历年高考数学考点知识归类专题讲解与训练15：双曲线

历年高考数学考点知识归类专题讲解与训练
专题15：双曲线
一、单选题
1．（2020·天津）设双曲线C 的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，过抛物
线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）
A ．22144x y -=
B ．22
14
y x -=
C ．2
214
x y -=
D ．221x y -=
2．（2020·浙江）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设
点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =|OP |=（ ）
A ．2
B ．
5
C D
3．（2017·全国（理））已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一
条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +
=有公共焦点.则C 的方程为（ ）
A ．22
1810
x y -
= B ．22
145
x y -
= C ．22
154
x y -=
D ．22
143
x y -=
4．（2019·全国（理））双曲线C ：22
42
x y -=1的右焦点为F ，点P
在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为
A B C ．
D ．5．（2019·天津（文））已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .
若l 与双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且
||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为
A B C ．2 D
6．（2019·全国（文））设F 为双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）
的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为
A B
C ．2
D 7．（2014·重庆（文））设
分别为双曲线
的左、右焦点，双曲线上存在一点
使得
2212()3,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为
A ．
B ．
C ．4
D ．
8．（2008·陕西（文））双曲线22
221x y a b
-=（
，）的左、
右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于
点，若
垂直于轴，则双曲线的离心率为
A ．
B ．
C ．
D ．
9．（2009·全国（理））已知双曲线2
2
22:1(00)y C a b a b
χ-=＞，＞的右
焦点为F C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为
A ．6
5
B ．75
C ．85
D ．95
10．（2014·湖北（理））已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123
F PF π
∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和
的最大值为（ ）
A B C ．3 D ．2
11．（2010·陕西（理））双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、
右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若
2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）
A B C
D ．
12．（2014·江西（文））过双曲线22
221x y C a b
-=：的右顶点作x 轴的垂
线与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过
A O O 、两点（为坐标原点），，则双曲线C 的方程为（ ）
A ．221412x y -=
B ．22
179x y -
= C ．22
188x y -
= D ．22
1124
x y -
=
13．（2015·重庆（理））设双曲线22
221x y a b
-=（a>0,b>0）的右焦点
为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作
AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a 线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A ．(1,0)(0,1)-
B ．(,1)(1,)-∞-+∞
C ．(⋃
D ．(,(2,)-∞+∞
14．（2018·全国（理））设1F ,2F 是双曲线22
22:1
x y C a b
-=（
）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的
垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为
A B C ．2
D 15．（2018·全国（理））已知双曲线C ：2
213
x y -=，O 为坐标原
点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若
OMN 为直角三角形，则|MN |=
A ．32
B ．3
C ．
D ．4
16．（2018·天津（理））已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 的离心率
为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为
A ．22
139x y -=
B ．22
193x y -=
C ．22
1412
x y -=
D ．22
1124
x y -=
17．（2017·天津（文））（陕西省西安市长安区第一中学上学期期
末考）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近
线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）
A ．22
1412
x y -= B ．221124x y -=
C ．2
213
x y -=
D ．2
2
13
y x -=
18．（2016·天津（理））已知双曲线22
2=14x y b
-（b>0），以原点为
圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为
A ．22
3=144x y -
B ．22
4=143x y -
C ．22
=144x y -
D ．22
=1412
x y -
19．（2015·重庆（文））设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点
是F ，左、右顶点分别是12,A A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两
点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为
A ．12
±
B ．2
± C ．1± D ．
20．（2015·湖北（理））将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线
2C ，则
A ．对任意的,a b ，12e e >
B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <
C ．对任意的,a b ，12e e <
D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >
未命名
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题
21．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2
2x a ﹣
2
5y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2
，则该双曲线的离心率是____. 22．（2020·全国（理））已知F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的
右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率
为3，则C 的离心率为______________.
23．（2019·全国（理））已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、
右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．
24．（2010·天津（文））已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐
近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同．则双曲线的方程为 ．
25．（2013·湖南（文））设F 1，F 2是双曲线C ，22
221a x y b
-=(a>0,b>0)
的两个焦点．若在C 上存在一点P ．使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为________________.
26．（2012·辽宁（文））已知双曲线x 2- y 2 =1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F 1⊥PF 2，则∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为___________________.
