9．解：在△ABT 中，∠ATB ＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT ＝90°＋18.6°，AB ＝15.根据正弦定理，15sin 2.8°＝AT cos 18.6°，AT ＝15×cos 18.6°sin 2.8°. 塔的高度为AT ×sin 21.4°＝15×cos 18.6°sin 2.8°×sin 21.4°≈106.19(m)．10．解：在△ABC 中，∠A ＝15°，∠C ＝25°－15°＝10°，根据正弦定理，BC sin A ＝AB sin C ，BC ＝AB sin A sin C ＝5sin 15°sin 10°≈7.452 4(km)． CD ＝BC ·tan ∠DBC ≈BC ·tan 8°≈1 047(m)．B 级 能力提升1．『『解 析』』如下图所示，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋（2003）2－（2003）22×600×2003＝32，所以2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)． 『『答 案』』B2．『『解 析』』由题可知PM ＝68，∠MPN ＝120°，N ＝45°， 由正弦定理MP sin 45°＝MN sin 120°得MN ＝68×32×2＝34 6. 所以速度v ＝3464＝1726(海里/时)． 『『答 案』』1726 3.解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，因为∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， 所以∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB＝5（3＋3）·sin 45°sin 105° ＝5（3＋3）·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53（3＋1）3＋12＝103(海里)． 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900， 所以CD ＝30(海里)，所以需要的时间t ＝3030＝1(小时)．。
正弦定理训练测试题（含答案）
正弦定理训练测试题（含答案）正弦定理⼀、单选题（共15题；共30分）1.（2020⾼⼀下·⼤庆期末）已知的三个内⾓的对边分别为，且满⾜，则等于（）A. B. C. D.2.（2020⾼⼀下·六安期末）设的内⾓所对的边分别为，若，则的形状为（）A. 锐⾓三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 钝⾓三⾓形D. 等腰三⾓形3.在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆⾯积为（）A. B. π C. 2π D. 4π4.在中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，为使此三⾓形有两个，则a满⾜的条件是（）A. B. C. D.5.（2020⾼⼀下·抚顺期末）在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2 ，C＝30°，则B等于（）A. 30°B. 60°C. 30°或60°D. 60°或120°6.（2020⾼⼀下·南昌期末）在中，，，，则（）A. B. C. D.7.（2020⾼⼀下·牡丹江期末）已知的内⾓的对边分别为，若，则等于（）A. B. C. D.8.（2020⾼⼀下·哈尔滨期末）在中，，那么（）A. B. C. 或 D.9.（2020⾼⼀下·台州期末）在中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. 2 D.10.（2020⾼⼀下·⾦华⽉考）在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（）A. B. C. D.11.（2020·南昌模拟）已知中⾓所对的边分别为，若，则⾓A等于( )A. B. C. D.12.（2020·漯河模拟）设锐⾓的三内⾓A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为( )A. B. C. D.13.（2020⾼⼀下·太原期中）在锐⾓三⾓形中，已知，则的范围是( )A. B. C. D.14.（2020⾼⼀下·怀仁期中）在△ABC中，，则三⾓形解的情况是（）A. ⼀解B. 两解C. ⼀解或两解D. ⽆解15.（2020⾼⼀下·沈阳期中）的内⾓的对边分别为,且, ，，则⾓C=( )A. B. C. 或 D. 或⼆、填空题（共4题；共5分）16.（2020⾼⼆下·嘉兴期末）已知中，，是的中点，且，则________.17.（2020⾼⼀下·哈尔滨期末）已知中，，则⾓A等于________.18.（2020⾼⼀下·温州期末）在中，，，点M在上，且，则________，________．19.（2020⾼⼀下·六安期末）在中，⾓所对的边分别是，若，则⾓C的⼤⼩为________.三、解答题（共5题；共35分）20.（2020⾼⼀下·深圳⽉考）在中，已知，，，求的值．21.（2019⾼三上·杭州期中）在中，a，b，c分别为⾓A，B，C所对边的长，且.（Ⅰ）求⾓B的值；（Ⅱ）若，求的⾯积.22.（2019⾼⼆上·榆林⽉考）在中，，，分别是⾓，，的对边，且，，．求：（1）的值．（2）的⾯积．23.（2019·贵州模拟）在中，内⾓的对边分别为，已知.（1）求；（2）已知，的⾯积为，求的周长.24.（2018·天津）在中，内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.（Ⅰ）求⾓B的⼤⼩；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和的值.答案解析部分⼀、单选题1.【答案】D【解析】【解答】由题,根据正弦定理可得,所以,因为在中, ,所以,因为,所以,故答案为：D【分析】利⽤正弦定理化边为⾓可得,则,进⽽求解.2.【答案】B【解析】【解答】∵，由正弦定理得：，∵，∴，，故三⾓形为直⾓三⾓形，故答案为：B.【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为⾓的正弦，利⽤两⾓和公式化简求得的值进⽽求得A，判断出三⾓形的形状.3.【答案】B【解析】【解答】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆⾯积S＝πR2＝π.故答案为：B.