第六章超静定
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第6章超静定问题
T =7 kN.m d1=0.1 m
2m
A
1m
B
1m
C 2m d2
材料力学电子教案
例 7 答案 解：联立三式求出 FN ,即可得结果：
∆l = FN ⋅2 8FN = π d 22 Eπd 2 E 4 ∆l 2 ⋅∆l = = d1 d1 2 T ⋅1 FN d1 ⋅2 = − GI P GI P
材料力学电子教案
对(c)图: (1) 平衡方程
A
1
a
2 C
a
3 B
l
∑F
y
= 0, F1 + F2 + F3 − F = 0
A
F
∑M
= 0, aF2 + 2aF3 = 0
F1
F2
F3
(2) 变形协调方程
∆l1 − ∆l2 = ∆l2 − ∆l3
即∆l1 − 2∆l2 + ∆l3 = 0 (3) 物理方程 F1l ∆l1 = E1 A1
(4)补充方程变为 (4)
FN1 = FN 3
EA cos 2 α E3 A3
材料力学电子教案
联立平衡方程、补充方程，求解得
FN1 = FN 2 =
F E3 A3 2 cos α + EA cos 2 α
FN 3
F = EA 3 1+ 2 cos α E3 A3
在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆 的刚度的比值有关，杆系中任一杆刚度的改变都将引起杆系各 轴力的重新分配。这些特点在静定杆系中是不存在的。
F N3
α
FN2
A F
x
ΣFy = 0, FN3 + FN1 cos α + FN2 cos α − F = 0
第六章简单的超静定问题
第六章简单的超静定问题知识要点1．超静定问题的概念（1）静定问题结构或结构的约束反力或内力均能通过静力学平衡方程求解的问题。
（2）超静定问题结构或构件的约束反力或内力不能仅凭静力学平衡方程全部求解的问题。
（3）超静定次数未知力(约束反力或内力)数超过独立的静力平衡方程书的数目。
（4）多余约束力超静定问题中，多余维持静力平衡所必需的约束（支座或杆件）。
（5）多余未知力与多余（支座或杆件）相应的支座反力或内力。
（6）基本静定系在求解静定结构时，解除多余约束，并代之以多余未知力，从而得到一个作用有荷载和多余未知力的静定结构，称之为原超静定结构的基本体静定系。
2．静不定问题的解题步骤（1） 静力平衡条件——利用静力学平衡条件，列出平衡方程。
（2） 变形相容条件——根据结构或杆间变形后应保持连续的变形相容条件，作出位移图，由位移图的几何关系列出变形间的关系方程。
（3） 物理关系——应用胡克定律列出力与变形间的关系方程。
（4） 将物理关系代入变形相容条件，得补充方程 。
补充方程和静力平衡方程，二者方程数之和正好等于未知数的个数，联立平衡方程和补充方程，求解全部未知数。
习题详解6-1 试作题6-1图（a ）所示等直杆的轴力图。
解 解除题6-1图（a ）所示等直杆的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-1图（b ）所示。
由静力学平衡条件,03,0=-+=∑F F F FB A Y和变形协调条件0=∆+∆+∆DB CD AC 并将()EAa F EA a F F EA a F B DB A CD A AC -=∆-=∆=∆,22,代入式②，可得 联立式①，③，解得45,47F F F F B A == 轴力如图6-1图（c ）所示6-2 题6-2图（a ）所示支架承受荷载F=10 kN,1,2,3各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为232221200,150,100mm A mm A mm A ===。
试求各杆的轴力。
建筑力学第六章超静定结构内力计算资料
n1Χ1 n2 Χ 2 ni X i nn Χ n ΔnF 0从左上方
至右下方的一条主对角线上的系数δii称为主系数， 它表示Xi=1时，引起的基本结构上沿Xi方向上的位 移，它可利用 图M自1 乘求得,其值恒为正值；主对 角线两侧的系数δij(i≠j)称为副系数，它表示Xj =1时， 引起的基本结构上沿Xi方向上的位移，它可利用 图与 图M互i 乘求M得j。
Δ1=0
上式称为基本结构应满足 的原结构的位移条件，设 Δ1F[图(c)]和Δ11[图(d)]分别表示 荷载q与多余末知力X1单独作 用于基本结构上时，引起的B 点沿X1方向上的位移。由叠加 原理，有
Δ1 =Δ11 +Δ1F =0
(b)基本结构
X1
=
(c)
+
(d)
X1
由于X1是末知力，若以δ11表示X1＝1单独作用 于基本结构时引起的B点沿X1方向上的位移，即 Δ11 = δ11·X1 ，则
6.3.1 位移法的基本概念
位移法是以结构的结点位移作为基本未知量， 由平衡条件建立位移法方程求解结点位移，利用 杆端位移和杆端内力之间的关系计算杆件和结构 的内力，从而把超静定结构的计算问题转化为单 跨超静定梁的计算问题。
为了说明位移法的基本概念，我们来研究图 （a）所示的等截面连续梁。
此梁在均布荷载作用下的变形情况如图虚线所 示。。 由于B点为刚性结点，所以，汇交于此点的各 杆在该端将发生相同的转角B 。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与 荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图
