10级金融工程4
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14
F S t e c ( T t )
第五节 远期（期货）价格的一般结论
远期价格：
F S t e c ( T t )
完全市场假设：
1．没有交易费用和税收。(市场无摩擦） 2．市场参与者能以相同的无风险利率（r）借入和贷出资金。
3．远期合约没有违约风险。
4．允许现货卖空。 5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机 会消失，我们得到的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。
T
F S0 e r T
f ( St , t ) St K e r (T t ) St S0 erT e r (T t ) St S0 e rt
在t时，F*为在T时刻交割的远期价格: 在t时，远期价值：
F * St e r (T t )
价 e c(T t )
16
r
*
T
F St er (T t )
F St e
*
T
r * (T * t )
*
St e F F S t e r (T t )
*
11
r * (T * t )
F F e
*
r * (T * t ) r (T t )
不同远期价格之间的换算
第三节 支付已知现金收益资产的远期合约的定价
金融工程4 ——远期和期货的定价
第三章 远期和期货的定价
交割价格: 合约双方约定在未来某一日期（交割日）按约定的价格K（交割价格） 买卖约定数量的相关资产。
远期价值（forward value)是指远期合约本身的价值。
远期价格(forward price)是指使远期合约价值为零的交割价格。
2
无套利定价原理
套利（arbitrage) 是指利用一个或多个市场存在的价格差异，在不冒任何
损失风险且无需自有资金的情况下获取利润的行为。
无套利定价原理：金融产品的定价要使得套利机会不存在
美元1年期利率4% 澳元1年期利率5% 即期汇率：1美元=1.2澳元 ？远期汇率
若 远期汇率：1美元=1.2澳元（即104美元=124.8澳元）， 产生套利机会 100美元 -> 104美元 1. 借入100美元（1年后要还104美元） 2. 按即期汇率换成120澳元&进入远期外汇空头 120澳元 -> 126澳元 3. 1年后得到126澳元，按远期汇率交割得到105美元 4. 还本付息104美元，得无风险利润1美元 要使得无套利机会存在， 远期汇率：104美元=126澳元 无套利分析法是衍生资产定价的基本思想和重要方法，也是金融学区别于经 济学“供给需求分析”的一个重要特征。
如：股票（有分红） 组合B： 一份远期合约多头&现金 K e r (T t ) 组合A： 一个单位的标的物资产
f ( St , t ) K e r ( T t )
St
St I
实际价格
I 为现金收益的现值（P54 案例3.4） 现价相等
f ( St , t ) K e r ( T t ) S t I f ( St , t ) S t I K e r ( T t )
K ( St , t ) St er (T t ) 以无风险利率r借入 S t 买入标的资产；进入远期空头。 K ( St , t ) St er (T t ) 卖空标的资产，无风险投资；进入远期多头。
4
（无收益资产）远期价值的确定
远期价值（f )随基础资产的市场价格波动而变化。（在合约的有效期以内）
( F * F ) e r ( T t )
( St er (T t ) S0 er T ) e r (T t ) St S0 er t f (St , t )
10
远期价格期限结构
描述的是同一基础资产不同期限的远期价格之间的关系。
r
t
设F为在T时刻交割的远期价格: F*为在T*时刻交割的远期价格:
远期价格：
F St er (T t )
远期价格即为理论上的交割价格。 为了使得远期合约价值在签订时为0，应使得交割价格等于其远期价格
9
远期价格和远期价值
在t时，远期价值：
f ( St , t ) S t K e r (T t )
r
t
0
在0时，F为在T时刻交割的远期价格:
卖空标的资产得
r (T t )
f ( St , t ) K e r (T t ) S t
买入远期多头&无风险投资
St
K e r ( T t )
2) f ( St , t ) St K e r (T t )
以无风险利率r借入
5
K e r ( T t ) St f ( St , t )
F St e( r q )(T t )
F ( St I ) e r (T t )
2）固定收益率，如：外汇 3）有固定收益，如：股票（有分红），黄金
I和q反映了现在不出售而在未来出售标的物所能获得的确定性收益 持有成本： 1）r 2）r -q 3）黄金存储成本u：r+u
持有成本c =无风险利率成本 + 保存成本 - 标的物提供的收益 远期价格：
远期价格：
0 St I F e r ( T t )
F ( St I ) e r (T t )
12
第四节 支付已知收益率资产的远期合约的定价
如：外汇远期 组合B： 一份远期合约多头&现金 K e r (T t ) 组合A： 一个单位的标的物资产
f ( St , t ) K e r ( T t )
15
第六节 远期价格和现货价格的关系
远期价格： F
S t e c ( T t )
持有成本c = r – q： q 为该资产的收益率（连续复利）
when t T , F ST
若 持有成本c = r – q > 0
时间趋向交割日时，远期价格趋向现货价格
F St
现货价格对远期价格有制约作用
St
q 为该资产的收益率（按连续复利计算） 现价相等
St e q(T t )
实际价格
f ( St , t ) K e r (T t ) St e q(T t ) f ( St , t ) St e q(T t ) K e r (T t )
交割日为T期，r为无风险利率，K为交割价格 （多头）远期价值：
S t 为t期基础资产的价格。