【分析】根据正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆⾯积S＝πR2＝π.4.【答案】C【解析】【解答】为使此三⾓形有两个，即bsinA＜a＜b，∴2 × ＜a＜2 ，解得：3＜a＜2 ，故答案为：C．【分析】为使此三⾓形有两个，只需满⾜bsinA＜a＜b，即可求a范围．5.【答案】D【解析】【解答】由c＝2，b＝2 ，C＝30°，由正弦定理可得：，，由⼤边对⼤⾓可得：，解得60°或120°．故答案为：D.【分析】由正弦定理可解得，利⽤⼤边对⼤⾓可得范围，从⽽解得A的值．6.【答案】C【解析】【解答】∵，，，∴由正弦定理，可得，∵，B为锐⾓，∴．故答案为：C【分析】由已知利⽤正弦定理可得，结合，可得B为锐⾓，可求．7.【答案】D【解析】【解答】因为，故.故答案为：D.【分析】利⽤正弦定理可求的值.8.【答案】D【解析】【解答】由正弦定理得，因为，∴，所以，从⽽．故答案为：D．【分析】由正弦定理求C，然后再得A⾓．9.【答案】B【解析】【解答】根据正弦定理可得，即，解得，故答案为：B.【分析】直接利⽤正弦定理，结合题中所给的条件即可得结果.10.【答案】D【解析】【解答】解：在中，⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，，利⽤正弦定理：，整理得：．故答案为：D．【分析】直接利⽤正弦定理的应⽤和三⾓函数值的应⽤求出结果．11.【答案】B【解析】【解答】由及正弦定理可得，⼜，所以，解得或（舍），⼜，所以.故答案为：B【分析】由正弦定理可得，结合解⽅程组即可得到答案.12.【答案】A【解析】【解答】且为锐⾓三⾓形，，，⼜，，，，，由正弦定理得：，.故答案为：A.【分析】根据锐⾓三⾓形的特点和可确定的取值范围，进⽽求得的取值范围；利⽤正弦定理可得到，进⽽求得结果.13.【答案】C【解析】【解答】，⼜，，锐⾓三⾓形，∴，故，故.故答案为：C.【分析】根据正弦定理得到，计算，得到答案.14.【答案】D【解析】【解答】过点A作AD⊥BD．点D在∠B的⼀条边上，∵h＝csinB＝6 3 3＝b＝AC，因此此三⾓形⽆解．故答案为：D．【分析】由csinB＞b，即可得出解的情况．15.【答案】B【解析】【解答】由正弦定理，，所以，⼜，则，所以，故答案为：B。
1_1正弦定理(2学案)
1.1正弦定理（2）编写： 行政审查：【教学目标】正弦定理及其变式的结构特征和作用，能使用正弦定理解决实际问题．【教学重点】解决一些与测量和几何计算相关的实际问题．【教学难点】正弦定理的简单应用．【教学过程】一、引入：1．正弦定理： ____________________===________．2．正弦定理的几个变形：（1）=a ，=b ，=c ．（2）=A sin ，=B sin ，=C sin ．（3）=c b a ::___________________，=C B A sin :sin :sin ．3．在解三角形时，常用的结论：（1）在ABC ∆中，A >B ⇔_________⇔_____________； （2）C B A sin )sin(=+．4．在△ABC 中，若AB ＝3，BC ＝4，∠B ＝60°．问题1：△ABC 的高线AD 为多少？ 问题2：△ABC 的面积为多少？二、新授内容：1、三角形面积公式：（1）S ＝12a ·h a (h a表示a 边上的高)． （2）S ＝12ab sin C ＝ ＝ . 例1．在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝2，AC ＝2，求△ABC 的面积．【变式拓展】在△ABC 中，已知tan B ＝3，cos C ＝13，AC ＝36，求△ABC 的面积．生命因进取而辉煌，青春因高考而壮美！第 2 页 共 4 页 例2．在ABC ∆中，已知C c B b A a cos cos cos ==，试判断三角形ABC ∆的形状．【变式拓展】在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，试判断△ABC 的形状．例3．在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BD AC DC=．例4．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度（精确到1m ）．三、课堂反馈：1．在ABC ∆中，已知2cossin sin 2A C B =，则ABC ∆的形状是________________． 2．在ABC ∆中，已知，B C 3=，则bc 的取值范围是________________． 3．在ABC ∆中，已知︒<<<90C B A ，︒=60B ，213)2cos 1)(2cos 1(-=++C A ，则b a 2+________c 2（填不等号）．4．在ABC ∆中，已知21tan =A ，31tan =B ，且最长边为1，则最短边的长为________． 5．在ABC ∆中，已知)(4122b a S ABC +=∆，求C B A ，，．6．根据以下条件，判断ABC ∆的形状：（1）22tan tan a B b A =； （2）B b A a cos cos =．四、课后作业：1．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ ． 2．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝ ．3．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝ ． 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝ ．5．在ABC ∆中，已知2cossin sin 2A C B =，则ABC ∆的形状是 ．6．在ABC ∆中，已知4=a ，5=b ，ABC ∆的面积为35，则=C ．7．在ABC ∆中，已知sin cos cos A B C a b c==，试判断三角形ABC ∆的形状8．为了测量校园里旗杆CD 的高度，学生们在,A B 两处测得C 点的仰角分别为︒30和︒45，测得AB 的距离为m 10，那么旗杆的高度是多少米？生命因进取而辉煌，青春因高考而壮美！第 4 页 共 4 页9．海上有B A ，两个小岛相距10海里，从A 岛观测C 岛与B 岛成︒60的视角，从B 岛观测A 岛和C 岛成︒75的视角，那么B 岛与C 岛之间的距离是多少海里？10．为了在一条河流上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A 、B ，要测算出A 、B 两点间的距 离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得45BC m =，75B ∠=，45C ∠=，试计算AB 的长．。