最新建筑力学第六章超静定结构内力计算
δ11·X1 +Δ1F =0 上式称为力法方程，而δ11称为方程的系数， Δ1F称为方程的自由项。
因为δ11和Δ1F均为已知力作于静定结构时，引起 的B点沿X1方向上的位移，所以由静定结构的位移计 算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知
力X1。
为了具体计算位移δ11和Δ1F，可分别绘出基本 结构在荷载q和X1＝1单独作用下的MF图和 M图1 [图(a， b)]，然后用图乘法计算。
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图
ql 2 8
ql 2
M，也可利用已经绘出的
M
图
1
和 MF 图 按 叠 加 原 理 绘 出 ， A
8
B
即MM1X1MF。
M图 （c）
综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知 量，以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构， 根据基本结构在多余约束处与原结构完全相同的位 移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超 静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。
同理可用M 1 图乘MF图计算Δ1F
Δ 1F E 1 I1 3l1 2q2l4 3l8 qE 4lI
(a) MF 图
将δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力
X1。
Χ1
1F 1 1
3ql 8
X1
(b)M1图
所得末知力X1为正号，表示反力X1的方向与所
设的方向相同。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与 荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
X2 、X3方向上的位移[图(f)]。
对于n次超静定结构，用力法分析时，去掉n
个多余约束，代之以n个多余未知力，当原结构在
因为δ11和Δ1F均为已知力作于静定结构时，引起 的B点沿X1方向上的位移，所以由静定结构的位移计 算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知
力X1。
为了具体计算位移δ11和Δ1F，可分别绘出基本 结构在荷载q和X1＝1单独作用下的MF图和 M图1 [图(a， b)]，然后用图乘法计算。
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图
ql 2 8
ql 2
M，也可利用已经绘出的
M
图
1
和 MF 图 按 叠 加 原 理 绘 出 ， A
8
B
即MM1X1MF。
M图 （c）
综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知 量，以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构， 根据基本结构在多余约束处与原结构完全相同的位 移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超 静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。
同理可用M 1 图乘MF图计算Δ1F
Δ 1F E 1 I1 3l1 2q2l4 3l8 qE 4lI
(a) MF 图
将δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力
X1。
Χ1
1F 1 1
3ql 8
X1
(b)M1图
所得末知力X1为正号，表示反力X1的方向与所
设的方向相同。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与 荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
X2 、X3方向上的位移[图(f)]。
对于n次超静定结构，用力法分析时，去掉n
个多余约束，代之以n个多余未知力，当原结构在
材料力学-第六章 简单的超静定问题
变形协调条件：
l1 l 3 cos
F N1
F N3
F N2
l3
l1
A
A
l2
例2.图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）
刚度均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装
到横梁后，求两杆内力。
解: 装配后各杆变形 1杆伸长 l1 2杆缩短 l 2 变形协调条件
A
1
l1
4、联解方程
FN 1 F E3 A3 2 cos 2 E1 A 1 cos
FN 3
F E1 A 3 1 1 2 cos E3 A3
●装配应力的计算
装配应力：超静定结构中由于加工误差， 装 配产生的应力。 平衡方程：
FN 1 FN 2
1
3 2
A
l
FN 3 ( FN1 FN 2 ) cos
2、AC和BC材料相同，面积不同，外力作用在 连接界面处，在外力不变的情况下，要使AC上 轴力增加，错误的方法有（ ）。 A、 增加AC的横截面积 B、 减小BC的横截面积 C、 增加AC的长度 D、 增加BC的长度