27．（2018·全国专题练习）已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的
右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．
28．（2017·山东（文））在平面直角坐标系xoy 中，双曲线
的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p => 交于,A B 两
点，若AF +BF =4OF ，则该双曲线的渐近线方程为_________.
29．（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2
213
x y -= 的
右准线与它的两条渐近线分别交于点
P ，Q ，其焦点是F 1 ，F 2 ，则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是________． 30．（2015·江苏）在平面直角坐标系中，为双曲线
右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c 恒成立，则实
数c 的最大值为_________
31．（2015·全国（文））已知F 是双曲线2
2
:18
y C x -=的右焦点，P
是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．
32．（2015·上海（理））已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线
方程为y =，则2C 的渐近线方程为________．
33．（2015·山东（理））平面直角坐标系xOy 中，双曲线
()22122:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线与抛物线()2
2:20C x py p =>交于点
,,O A B .若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______________
三、双空题
34．（2018·北京（理））已知椭圆22
221(0)x y M a b a b
+=>>：，双曲线
22
221x y N m n
-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双
曲线N 的离心率为__________．
四、解答题
35．（2010·四川（理））已知定点A (－1，0)，F (2，0)，定直线
l ：x ＝
1
2
，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍.设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由.
36．（2016·上海（理））双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的左、右焦点分别
为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.
（1）若l 的倾斜角为π
2
，1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率. 37．（2014·江西（理））
如图，已知双曲线()2
22:10x C y a a
-=>的右焦点为F ,点,A B 分别在C
的两条渐近线上，AF x ⊥轴， AB OB ⊥,//BF OA (O 为坐标原点）.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）过C 上一点()()000,0P x y y ≠的直线002
:
1x x
l y y a -=与直线AF 相交于点M ，与直线3
2
x =相交于点N ，证明：点P 在C 上移动时，MF NF 恒
为定值，并求此定值.
38．（2014·辽宁（理））圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线
22
122:1x y C a b
-=过点P .
（1）求1C 的方程；
（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与
2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.
39．（2009·重庆（文））已知以原点
为中心的双曲线的一条准线
方程为，离心率．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如图，点A的坐标为(0)，B是圆22
+=上的
x y
(1
+的最小值，并求此时M点的坐标点，点M在双曲线右支上，求MA MB
40．（2014·福建（理））
已知双曲线的两条渐近线分别为
.
（1）求双曲线的离心率；
（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线
的方
程；若不存在，说明理由.
41．（2014·湖南（文））如图，O 为坐标原点，双曲线
221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆22
2222222
:1(0)y x C a b a b +=>>均过点
P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求12,C C 的方程；
(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且OA OB AB +=？证明你的结论.
42．（2008·上海（文））本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，
第3小题满分7分．
已知双曲线2
212
x C y -=：．
（1）求双曲线C 的渐近线方程；
（2）已知点M 的坐标为(01)，
．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．
记·
MP MQ λ=．求λ的取值范围； （3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，
，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM 截直线
l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．
历年高考数学考点知识归类专题讲解与训练 专题15：双曲线
参考答案
1．D 【分析】
由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1y
x b
+
=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1b
b a
-⨯=-即
可求出,a b ，得到双曲线的方程．
【解析】
由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1y
x b
+=，即直线的斜率为b -，
又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±
，所以b b a -=-，1b
b a
-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．
故选：D ．
【小结】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
2．D 【分析】
根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象
上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．
【解析】
因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为
4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右
支方程为()2
2
103
y x x -=>，而点P
还在函数y =的图象上，所以，
由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩
，解得2
x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩
，即OP =
= 故选：D.
【小结】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
3．B 【分析】
根据已知可得b a =
，双曲线焦距26c =，结合,,a b c 的关系，即可求出结论.
【解析】
因为双曲线的一条渐近线方程为2
y x =
，则2b a =
.①
又因为椭圆22
1123
x y +=与双曲线有公共焦点，
双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②
由①②解得a ＝2，b C 的方程为22
145
x y -=.
故选：B.
【小结】本题考查椭圆、双曲线的标准方程以及双曲线的简单几何性质，属于基础题.