正弦定理与余弦定理课后练习答案
１．解 化弦变形和余弦定理求角． （１）由3cos 4B =得sin B =， 由2b ac =得，2sin sin sin B A C =，于是cot cot A C +cos sin cos sin sin sin A C C A A C +2sin()sin A C B +=2sin 1sin sin B B B ===． （２）由32BA BC ⋅=得3cos 2ca B =，又3cos 4B =所以2ca =，即22b =．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即2222cos 5a c b ac B +=+=，所以2()9a c +=，即3a c +=．２．解 消元化简．由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=消去角C 得 sin sin sin cos sin()0A B A B A B +-+=，即sin sin sin cos sin cos cos sin 0A B A B A B A B +--=，即sin (sin cos )0B A A -=，从而有sin cos A A =，即4A π=． 所以34B C π+=，再消去角C 得3sin cos 2()04B B π+-=， 即sin sin 20,sin (12cos )0B B B B -=-=，1cos ,23B B π==． 最后角512C π=． ３．证明 由正弦定理化边为角．222222224(sin sin )4(cos cos )cos cos cos cos cos cos a b R A B R B A A B A B A B---==+++ 24(cos cos )R B A =-，同理2224(cos cos )cos cos b c R C B B C -=-+， 2224(cos cos )cos cos c a R A B C A-=-+，上面三式相加即得证． 4. 解：设00,60120MOA θθ∠=≤≤， 在MOA ∆、NOA ∆中分别得06sin(30)OM θ=+，06sin(30)ON θ=-，所以2211OM ON +2222212[sin (30)sin (30)]a θθ=++-26(2cos 2)a θ=-， 由θ角的范围可知11cos 22θ-≤≤-，所以其最大值是218a ，最小值为215a ． 5. 解 利用正余弦定理及整数的性质求解．32C A B B πππ=--=->,cos 62B B π∴<>且cos B 是有理数，令cos ,,,,(,)1n B m n m n N m n m =>∈=，由67728<<，故8m ≥． 又22sin 3(34sin )(4cos 1)sin b c B b B b B B =⋅=-=-224(1)n b m=-， 故224bn m 是整数，又(,)1m n =，故24b m 为整数，由8m ≥知16b ≥，再由cos B >，得21]32,c >-=故32c ≥．sin 22cos 21627sin 2b B a b B B ==≥⋅⋅=>，故28a ≥， 即28163377a bc ++≥++=．即周长的最小值为77．此时 28,16,33a b c ===，由余弦定理求得177cos ,cos 328A B ==，故cos cos 2A B =，即满足2A B =，又171cos 322A =>7,cos 8B =>即,63B A ππ<<，从而角C 是钝角，满足条件． 故ABC ∆周长的最小值是77，此时28,16,33a b c ===．。
正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)
正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。
高二数学正弦定理试题答案及解析
高二数学正弦定理试题答案及解析1.设的内角的对边分别且，，若，求的值。
【答案】【解析】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围；（2）在三角兴中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.试题解析：由正弦定理得①由余弦定理得即②由①②解得 12分【考点】在三角形中，正弦定理和余弦定理的应用.2.在中，，则B的值为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】由正弦定理，，又∵，∴.【考点】正弦定理解三角形.3.设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为.(1)求角B的大小；(2)若a＝3，c＝5，求b.【答案】(1) ；(2)【解析】（1）根据正弦定理：,代入到，解得的值，从而求出角B的大小；（2）由（1）的结果知,结合余弦定理知可求的值.试题解析：解(1)由a＝2bsin A，根据正弦定理得sin A＝2sin Bsin A，所以sin B＝.由△ABC为锐角三角形，得B＝.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝27＋25－45＝7，所以b＝.【考点】1、正弦定理；2、余弦定理.4.已知在锐角中，内角所对的边分别是，且．（1）求角的大小；（2）若，的面积等于，求的大小．【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理，结合A角的范围，由正弦函数的单调性求解（2）由三角形面积公式，结合余弦定理求解试题解析：（1）由得又（2）由已知得又∴解得∴、的值都是2.【考点】利用正（余）弦定理，三角形面积公式解三角形，5.在中，角的对边分别为，。
（1）求的值；（2）求的面积【答案】（1）（2）【解析】解三角形问题，一般利用正余弦定理解决. （1）中已知两角求第三角的正弦值，首先根据同角三角函数关系，由A角余弦值解出A的正弦值，再利用三角形中三角和为180度，可得，（2）中由三角形面积公式知，还需解出另一边，这就可根据正弦定理求出，再利用公式解得△ABC的面积试题解析：解（1）∵A、B、C为△ABC的内角，且，∴，∴ 6分（2）由（1）知，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴.∴△ABC的面积 12分【考点】正余弦定理6.在锐角△ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b=2asinB．（1）求角A的大小；（2）若b=1，且△ABC的面积为，求a的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据正弦定理可直接推倒得出。