f ( St , t ) S t K e r (T t )
● 基础资产的现货价格（St )与交割价格(K )现值的差额。 ● 空头远期价值与多头符号相反
1) f ( St , t ) St K e
St
f ( St , t ) K e r ( T t )
现价
f ( St , t ) S t K e r (T t )
1) St f ( St , t ) K e r (T t )
卖出组合A： 卖空标的资产得
St
K e r ( T t )
3
远期合约中交割价格的合理确定
合理的交割价格，要使得套利机会不存在。 现在t期，确定交割日为T期的交割价格，r为无风险利率 现货－远期平价公式（Spot－Futures Parity ):
S t 为t期标的物的价格。
K K ( S t , t ) S t e r (T t )
交割价格（K）等于其标的资产现货价格（St )的终值。 无套利定价原理： 使得利用该资产进行套利的机会不存在。
买入组合B：买入远期多头&无风险投资
2) St f ( St , t ) K e r (T t )
买入组合A： 买入标的资产得
St
K e r ( T t )
卖出组合B： 卖出远期多头（即买入远期空头）&以无风险利率借入
6
作业3
远期价值（f )随基础资产的市场价格波动而变化。（在合约的有效期以内）
远期价值：
f ( St , t ) S t K e r (T t )
1. 设无风险收益率为3％（每年），沪深300指数的年收益率为10%，日收益率的 标准差为0.015，目前为2000点，每点300元，每手60万。建立交割期60天后的1手 多头，交割价为2012点。试估计40天后的该远期价值的期望值和标准差，并画出 其密度函数图。 2. 设山东黄金的年收益率为30％，日收益率的标准差为0.02，现价为50元/股。现在的 总资产为山东黄金1万股，总计现值50万。试估计40天后的总资产的期望值和标准差， 并计算VaR（40,99%）。 3. 设山东黄金和沪深300指数日收益率的相关系数为0.9。我们建立1手股指期货的空 头，对题2中的资产进行套期保值。试估计40天后，该资产组合的期望值和标准差， 并计算VaR（40,99%）。
8
远期价格
远期价格(F，forward price)是指使远期合约价值为零的交割价格。 交割日为T期，r为无风险利率，K为交割价格 远期价值：
S t 为t期标的物的价格。
f ( St , t ) S t K e r (T t ) St F e r (T t ) 0
买入标的资产&买入远期空头 P52 例3.1
K e r ( T t )
复制技术
复制技术：用一组证券来复制另一组证券，使得两者的现金流特征完全一样。
则其现价也必须一样，否则卖出价格高者，买入价格低者，即可实现套利 组合A：一个单位的标的物资产 组合B： 一份远期合约多头&现金 K e r (T t ) 现价相等 远期价值：
7
（无收益资产）远期价值的模拟
远期价值：
f ( St , t ) S t K e r (T t )
St
为t期基础资产的价格。
St S0 e
1 ( 2 )t zt 2
求：给出30天以后，此股票远期合约价值的表达式，计算其期望值 和标准差。 n=1000; r=0.03/250; u=0.15/250; sgm=0.03; s0=15; k=15.2; tt=60; t=30; z=s0*exp((u-0.5*sgm^2)*t+sgm*sqrt(t)*rndn(n,1) ); z1=z-k*exp(-r*(tt-t)); e=sumc(z1)/n; sg=sqrt(sumc((z1-e)^2)/n); print t e sg; Z1为t期期货合约价格的n个模拟观测值
远期价格：
0 S t e q ( T t ) F e r ( T t )
F St e( r q )(T t )
13
P56 案例3.6
第五节 远期（期货）价格的一般结论
远期价格：
F St er (T t )
1）在合约期内无收益的股票
远期价格（F）使得现在出售现货和未来出售现货所获得的确定性收入相等 无风险利率（r）反映了现在不出售而在未来出售标的物所承担的确定性成本
F S t e c ( T t )
第五节 远期（期货）价格的一般结论
远期价格：
F S t e c ( T t )
完全市场假设：
1．没有交易费用和税收。(市场无摩擦） 2．市场参与者能以相同的无风险利率（r）借入和贷出资金。
3．远期合约没有违约风险。
4．允许现货卖空。 5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机 会消失，我们得到的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。
T
F S0 e r T
f ( St , t ) St K e r (T t ) St S0 erT e r (T t ) St S0 e rt
在t时，F*为在T时刻交割的远期价格: 在t时，远期价值：
F * St e r (T t )
价 e c(T t )
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r
*
T
F St er (T t )
F St e
*
T
r * (T * t )
*
St e F F S t e r (T t )
*
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r * (T * t )
F F e
*
r * (T * t ) r (T t )
不同远期价格之间的换算
第三节 支付已知现金收益资产的远期合约的定价
金融工程4 ——远期和期货的定价
第三章 远期和期货的定价
交割价格: 合约双方约定在未来某一日期（交割日）按约定的价格K（交割价格） 买卖约定数量的相关资产。
远期价值（forward value)是指远期合约本身的价值。
远期价格(forward price)是指使远期合约价值为零的交割价格。
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无套利定价原理