4．A 【分析】
本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【解析】
由2,,,a b c ====．
,2
P PO PF x =∴=
，
又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在2
y x =
上，
11
224
PFO P S OF y ∴=
⋅==
△，故选A ．
【小结】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
5．D 【分析】
只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．
【解析】
抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±
， 则有
(1,),(1,)b b A B a a
--- ∴2b AB a =
，
24b
a
=，2b a =，
∴c e a a
===．
故选D ．
【小结】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度．
6．A 【分析】
准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．
【解析】
设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又
||PQ OF c ==，||,2
c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，
A ∴为圆心||2
c OA =
． ,22c c P ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，又P 点在圆222x y a +=上，
222
44
c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．
e ∴=，故选A ．
【小结】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问
题时事半功倍，信手拈来．
7．D 【解析】
试题分析：由双曲纯的定义知：122PF PF a -=
又()
2
2123PF PF b ab -=-，所以，
，即2
340b b a a ⎛⎫
-⋅-= ⎪⎝⎭
解之得：
1b a =-（舍去），4b
a
=
所以，2
22222
22
11417c a b b e a a a +⎛⎫===+=+= ⎪⎝⎭
，e =故选D.
考点：双曲的定义，标准方程及其简单几何性质.
8．B 【解析】 略 9．A 【分析】
过A ，B 分别作右准线的垂直AM ，AN ，垂足分别为M,N,再过B 作BH 垂直
AM 垂足为H ，设|BF|=x,则|AF|=4x,根据双曲线的第二定义可知
|AM|=4ex,|BN|=ex,|AH|=|AM|-|BN|=3ex,由于直线l 的倾斜角为60,所以
60BAH ∠=，所以 3316
cos60,5525
AH ex e e AB
x =
=
==∴=.
10．A 【解析】
试题分析：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为()11,a a a ＞，半焦距为
c ，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设1122122PF r PF r F F c ===，，，，椭圆和双曲线的离心率分别为12e e ，
12,3
F PF π
∠=
∴由余弦定理可得222
1212423
c r r r r cos
π
=+-（）（），①
在椭圆中，①化简为即22
12443c a r r =-，即
1222
131
14r r c e -＝，② 在双曲线中，①化简为即2
2
1244c a r r =+，即12222
114r r c e -+＝，③ 联立②③得，
2
212
43
1e e +=
，
由柯西不等式得2
221212111
1331e e e ⎛⎛⎫⎛⎫++≥⨯ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，即
（2
1
2114
43e e ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，
即
12113e e +≤=
，当且仅当123
e e A 考点：椭圆，双曲线的简单性质，余弦定理
11．B 【解析】
由双曲线的定义，借助直角三角形和半通径通，易知
2
2
b MF a
=，
，
注意到倾斜角22222232226b b c
a a
b
c a a a
a π
=⇒⨯=+⇒=⇒⇒=
故选B. 12．A 【解析】
可得渐近线方程为，将x=a 代入求得．
由条件知，半焦距,
所以由
得，
．
又因,
所以解得，
．
双曲线C 的方程为22
1412
x y -=
故选A ．
13．A 【解析】
由题意,
根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)D
x （，则由 BD AB ⊥得：，
因为D 到直线BC 的距离小于a
，
即01b a
<
<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)b
k a =±∈-⋃（，故选A ．
14．B
【解析】
分析：由双曲线性质得到2PF b =，PO a =然后在2Rt PO F 和在
12Rt PF F △中利用余弦定理可得．
详解：由题可知22,PF b OF c ==
PO a ∴=
在2Rt PO F 中，222
cos P O PF b F OF c
∠=
=
在12PF F △中,2
2
2
2121
2212
cos P O 2PF F F PF b F PF F F c
+-∠=
=
)
2
22
224322b c b
c a b c
c
+-
∴
=
⇒=⋅
e ∴=故选B.
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．
15．B 【解析】
分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，
从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方
程联立，求得3(,2M N ，利用两点间距离公式求得MN 的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为±
(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，
可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，
分别与两条渐近线y x =
和y x =联立，
求得3(,2M N ，
所以3MN ==，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线MN 的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
16．A 【解析】
分析：由题意首先求得A ,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后利用离心率求解a 的值即可确定双曲线方程.
详解：设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，
由22221c y a b
-=可得：2
b y a =±，
不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，
据此可得：21bc b d c -==
，22bc b d c +==， 则12226bc
d d b c
+=
==，则23,9b b ==，
双曲线的离心率：2c e a ====，
据此可得：2
3a =，则双曲线的方程为22
139
x y -
=. 本题选择A 选项.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标
准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22
220x y a b
λλ-=≠，再由条件求
出λ的值即可.