高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3第课时正弦定理课时作业含解析第二册
课时作业13 正弦定理时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．(多选)在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（ABD）A．若A〈B，则sin A<sin BB．若sin A〈sin B，则A<BC．若A〉B，则错误!〉错误!D．A<B,则cos2A>cos2B解析：A。
若A<B，则a<b,2R sin A<2R sin B,所以sin A<sin B,故该选项正确；B.若sin A〈sin B，∴a2R〈错误!,∴a<b，则A<B，故该选项正确；C。
若A〉B,设A＝错误!，B＝错误!，∴错误!<0，错误!>0，故该选项错误．D.A<B，则sin A〈sin B,sin2A〈sin2B，∴－sin2A〉－sin2B，∴1－sin2A>1－sin2B，所以cos2A>cos2B，故该选项正确．故选ABD.2．已知△ABC外接圆的半径R＝5,内角A,B，C的对边分别为a，b，c，则错误!＝(C)A．2.5 B．5C．10 D．不确定解析：根据正弦定理错误!＝错误!＝错误!＝2R,得错误!＝10.3．在△ABC中，∠A＝60°,a＝4错误!，b＝4错误!,则∠B等于（C）A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对解析：∵sin B＝错误!＝错误!＝错误!，∴∠B＝45°或135°。
但当∠B＝135°时，不符合题意，所以∠B＝45°，故选C。
4．若三角形三个内角之比为123，则这个三角形三边之比是(B）A．12 3 B．132C．2错误! 1 D。
错误!12解析：设三角形内角∠A、∠B、∠C分别为x，2x,3x，则x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°，由正弦定理错误!＝错误!＝错误!，可知a b c＝sin A sin B sin C,∴a b c＝sin30°sin60°sin90°＝错误!错误!1＝1错误!2。
正弦定理练习含答案
课时作业1 正弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．(2013·XX 理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3 【答案】D【解析】本题考查了正弦定理由a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝32，∴∠A ＝π3.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】B【解析】由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°， 由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝56π，BC ＝1，则AB ＝________.【答案】102【解析】∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝1010.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π1010＝102.4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长．【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A .【解析】由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32.∵AB >AC ，∴∠C >∠B ，又∵0°<∠C<180°，∴∠C＝60°或120°.(1)如图(1)，当∠C＝60°时，∠A＝90°，BC＝4，△ABC的周长为6＋23；(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋2 3.综上，△ABC的周长为6＋23或4＋2 3.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】∵sin A＝sin C，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选B.2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么a b c＝( )A ．1:2:3B ．1:2: 3C ．1:2:3D ．1:3:2 【答案】D【解析】设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.由正弦定理得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C ＝sin30°:sin60°:sin90°＝1:3:2. 3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( ) A ．b ＝42B ．b ＝4 3 C ．b ＝46D ．b ＝323【答案】C【解析】∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝bsin B 可得b ＝a sin Bsin A＝8sin60°sin45°＝4 6. 4．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝π6，则B ＝( )A.π3B.23π C.π3或23π D.56π或π6 【答案】C【解析】由a sin A ＝bsin B 得sin B ＝b sin A a，∴sin B ＝3·sin30°1＝32，∴B ＝π3或23π.5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积S 等于( )A ．323B ．16C ．326或16D ．323或16 3 【答案】D【解析】由正弦定理，知sin B ＝b sin A a ＝83sin30°8＝32，又b >a ，∴∠B >∠A ，∴∠B ＝60°或120°. ∴∠C ＝90°或30°.∴S ＝12ab sin C 的值有两个，即323或16 3.6．