A l1 C F B l2
3、AB为等截面杆，横截面面积为A，外力F作 用在中间，则AC和BC上应力分别（ ）。
2
l 2
B
2( l1 ) l 2
解: 分析AB
A
aF 1 2aF 2 0
F1l 物理方程 l1 EA 变形协调条件
FA
F1
F2
B
F2 l l 2 (缩短) EA
2( l1 ) l 2
4EA 2EA F1 (拉力) F2 (压力) 5l 5l
材料力学教学课件 第六章 简单的超静定问题
FN a EA
2qa 3 A FN 2 3a A I Z
FN a 3 FN a q2a FN 2a 8EI Z 3EI Z 3EI Z EA
4
例题 6.10
当系统的温度升高时,下列结构中的____ A 不会 产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.11
所有超静定结构，都是在静定结构上再加一个或几个约束，这些约束对 于特定的工程要求是必要的，但对于保证结构平衡却是多余的，故称为多余 约束。未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数。
对超静定问题，可综合运用平衡条件、变形的几何相容条件和力与变形 间的物理关系等三个方面来求解。
6-2.拉压超静定问题
例题：求图 ( a ) 所示等直杆 AB 上下端的约束力，并求 C 截面的位移。 杆的拉压刚度为EA。
解: 1、有两个未知约束力FA , FB (见 图a ) , 但只有一个独立的平衡方程， 故为一次超静定问题。
FA +FB - F = 0
2、取固定端B 为“多余”约束。相应 它应满足相容条件 的静定杆如图 (b)。 ΔBF + ΔBB = 0，参见图(c) (d)。 3、补充方程为
A. 有弯矩，无剪力；
q
B
B. 有剪力，无弯矩；
C. 既有弯矩又有剪力； D. 既无弯矩又无剪力；
A
L2
C
L2
例题 6.13
等直梁受载如图所示.若从截面C截开选取基本结 构,则_____. A
A. 多余约束力为FC，变形协调条件为ωC=0; B. 多余约束力为FC，变形协调条件为θC=0; C. 多余约束力为MC，变形协调条件为ωC=0; D. 多余约束力为MC，变形协调条件为θC=0;
第六章简单超静定问题
yc = 0
去掉多余约束而成为形式上 去掉多余约束而成为形式上 基本静定基。 的静定结构 — 基本静定基。
q A
l 2
q
C
l 2
B
AA
L/2
C
Rc
B
L/2
静力、几何、物理条件) 解超静定的步骤 —— (静力、几何、物理条件) 用多余约束反力代替多余约束（ 静定基，原则：便于计算） 1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算） 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 分析—— ω
A
l 2
1)研究对象，AB梁 研究对象 B 解：1)研究对象，AB梁， 受力分析： 受力分析：R A , RB , RC , ql
∑ Y = 0, R A + RB + RC − ql = 0
∑ M A = 0, RB l + 0.5RC l − 0.5ql 2 = 0
q A
RC
B
２)选用静定基，去Ｃ支座 选用静定基， 静定基 ３)变形协调方程
C 2 δ
1
3 α
α
A
由温度引起杆变形而产生的应力（ 1）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。 温度应力 由温度引起杆变形而产生的应力 热应力）。 温度引起的变形量 —
∆L = α∆tL
1、静定问题无温度应力。 静定问题无温度应力。 超静定问题存在温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。
F
B 1
D 3 α α A 2
C
超静定结构的特征：内力按照刚度分配
∆l3
∆l2
A2
∆l1
A3
第六章简单的超静定问题
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的 工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.
未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数.
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面.
超静定问题的方法步骤：
平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程——胡克定律； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
列静力平衡方程 MA 0
FNCE 135 kN 3FNBD
变形协调方程
D
FLNDCBE31mLCE30kN / m 230m0FN1B1D0.5F6m1Nm.B8D2lFNEB65DF4N3C0mE0310F0NC6Em2l E
30kN / m
B
A
C
1m
2m
E
FNBD 32.2kN
FNCE 38.4kN
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
试校核该梁的强度.
