求对称中心四种方法总结

如何求函数中心对称
方法一：奇偶分拆观点
如果一个函数能分拆成“奇函数+常数m ”的形式，则函数对称中心为()
0m ，例13()sin 1()
f x x x x R =++∈解答：明显对称中心为()
01， 例2（2012全国）22(1)sin ()1
x x f x x ++=+解答：22222(1)sin 21sin 2sin ()1111x x x x x x x f x x x x ++++++=
=++++=明显对称中心为()01， 例3()f x x x px q
=++解答：明显对称中心为()
0，q 方法二：用平移的观点求对称中心
如果一个函数能和对称中心函数建立联系，我们通过两者之间联系，即可找到新函数的对称中心例1()1
a x
f x x a -=--解：1()=-1-11a x f x x a x a -=----容易得对称中心为()
1a+1， -例2、32()332
f x x x x =+++解：323()332(1)1
f x x x x x =+++=++容易得对称中心为()1-1， 例3、（2012四川文科）()3()31
f x x x =-+-解：()()33()313(3)2f x x x x x =-+-=-+-+容易得对称中心为(3,2)
思考函数123420182019() (12320172018)
x x x x x x f x x x x x x x ++++++=+++++++++++的对称中心为__________.答案(1009,2019)
-
方法三：两次导数为零处
（2012四川理科）()2cos f x x x
=-（2013新课标II 卷10）已知函数32()f x x ax bx c =+++选项B ：图像是中心对称图形
(2014洛阳二练理12)若函数()323,f x x x =-则1234027...______.2014201420142014f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭解析：对函数两次求导，解得二次导函数零点即为对称中心横坐标
说明，本方法是在函数有对称中心前提下，在不知函数是否有对称中心情况下，不能二次求导求对称中心。

反例比如()4
f x x =注：
1三次函数32()f x ax bx cx d =+++一定有对称中心，且对称中心为,()33b b f a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
2一次导数为零横坐标为对称轴，两次求导为零横坐标为对称中心
方法四：用定义求对称中心
求对称中心
例11
()1x f x a =-例21
()1x f x a =+例321()log ,21x f x x
=+-思考求()ln(1tan )
f x x =+解析：若存在实数对(,)a b 使得12122,()()2,x x a f x f x b +=+=则()f x 对称中心为(,)a b 下面以例1为例
解答：设1()1
x f x a =-对称中心为(,)m n ，即122,x x m +=则12()()-1f x f x +=而121212121212121122()()+=11(1)(1)1
x x x x x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a a a a ++-+-+==------+明显即1220x x m +==则12()()-1
f x f x +=所以，对称中心为1
(0,-)2。