在△ABC 中，cos A cos B ＝b a ＝85，则△ABC 的形状为()A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形 【答案】D【解析】∵cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，即sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B 或∠A＋∠B ＝π2，又cos A ≠cos B ，∴∠A ≠∠B ，∴∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC为直角三角形．7．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π6，S △ABC ＝6，则a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B【解析】由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，故由2sin B －3sin A ＝0，得2b ＝3a .①又S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π6＝6，∴ab ＝24.②解①②组成的方程组得a ＝4，b ＝6.故选B.8．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于( )A.833B.2393C.2633 D ．2 3 【答案】B【解析】由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，b 2－c 2a 2sin 2A ＋c 2－a 2b 2sin 2B ＋a 2－b 2c2sin 2C 的值为________．【答案】0【解析】可利用正弦定理的变形形式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入原式即可．10．在锐角三角形ABC 中，若∠A ＝2∠B ，则ab的取值范围是________．【答案】(2，3)【解析】∵△ABC 为锐角三角形，且∠A ＝2∠B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2∠B <π2，0<π－3∠B <π2，∴π6<∠B <π4. ∵∠A ＝2∠B ，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，∴a b ＝sin Asin B＝2cos B ∈(2，3)．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)在△ABC 中，已知a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求b . (2)在△ABC 中，已知∠A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B .【解析】(1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin45°sin30°＝5 2.(2)由正弦定理asin A ＝bsin B，得sin B＝b sin Aa＝2sin45°2＝12.又∵0°<∠B<180°，且a>b，∴∠B＝30°.【规律方法】(1)中要注意在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝6＋24.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．12．在△ABC中，已知sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，判断△ABC的形状．【分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．【解析】∵sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin B＋sin C.∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A cos B＋cos A sin B. ∴cos A sin C＋sin B cos A＝0.∴cos A(sin B＋sin C)＝0.∵∠B，∠C∈(0，π)，∴sin B＋sin C≠0.∴cos A＝0，∴∠A＝π2，∴△ABC为直角三角形．。
正弦定理作业(含答案)
正弦定理作业答案1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A＝ 6.2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C. A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B 即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π69．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3210．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 3。
高一数学正弦定理试题答案及解析
高一数学正弦定理试题答案及解析1.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？(结论保留根号形式)【答案】【解析】连结，根据题意计算，的值，再根据出根据，推出是等边三角形，由此到此，导出的值，再根据余弦定理，在中,先求出的距离，最后由时间求出乙船航行的速度．试题解析：如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．2.在△ABC中，角所对边长分别为且（Ⅰ）若，求角；（Ⅱ）若，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角兴中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.试题解析：解：（1）由已知，由正弦定理得由余弦定理，又，，又，【考点】（1）正弦定理的应用；（2）余弦定理的应用.3.设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值.【答案】，；或，．【解析】解题思路：先利用三角形的面积公式求出，因为无法判定角A 的范围，因此利用同角三角函数基本关系式求出，再利用余弦定理分类讨论求边a..