列静力平衡方程
q
Fy 0
A
C
L2 FA
L2 FC
变形协调方程
B
FA FB FC qL 0
MA 0
FB
FC
L 2
FBL
qL2 2
0
C q C FC 0
7.5kNm
5qL4 FC L3 384EIZ 48EIZ
0
FC
5 qL 8
FB
3 16
qL
M 7.5kNm max
[工学]第六章简单的超静定问题
![[工学]第六章简单的超静定问题](https://img.taocdn.com/s3/m/0639a72708a1284ac95043cb.png)
(4) 由静力平衡方程和补充 方程联立解 N1 和 N2
2N2+N1-P=0
N1
P 5
N
2
2P 5
1
a
2a
2
A
C
B
P
N1
N2
P
N
(5) 由强度条件求 Pmax 强度条件为
N1 P 5 [σ ] AA N 2 2P 5 [σ ] AA
由
N2 2P 5 [σ ] AA
求得 P=50KN
1
a
A1A2 装配后 3 杆的伸长 B1B2 装配后杆 1 的缩短 C1C2 装配后 2 杆的缩短
B
D
C
l
1
3
2
A
1
3
2
A
C2 C1
A1 B2
A2
B1
N1 N3 N2 A
N1，N2，N3 为各杆的装配内力
A1 A2
N3l EA
l
B1 B2
C1 C 2
N1 cos EA
1
3
2
B
D
C
l
1
3
2
l 2
B
lT
B
l N B
P2 B
补充方程是：
N l T l EA
温度内力为：
N EA T
温度应力为： σ N E T A
A
l
A
A
P1
B
lT
B
l N B
P2 B
例题：桁架由三根抗拉压刚度均为 EA 的杆在 A 点绞接， 试求由于温度升高 T 而引起的温度应力。材料的线膨胀系 数为。
2a
2
A
第六章_简单的超静定问题
第 1 页/共 3 页第六章 容易的超静定问题6-1 一次超静定解除A 端约束，加反力F A 变形协调 0=∆=∆L A 补充方程 0])3()2(2[1=-+-+=∆a F F a F F a F EAL A A A 解得 F F A 47=轴力图： 6-4 一次超静定解除杆2约束，加反力F E 变形协调 EAl F EA lF C C E E C E =∆=∆∆=∆，，2 补充方程 C E F F 2=平衡 F F F M C E A 320=+⇒=∑ 解得 kN F F kN F F C E 30536056====， 从而可得轴力 kN F kN F N N 603021==，应力 MPa AFMPa A F N N 60302211====σσ， 6-9 若杆未碰到支座B ，计算δ>∆L ，则杆必碰到支座B ，一次超静定解除下端支座B ，加反力F B变形协调 δ=∆=∆L B 补充方程 []δ=-++-+-=∆a F F F a F F EAEA a F L B D C B C B )()(221解得 kN aEAF F F D C B 155253=-+=δ （其中a =1.2m ，A =300mm 2）kN F F F F B D C A 85=-+= 轴力图：6-11 一次超静定解除B 端约束，加反力偶M B 变形协调 0=BA ϕ 补充方程 0)(221=-+=p e B p B BA GI aM M GI a M ϕ 解得 e B M M 331=，从而e A M M 3332= 扭矩图：6-14 拉杆EF 与GH 相同，且变形同为C 端位移，故两杆拉力相等 一次超静定第 3 页/共 3 页解除两杆约束，加反力F C 变形协调 ，，2122/EA L F L d LC CA =∆∆=ϕ []L d F M l d F GI C e C p CA )(1111-+-=ϕ （其中L ＝1m ） 补充方程21114)2(EA F d F M GI d C C e p =- 解得 kN d M F eC 1071==从而AB 段 m kN M T e ⋅==676max 最大切应力 MPa d T W T p 6.3016/31maxmax max ===πτ 6-15(a) 一次超静定解除B 端约束，加反力F B 变形协调 0==∆B B w补充方程 0931433=-=EIa F EI Fa w B B 解得 F F B 2714= 6-16 一次超静定基础梁AB 与CD 间的约束，加互相作使劲F C 变形协调 C B w w =补充方程 23213133)(EI l F EI l F F C C =- 解得 FF C 167135=。
第6章简单的超静定问题
试校核该梁的强度.
列静力平衡方程
q
Fy 0
A
C
L2 FA
L2 FC
变形协调方程
B
FA FB FC qL 0
MA 0
FB
FC
L 2
FBL
qL2 2
0
C q C FC 0
7.5kNm
5qL4 FC L3 384EIZ 48EIZ
0
FC
5 qL 8
FB
3 16
qL
M 7.5kNm max
mA
1 ql2 qL4 8 8EIZ
3FEBqLIZ3
A
FA
5 8
ql
L
5
ql
8
3 FB 8 ql
0
B
3 FB 8 ql
kN
B
1
B18
ql
2
3 ql 8
B2
B FB
9 ql 2 128
kNm
例题 6.7 图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载.已
知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm,[σ]=100MPa.
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的 工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.
未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数.
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面.