17．D
【解析】
由题意结合双曲线的渐近线方程可得：
222
2tan 603c c a b
b
a
⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==， 双曲线方程为：2
2
13
y x -=.
本题选择D 选项.
【考点】 双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程，解方程组求出
,a b ，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为
2
2
1(0)mx ny mn -=>，（2）与22
221x y a b
-=共渐近线的双曲线可设为
2222
(0)x y a b
λλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22
(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.
18．D 【解析】
试题分析：根据对称性，不妨设(,)A x y 在第一象限，则
，
∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412
x y
-=，故选D.
【考点】双曲线的渐近线
【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：
（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．
（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．
①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1（AB ＜0）． ②若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ（λ≠0）．
19．C 【解析】
试题分析：，，，，所以
，根据,所以,代入
后得，整理为
，所以该双曲线渐近线的斜率是
，故选C.
考点：双曲线的性质
20．D 【解析】
依题意，，
，
因为，由于，，，
所以当时，，，，，
所以12e e <；
当
时，，，而，所以，所以
12e e >．
所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >． 考点：双曲线的性质，离心率．
21．
32
【分析】
根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率. 【解析】
双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2
y x =，
即
2b a a =⇒=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32
c a =. 故答案为：
32
【小结】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
22．2 【分析】
根据双曲线的几何性质可知，2
b BF a
=，AF c a =-，即可根据斜率列出
等式求解即可．
【解析】
联立22
22222
1x c
x y a b a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩
，解得2
x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2
b BF a =.
依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()
2
22
3b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =,
因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．
【小结】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
23．2. 【分析】
通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲
线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠0
2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=
从而由
0tan 60b
a
==. 【解析】 如图，
由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即
22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，
又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又
21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB
的斜率为
0tan 60b
a
==
2c e a =
===． 【小结】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．
24．22
x y 1412
-
= 【解析】 解：由已知得，
22,4221
412b c c e a a a x y
=
=∴===∴=∴-=双曲线的方程为
251； 【解析】
设点P 在双曲线右支上, 由题意,在Rt△F 1PF 2中, |F 1F 2|=2c,∠PF 1F 2=30°,
得|PF 2|=c,|PF 1
根据双曲线的定义:|PF 1|-|PF 2|=2a,
即
e=c
a +1.
26．【解析】
试题分析：根据双曲线方程为x 2﹣y 2=1，可得焦距F 1F 2=2
，因为
PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF 1|﹣|PF 2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF 1|+|PF 2|）2=12，从而得到|PF 1|+|PF 2|的值为
．
解：∵PF 1⊥PF 2，
∴|PF
1|2+|PF
2
|2=|F
1
F
2
|2．
∵双曲线方程为x2﹣y2=1，
∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F
1F
2 =2
∴|PF
1|2+|PF
2
|2=|F
1
F
2
|2=8
又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，
∴|PF
1|﹣|PF
2
|=±2a=±2，（|PF
1
|﹣|PF
2
|）2=4
因此（|PF
1|+|PF
2
|）2=2（|PF
1
|2+|PF
2
|2）﹣（|PF
1
|﹣|PF
2
|）2=12
∴|PF
1|+|PF
2
|的值为
故答案为
考点：双曲线的简单性质．
27
【解析】
如图所示，
由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ， ∵∠MAN=60°，
∴
， ∴
=
设双曲线C 的一条渐近线y=
b
a
x 的倾斜角为θ，则tan
θ=||||AP OP = 又tan θ=
b a
，
b a =，解得a 2=3b 2， ∴
==．
点睛：
求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，再根据222b c a =-和c e a
=转化为关于离心率e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值
（或取值范围）．
28
．2
y x =±
【解析】
||||=4222
A B A B p p p
AF BF y y y y p ++
++=⨯⇒+= ， 因为22
2222222
21202x y a y pb y a b a b x py ⎧-
=⎪⇒-+=⇒⎨⎪=⎩
，所以222A B pb y y p a a +==⇒=⇒
渐近线方程为y x =.
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为221Ax By +=的形式，当0A >，0B >，A B ≠时为椭圆，当0AB <时为双曲线.