规律总结：解三角形问题，主要涉及三角关系、三边关系、边角关系和面积；所用知识主要有正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等,但要注意解的个数问题.试题解析：由三角形面积公式，得，故.∵，∴；当时，由余弦定理得，所以；当时，由余弦定理得，，所以 .【考点】1.解三角形；2.三角函数基本关系式.4.在中，内角的对边分别为，若,,,则等于( ).A．1B．C．D．2【答案】A【解析】由正弦定理得.【考点】正弦定理的应用.5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°. （1）若PB＝，求PA；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA.【答案】（1）（2）【解析】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角兴中，注意这个隐含条件的使用.试题解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝. 5分（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.在△PBA中，由正弦定理得，化简得cos α＝4sin α.所以tan α＝，即tan∠PBA＝. 12分【考点】（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.6.在△中，已知，向量，，且．（1）求的值；（2）若点在边上，且，，求△的面积.【答案】（1）；（2）△的面积为.【解析】（1）由条件，转化为，进而转化为关于的方程，解出的值；（2）由（1）知三角形的三个内角，求三角形的面积，关键是再求两条边，结合条件，在△中，应用余弦定理即可.在这道题中体现了方程的思想，即求什么，就要建立与它相关的方程，便可通过解方程求得.试题解析：（1）由条件可得，（3分）（方法一）：由，，所以，整理得，即，又，所以，所以，即（6分）（方法二）：由，，所以，整理得，即，又，所以（6分）（2）由（1）知三角形的三个内角分别为、、，由正弦定理得三边关系为，若设，则，，在△中，由余弦定理，得，解得，所以，（12分）所以．（14分）【考点】1.三角形中的正（余）弦定理；2.三角形面积公式；3.方程思想.7.在中，角的对边分别是，已知，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知知，所以B＜A=，由正弦定理得，==，所以，故选B【考点】正弦定理8.中，，，，则 .【答案】.【解析】因为，，所以C==45o，由正弦定理知，所以==，由余弦定理得==.【考点】正弦定理；余弦定理9.在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A.【解析】∵，∴由正弦定理可得，∴，又∵，∴，∴为钝角三角形.【考点】正弦定理余弦定理结合判断三角形形状.10.在△ABC中，分别为内角A，B，C的对边，且（1）求A的大小；（2）若，试判断△ABC的形状.【答案】（1）；（2）是等腰的钝角三角形.【解析】（1）条件中的等式给出了边与角满足的关系，因此可以考虑采用正弦定理实现边角互化，统一转化为边的关系：，即，再由余弦定理的变式可知；（2）由（1）结合条件可知，可将（1）中所得的关系式利用正弦定理再转化为角之间的关系：，即，再根据条件可联立方程组解得，结合（1）可知，因此，故有是等腰的钝角三角形.试题解析：（1）∵，∴根据正弦定理得， 2分即，∴， 4分又，∴ 6分（2）由（1）根据正弦定理得， 8分即①，又∵②，联立①，②，得，.......... 10分又∵，∴，∴， 11分故是等腰的钝角三角形. 12分【考点】正余弦定理相结合解三角形.11.设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，算出A、B两点的距离为 m.【答案】50．【解析】如图：由已知及三角形的内角和定理知，用正弦定理得．【考点】解三角形的应用．12.在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=【答案】【解析】∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，∴BC=由正弦定理可得，,可得,故答案为：【考点】正弦定理在解三角形中的应用.13.已知三个内角,,的对边分别为,,,且，(1)求角(2)若=,的面积为,求的周长.【答案】(1);(2).【解析】 (1)利用将边化成角即可；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理得出关于的方程.规律总结：解三角形问题，往往要综合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式以及三角恒等变形等知识，综合性较强，主要思路是利用有关定理实现边、角的合理互化.注意点：1.转化成，是学生思维的难点；2.第二问中，要注意整体思想的运用，而不是分别解出的值，可减少计算量.试题解析：(1)由及正弦定理，得,又,,.(2)因为三角形的面积公式所以，由余弦定理，得：，三角形的周长为.【考点】1.正弦定理;2.余弦定理3.三角形的面积公式14.在△ABC中，AC=1，A=2B，则的值等于（）.A．3B．2C．1D．【答案】B.【解析】根据正弦定理有，又AC=1，A=2B，则，所以.【考点】正弦定理及二倍角的正弦公式.15.在三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c记a=x，b=2，B=45°，若三角形ABC 有两解，则x的取值范围是 .【答案】.【解析】如图，根据题意只需，解得.【考点】已知两边与一边的对角的三角形个数问题.16.在锐角中△ABC，角A，B所对的边长分别为a,b．若2asinB=b,则角A等于（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】根据正弦定理,可得．将原题中变形为,所以有,可得．因为是锐角三角形,所以．【考点】正弦定理．17.中,角所对的边分别为,,,,则．【答案】【解析】根据余弦定理有,代入,,,解得．考点:余弦定理．18.在中，已知，，试判断的形状。
正弦定理练习题及答案解析