2.拉压超静定问题 一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F,
L1
F1 38.52kN
F2 119.26kN
计算1，2杆的正应力
L2
第六章简单的超静定问题
全部未知力，这类问题为超静定问题或静不定
问题。相应结构称超静定结构或静不定结构。
超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之 差，也等于多余约束数。
多余约束：在结构上加上的一个或几个约束，
对于维持平衡来说是不必要的约束称多余约束。
对应的约束力称多余约束反力。
由于超静定结构能有效降低结构的内力及变 形，在工程上应用非常广泛。
FN 3 ( FN 1 FN 2 ) cos
1
3 2
A
l
变形协调条件：
l3 l1
cos
F N1
F N3
F N2
l3
l1
l2
A
A
例2.图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）
刚度均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装
到横梁后，求两杆内力。
基本静定系：解除多余约束代之于未知力后的 结构。 超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之
差，也等于多余约束数。
●超静定问题的解法：综合考虑变形的几何相
容条件、物理关系和静力学平衡条件。 解超静定问题必须找出求解所有未知约束反 力所缺少的补充方程。 关键：变形协调条件（几何相容条件）
二、拉压超静定问题
拉压变形时的胡克定律
l
FN l EA
综合考虑变形的协调条件、胡克定律和静力 学平衡条件求解拉压超静定问题。
例1.已知:1、2杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚
度为E3A3,F，求各杆内力。 解: 1、分析A结点 一次超静定问题。
FN1 FN3 FN2
1 3
A
2
l
F x 0,
FN 1 FN 2
第六章超静定问题PPT课件
1 2
EA
，
E3 A3
FN3
eE3 A3 l
1
1 E3 A3
2EA
所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为 压力是正确的。
5. 各杆横截面上的装配应力如下：
1
2
FN1 A
74.53 MP a
（拉应力）
3
FN3 A3
19.51MP a
（压应力）
第26页/共59页
钢管横截面上任意点的切应力为
b
Tb
I pb
GbM e
Ga Ipa Gb Ipb
cos3
E3 A3
解答表明，各杆的轴力与其刚度有关。
第11页/共59页
例6-2 求图示杆的支反力。
RA
解： 平衡方程：
A
A
RA RB P 0
(1)
变形协调条件：
lAB lAC lBC 0 (2)
物理关系：
LAB
RAa EA
RB b EA
(3)
a l
b
C
P
P
B
B
RB
联解得：
RA
b l
M A
M eb l
C
TAC a GIp
Meab
lGIp
第36页/共59页
例题6-6 由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受 扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘 出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。
(a)
第37页/共59页
Tb Ta
(b)
第9页/共59页
Bx
Bx FB
§6-2 拉压超静定问题
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抗拉 刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。 解： D
1、选择基本静定梁。
2、列出变形协调条件。
l
A l/2 B
F
而
C l/2
B lBD
（1）
B BF BF
BF
N
FN
A B
F
C
Fx2 5Fl3 (3l x) () 6 EI 48EI l x
杆件内力引起的弹性变形
例6-5： 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2 杆材料为铜，两杆的横截面面积分别为A钢=1000mm2，A铜 =2000mm2。求当F=200kN，且温度升高20℃时，试求1、2杆内的 应力。钢杆的弹性模量为E钢=210GPa，线膨胀系数αl钢=12.5×10-6 /℃；铜杆的弹性模量为E铜=100GPa，线膨胀系数αl铜=16.5×10-6 /℃ ； 列静力平衡方程 F
(-)
3 ql 8
L
1 2 ql 8
M 图
Fs max ql
1 2 M max ql 2
9 2 ql 128
例6-8:
图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载.已 知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm,[σ]=100MPa. 试校核该梁的强度.
作业：6-1，6-4，6-11
§6－4.简单超静定梁
用变形比较法求解超静定梁的步骤：
1、确定超静定次数。 2、选择基本静定梁。 静定梁(基本静定基) — 将超静定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。 多余约束 — 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束 或多余杆件。
简单的超静定问题
2013年7月12日星期五
第六章
简单的超静定问题
q
A
B
§6－1.超静定问题及其解法
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅 由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称 为静定问题,相应的结构称为静定结构.
l
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知 力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定 结构. 所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特 定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束. 未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数.
B
B 2
D
C
MC
3 qL 5F 8.75kN FB 8 2 48 FA qL FB 71.25kN
2m
2m
FC F FB 48.75kN
qL2 MA FB L 125kNm 2 L M C F FB L 115kNm 2
B1 B 2
qL4 FB L3 B1 8EI Z 3EI Z 3 2 L L F F FB L3 2 2 L B 2 3EI Z 3EI Z 2 EI Z 2
2m
2m
A
MA
B1
4m
B
FB FB 40kN
FC
CF
N
FN x 2 25Fl 3 1 (3l x) ( )() 6 EI 96EI 1 24 I l x 2 Al 2
解得：
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三 个方面.