2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
29
．【解析】
右准线方程为
x =
=y x =，设
(
1010P ，则(1010
Q ，1(F ，2F ，则
10
S == 点睛:（1）已知双曲线方程22
221x y a b
-=求渐近线：
22220x y b y x a b a
-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐
近线的交点．
30．
2
【解析】
设(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以点到直线
的距离恒大于直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，
因此c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，为
12.2
2= 考点：双曲线渐近线，恒成立转化
31．【分析】
根据题意，根据1,,P A F 三点共线，求出直线1AF 的方程，联立双曲线方程，即可求得P 点坐标，则由1
1
APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-即可容易求得.
【解析】
设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，12PF a PF =+， ∴△APF 的周长为
|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12a PF ++|AF|=|PA|+1PF +|AF|+2a ，
由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA|+1PF 最小，即
P 、A 、1F 共线，
∵(A ，()
13,0F -∴直线1AF 的方程为
13x +=-，即3x =-
代入2
2
18
y x -=整理得2960y +-=，
解得y =y =- (舍)，所以P 点的纵坐标为
∴1111
6622
APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-⨯⨯⨯⨯=
故答案为：
【小结】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题.
32
．y x = 【解析】
由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以
2234x y λ-=，即2C
的渐近线方程为y x = 考点：双曲线渐近线
33．
32
【解析】
设OA 所在的直线方程为b y x a =
,则OB 所在的直线方程为b y x a
=-, 解方程组2{2b
y x a x py == 得：22
2{2pb x a
pb y a == ，所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ , 抛物线的焦点F 的坐标为:0,2p ⎛⎫
⎪⎝⎭
.因为F 是ABC ∆ 的垂心，所以
1OB AF k k ⋅=- ,
所以，2222252124pb p b b a pb a a a ⎛⎫
- ⎪
-=-⇒=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
. 所以，222
2293
142
c b e e a a ==+=⇒= .
考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.
34
1 2 【解析】
分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N
的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为
c +
，再根据椭圆定义得2c a =，解得椭圆M 的离心率.
详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据
椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M
的离心率为
1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n
y x m
=±
，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333
n m ∴==，， 2222222
34 2.m n m m e e m m ++∴===∴=， 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建
立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
35．（Ⅰ）2
2
13
y x -=(y ≠0)，（Ⅱ）过点 F ，理由见解析.
【解析】
本试题主要考查了双曲线方程的求解，以及直线与圆的位置关系的运用．
（1）设(,)P x y
12
x =-
化简得()2
2
1,03
y x y -=≠；
(2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，
与双曲线2
2
13
y x -=联立消去y 得 ()()2
2
2234430k x
k x k -+-+=，由题意知230k -≠且0∆>，
设1122(,),(,)B x y C x y ，则21222
12243
433k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩
， ()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦＝
222
22438433k k k k k ⎛⎫
+-+ ⎪--⎝⎭
＝2
2
93
k k --
因为12,1x x ≠-，所以直线AB 的方程为()1
111
y y x x =
++， 因此M 点的坐标为1131,22(1)y x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，
1133,22(1)y FM x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，同理2233,22(1)y FN x ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
因此·0FM FN =；
②当直线BC 与x 轴垂直时，则方程为2x =，则(2,3),(2,3)B C -，
AB 的方程为1y x =+，
因此M 点的坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，33,22FM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
同理可得33,22FN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因此2
333·0222
FM FN ⎛⎫
=--⨯= ⎪⎝⎭
综上·0FM FN =，即FM FN ⊥， 故以线段MN 为直径的圆经过点F .
36．（1
）y =；（2
）. 【解析】
试题分析：（1）设(),x y A A A ，根据题设条件得到()
24
413+=b b ，从而解
得2b 的值．
（2）设()11,x y A ，()22,x y A ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且
()
23610k ∆=+>．再设AB 的中点为(),x y M M M ，由()
110F F A +B ⋅AB =即
10F M⋅AB =，从而得到1
1F k k M ⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可．
试题解析：（1）设(),x y A A A ．
由题意，()2,0F c
，c =，()2224
1y b c b A =-=，
因为1F AB
是等边三角形，所以2c y A =，
即()
24
413+=b b ，解得22b =．
故双曲线的渐近线方程为y =． （2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．
设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．
由()
2
2
1{32y x y k x -==-，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()2
3610k ∆=+>．
设AB 的中点为(),x y M M M ．
由11()0F A F B AB +⋅=即10F M⋅AB =，知1F M ⊥AB ，故1
1F k k M ⋅=-．
而2
122223
x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，12323F k k k M =-，
所以
23123k k k ⋅=--，得2
35k =，故l 的斜率为． 【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积
【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.