正弦定理练习题及答案解析Updated by Jack on December 25,2020 at 10:00 am1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( )A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135°C ．B ＝45°D ．以上答案都不对解析：选 B ＝22，∵a ＞b ，∴B ＝45°.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C sin C ＝12，于是C ＝30°A ＝30°a ＝c ＝ 2.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________.解析：在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，sin A ＝110，BC ＝1， 则根据正弦定理知AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 答案：1024．已知△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，交对边BC 于D ，求证：BD DC ＝AB AC .证明：如图所示，设∠ADB ＝θ，则∠ADC ＝π－θ.在△ABD 中，由正弦定理得： BD sin A 2＝AB sin θ，即BD AB ＝sin A 2sin θ；①在△ACD 中，CD sin A 2＝AC sinπ－θ， ∴CD AC ＝sin A 2sin θ.②由①②得BD AB ＝CD AC ，∴BD DC ＝AB AC .一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是( )解析：选A.根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B.∵sin A a ＝cos C c ，∴sin A cos C ＝a c ，又由正弦定理a c ＝sin A sin C .∴cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.3．(2010年高考湖北卷)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223C ．－63解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B ， ∴sin B ＝10·sin 60°15＝10×3215＝33.∵a ＞b ，A ＝60°，∴B 为锐角．∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－332＝63.4．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B.由题意有a sin A ＝b ＝b sin B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( )A ．1B ．2 －1解析：选B.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a ＞b ，得A ＞B ，∴B ＝30°.故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.6．(2011年天津质检)在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解解析：选B.因c sin A ＝23＜4，且a ＝c ，故有唯一解．二、填空题7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________.解析：AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5.答案：2 58．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.解析：A ＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3.答案：1∶1∶ 39．(2010年高考北京卷)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.解析：由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵∠C 为钝角，∴∠B 必为锐角，∴∠B ＝π6，∴∠A ＝π6.∴a ＝b ＝1.答案：1三、解答题10．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，且a ＋b ＋c ＝30，求a .解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a 2R ∶b 2R ∶c 2R ＝a ∶b ∶c ，∴a ∶b ∶c ＝4∶5∶6.∴a ＝30×415＝8.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，b ＝2，B ＝120°，解此三角形．解：法一：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝5×322＝534＞1.所以A不存在，即此三角形无解．法二：因为a ＝5，b ＝2，B ＝120°，所以A ＞B ＝120°.所以A ＋B ＞240°，这与A ＋B ＋C ＝180°矛盾．所以此三角形无解．法三：因为a ＝5，b ＝2，B ＝120°，所以a sin B ＝5sin 120°＝532，所以b ＜a sin B ．又因为若三角形存在，则b sin A ＝a sin B ，得b ＞a sin B ，所以此三角形无解．12．在△ABC 中，a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，判断△ABC 的形状． 解：法一：∵a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b 2R ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． 法二：∵a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去)故△ABC 为等腰三角形．。
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正弦定理作业2答案
1．△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，b ＝2，则a 等于( )
A ．1
B ．2 C. 3 D ．2 3
解析：选A 由正弦定理得a sin π6＝2sin π4
，∴a ＝1，故选A.