平衡方程为
B D
F 0 : F sin F sin 0 F 0 : F cos F cos F 0
x N1 N2
y
N1
N2
P
静定问题与静定结构：
A
FP
y
未知力（内力或外力）个数
FN1 FN2
4 3
B
FN
a
FN
C
a
FN
D
FN a 3 C 3EI Z
q
A
2a
LBC
3
FN a EA
2qa 3 A FN 2 3a A I Z
B
FN
FN a 3 FN a q2a FN 2a 8EI Z 3EI Z 3EI Z EA
4
例6-11
:图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的
FB
3 qL 16
FA
M
7.5kNm
max
7.5kNm
4.22kNm 4.22kNm
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
例6-9:
20kN m
求图示梁的支反力
40kN
在小变形条件下,B点轴向力较小可 忽略不计,所以为一次超静定.
C
B
D
A
4m
FA
20kN m
FNBD 32.2kN
BD
D
FNCE 38.4kN
A
C 1m E
2m
FNBD 32.2 103 161MPa ADB 200 FNCE 38.4 103 96MPa ACE 400
2m
L
FBD
30 kN / m
B
B
CE
1m
A
C
E
A C F
B
0.5
0.5
§6－3.扭转超静定问题
例6-7：
Me
求 : M A, M B
Me
MA MB 0
A
L L L
B
AB 0
M B L M B M e L M B L GI p GI p GI p
MA
Me
Me
MB
0
A
L L L
B
Me M A M B 3
ql 4 8 EI
BF
FByl 3 3EI
B BF Bq
解得:
FByl 3 ql 4 0 8 EI 3EI
q
A l B
3 FBy ql () 8
FBy
5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。 本例： (1)
MA
q
A L B
F
FBy
x
0 0
超静定次数——未知力个数与独立平衡方程数之差
例题6－1 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静
定，则为几次超静定？
B
D
E
B
D
A
C
A
C
FP
(a)静定。未知内力数：3 平衡方程数：3 (b)超静定。未知力数：5 平衡方程数：3 超静定次数=2
FP
(c)超静定。未知内力数：3 平衡方程数：2 超静定次数=1 FP
2
l/2
l/2
BF
N
l 3 FN ( ) 2 () 3EI
代入（1）：5Fl 3 解得：
FN l FN l 48 EI 24 EI EA
3
FN
A l/2 B l/2
F C
5F 1 FN 2 (1 24 I ) Al 2
CF
Fl 3 () 3EI
3、在基本静定梁上由叠加法求 C 。 在F力单独作用下： 在 FN 力单独作用下：
x
=
独立的平衡方程数。
FP
B
D
平衡方程为
F
x
0:
FN1sin FN 2sin 0
A
FP FN3
y
F
y
0:
FN1cos FN 2cos FN3 FP 0
未知力个数：3 平衡方程数：2
FN1 FN2
x
未知力个数〉平衡方程数
FP
超静定问题与超静定结构： 未知力个数多于独立的平衡方程数。
38.5MPa
59.6MPa
练习 图示阶梯形钢杆，弹性模量E＝200Gpa，线膨胀
=1210-6/C系数。左段横截面面积A１＝20cm2，右段
横截面面积A2＝10cm2。加载前，杆的右端与右支座间隙
＝0.1mm，当F＝200kN时，试求(1)温度不变，（2）温
度升高30 C两种情况下杆的支反力。
例6-10: 结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC
的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
D
a
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结 构，杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD 梁上。为1次超静定。
q
A
2a
B C LBC
q2a FN 2a B 8 EI Z 3EI Z
2.1F2 8应力
F1 38.52kN
F2 119.26kN
F1 38.52103 N F2 119.26103 N 1 2 2 A1 A2 1000m m 2000mm2
§6－2. 拉压超静定问题
例6-2： 一铰接结构如图示,在水平
刚性横梁的B端作用有载荷F,垂直杆1,2 的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横梁 AB的自重不计,求两杆中的内力.
1
A
C
B
L1
2
M
A
0
FN1a FN 2 2a F 2a 0
变形协调方程
a
A
FN 1
C
a
L1
q
A
L2
FA
FC
C
列静力平衡方程
B
L2
FB