37．（1）22
1.3
x y -=（2）MF NF = 【分析】
（1）确定a 的值即可求出双曲线C 的方程，由直线OB 和BF 方程联立求出点B 的坐标，再根据AB OB ⊥，即1AB OB k k ⋅=-，即可求出a 的值；
（2）联立直线l 和直线AF 的方程求出点M ，联立直线l 和直线3
2
x =的方程求出点N ，即可得到
22
MF NF
的表达式，再根据点()00,P x y 在双曲线C 上，
化简即可得到
22
4
3
MF NF
=
，即命题得证． 【解析】
（1）设(c,0)F ，因为1b =
，所以c = 由题意可得，直线OB 方程为1y x a =-
，直线BF 的方程为1
()y x c a
=-，联立解得(,)22c c B a -，而直线OA 的方程为1
y x a =，则(,),c A c a ∴3.AB k a
=
又因为AB ⊥OB ，所以31
()1a a
⨯-=-，解得23a =，故双曲线C 的方程为
2
2 1.3
x y -= （2）由（1
）知a =l 的方程为
0001(0)3
x x
y y y -=≠，即00
3
3x x y y -=
因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点00
23
(2,
)3x M y -， 直线l 与直线3
2x =的交点为00
3
332(,)23x N y
-，则220222004(23)9[(2)]MF x y x NF -=+-． 因为()00,P x y 是C 上一点，则2
200 1.3
x y -=，代入上式得 22
2
002
22220
0004(23)4(23)4
9[(2)]
39[1(2)]3
MF x x x y x NF x --===
+--+-
，故所求定值为
MF NF
=
． 【小结】本题主要考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单几何性质的应用，直线与直线的位置关系的应用，以及双曲线中的定值问题的解法应用，意
在考查数学的数学运算能力，属于中档题．
38．（1）
2
21
2
y
x-=；（2）
1)0
x y
--=
，或
1)0
x y
+-=..
【解析】
试题分析：（1）设切点坐标为0000
(,)(0,0)
x y x y
>>，则切线斜率为
x
y
-，切线方程为0
00
()
x
y y x x
y
-=--，即
00
4
x x y y
+=，此时，两个坐标轴的
正半轴与切线围成的三角形面积为
0000
1448
2
S
x y x y
=⋅⋅=.由22
0000
42
x y x y
+=≥知
当且仅当
00
2
x y
==时
00
x y有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为(2,2)，由题意知解得22
1,2
a b
==，即可求出1C的方程；（2）由（1）知2C的焦点坐标为(3,0),(3,0)
-，由此2C的方程为22
22
11
1
3
x y
b b
+=
+
，其中10
b>.
由P在2C上，得22
11
22
1
3b b
+=
+
，显然，l不是直线y=0.设l的方程为1122
(,),(,)
A x y
B x y由22
{
1
63
x my
x y
=+
+=
得
22
(2)30
m y
++-=，因
1122
(2,2),(2)
AP x y BP x y
=--=-由题意知0
AP BP
⋅=，所以
12121212
))40
x x x x y y y y
++++=，将韦达定
理得到的结果代入
12121212
))40
x x x x y y y y
++++=式整理得
22110m -+=
，解得1m =
或1m =，即可求出直线l 的方程.
（1）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0
x y -
，切线方程为0
000
()x y y x x y -=-
-，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为0000
14482S x y x y =
⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥
知当且仅当00x y =时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P
得坐标为 ，
由题意知
解得2
2
1,2a b ==，故1C 方程为2
2
1
2
y x -=.
（2）由（1）知2C 的焦点坐标为(，由此2C 的方程为
22
22
1113x y b b +=+，其中10b >.
由P 在2C 上，得
22
1122
13b b +=+，
显然，l 不是直线y=0.设l 的方程为1122(,),(,)A x y B x y
由2
2
{163
x my x y =+= 得22(2)30m y ++-=，又12,y y 是方程的根，因此。