2.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )
A.135°
B.90°
C.45°
D.30° 解析 由a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin B b ＝2×323
＝22，∴A ＝45°或135°. 又∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°.
3.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 等于( ) A.833 B.2393 C.2833 D.2 3
解析 利用正弦定理及比例性质得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝3sin 60°＝33
2
＝2 3.
4.在△ABC 中，下列关系一定成立的是( )
A ．a <b sin A
B ．a ＝b sin A
C ．a ≤b sin A
D ．a ≥b sin A
解析：选D.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a sin A ，在△ABC 中，因为0<sin B
≤1，所以0<b a sin A ≤1，所以a ≥b sin A .
5．已知△ABC 中，b ＝43，c ＝2，C ＝30°，那么解此三角形可得( )
A ．一解
B ．两解
C ．无解
D ．解的个数不确定
解析：选C.由c sin C ＝b sin B ，得sin B ＝3>1，所以无解．
6．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．6∶5∶4
B ．7∶5∶3
C ．3∶5∶7
D ．4∶5∶6
解析：选B.设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，从而解出a ＝72k ，b ＝52
k ，c ＝32k ，所以a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3.
7．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a 的值为( )
A ．2 3
B ．2 2 C. 3 D . 2
解析：选D.由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，
即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .
所以sin B ＝2sin A ．所以b a ＝sin B sin A ＝ 2.
8．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c ＝________．
解析：根据三角形内角和定理，得
C ＝180°－(A ＋B )＝30°.
根据正弦定理得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°
＝2. 9．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝76，B ＝60°，则C ＝________．
解析：因为a ＝14，b ＝76，B ＝60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得sin A ＝a sin B b ＝14sin 60°76
＝22， 因为a <b ，所以A <B ，
所以A ＝45°，所以C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°.
10．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C ＝________．
解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin A a ＝3sin π33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，
所以C ＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π2.
11.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于________
解析：由正弦定理得sin C ＝AB ·sin B AC ＝3×121＝32，
又∵C ∈(0，π)，∴C ＝60°或120°，∴A ＝90°或30°，
∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32或34.
12.在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝π4，a ＝2，则b ＝______.
解析：因为2<6，即a<c 所以A<C,本题有两解．
因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32.
所以C ＝π3或2π3.
当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A ＝3＋1.
当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A ＝3－1. 答案 3＋1或3－1
13.在△ABC 中，BC ＝a ＝4，AC ＝b ，AB ＝c ＝26，A ＝45°，求b ，B 和C .
解：由正弦定理a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝26×224＝32. ∵C ∈(0°，180°)，且c >a ，C >A ，∴C ＝60°或120°，∴B ＝75°或15°， ∴sin B ＝6＋24或6－24，∴b ＝a sin A ·sin B ＝42
2×6±24＝2(3±1)， ∴b ＝2(3＋1)，B ＝75°，C ＝60°或b ＝2(3－1)，B ＝15°，C ＝120°.
14.在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形.
解析：∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，
由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2.
∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，
∴b ＝c sin B sin C ＝c sin (A ＋C )sin C ＝10×sin 75°sin 30°＝20×2＋64＝52＋5 6.
∴B ＝105°，a ＝102，b ＝52＋5 6. 15.在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形.
解析：∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2
＝32， ∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°.
当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1；
当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1.
∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.
16.在△ABC 中，a cos )2(A -π＝b cos )2(B -π
，判断△ABC 的形状． 解：[法一化角为边]
∵a cos )2(A -π＝b cos )2
(B -π，∴asin A ＝bsin B ．由正弦定理可得：a·a 2R ＝b·b 2R ，
∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． [法二 化边为角]
∵acos )2(A -π＝bcos )2(B -π
，∴asin A ＝bsin B.由正弦定理可得： 2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B.(A ＋B ＝π不合题意舍去)，
故△ABC 为等腰三角形．
17.在△ABC 中，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S . 解 ∵cos B 2＝255，∴cos B ＝2cos 2B 2－1＝35. ∴B ∈(0，π2)，∴sin B ＝45.
∵C ＝π4，
∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝7210.
∵a sin A ＝c sin C ，∴c ＝a sin C sin A ＝27210×22
＝107. ∴S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.。