套利（arbitrage) 是指利用一个或多个市场存在的价格差异，在不冒任何
损失风险且无需自有资金的情况下获取利润的行为。
无套利定价原理：金融产品的定价要使得套利机会不存在
美元1年期利率4% 澳元1年期利率5% 即期汇率：1美元=1.2澳元 ？远期汇率
若 远期汇率：1美元=1.2澳元（即104美元=124.8澳元）， 产生套利机会 100美元 -> 104美元 1. 借入100美元（1年后要还104美元） 2. 按即期汇率换成120澳元&进入远期外汇空头 120澳元 -> 126澳元 3. 1年后得到126澳元，按远期汇率交割得到105美元 4. 还本付息104美元，得无风险利润1美元 要使得无套利机会存在， 远期汇率：104美元=126澳元 无套利分析法是衍生资产定价的基本思想和重要方法，也是金融学区别于经 济学“供给需求分析”的一个重要特征。
如：股票（有分红） 组合B： 一份远期合约多头&现金 K e r (T t ) 组合A： 一个单位的标的物资产
f ( St , t ) K e r ( T t )
St
St I
实际价格
I 为现金收益的现值（P54 案例3.4） 现价相等
f ( St , t ) K e r ( T t ) S t I f ( St , t ) S t I K e r ( T t )
K ( St , t ) St er (T t ) 以无风险利率r借入 S t 买入标的资产；进入远期空头。 K ( St , t ) St er (T t ) 卖空标的资产，无风险投资；进入远期多头。
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（无收益资产）远期价值的确定
远期价值（f )随基础资产的市场价格波动而变化。（在合约的有效期以内）
( F * F ) e r ( T t )
( St er (T t ) S0 er T ) e r (T t ) St S0 er t f (St , t )
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远期价格期限结构
描述的是同一基础资产不同期限的远期价格之间的关系。
r
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设F为在T时刻交割的远期价格: F*为在T*时刻交割的远期价格:
远期价格：
F St er (T t )
远期价格即为理论上的交割价格。 为了使得远期合约价值在签订时为0，应使得交割价格等于其远期价格
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远期价格和远期价值
在t时，远期价值：
f ( St , t ) S t K e r (T t )
r
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在0时，F为在T时刻交割的远期价格:
卖空标的资产得
r (T t )
f ( St , t ) K e r (T t ) S t
买入远期多头&无风险投资
St
K e r ( T t )
2) f ( St , t ) St K e r (T t )
以无风险利率r借入
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K e r ( T t ) St f ( St , t )
F St e( r q )(T t )
F ( St I ) e r (T t )
2）固定收益率，如：外汇 3）有固定收益，如：股票（有分红），黄金
I和q反映了现在不出售而在未来出售标的物所能获得的确定性收益 持有成本： 1）r 2）r -q 3）黄金存储成本u：r+u
持有成本c =无风险利率成本 + 保存成本 - 标的物提供的收益 远期价格：
远期价格：
0 St I F e r ( T t )
F ( St I ) e r (T t )
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第四节 支付已知收益率资产的远期合约的定价
如：外汇远期 组合B： 一份远期合约多头&现金 K e r (T t ) 组合A： 一个单位的标的物资产
f ( St , t ) K e r ( T t )
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第六节 远期价格和现货价格的关系
远期价格： F
S t e c ( T t )
持有成本c = r – q： q 为该资产的收益率（连续复利）
when t T , F ST
若 持有成本c = r – q > 0
时间趋向交割日时，远期价格趋向现货价格
F St
现货价格对远期价格有制约作用
St
q 为该资产的收益率（按连续复利计算） 现价相等
St e q(T t )
实际价格
f ( St , t ) K e r (T t ) St e q(T t ) f ( St , t ) St e q(T t ) K e r (T t )
交割日为T期，r为无风险利率，K为交割价格 （多头）远期价值：
S t 为t期基础资产的价格。
f ( St , t ) S t K e r (T t )
● 基础资产的现货价格（St )与交割价格(K )现值的差额。 ● 空头远期价值与多头符号相反
1) f ( St , t ) St K e
St
f ( St , t ) K e r ( T t )
现价
f ( St , t ) S t K e r (T t )
1) St f ( St , t ) K e r (T t )
卖出组合A： 卖空标的资产得
St
K e r ( T t )
3
远期合约中交割价格的合理确定
合理的交割价格，要使得套利机会不存在。 现在t期，确定交割日为T期的交割价格，r为无风险利率 现货－远期平价公式（Spot－Futures Parity ):
S t 为t期标的物的价格。
K K ( S t , t ) S t e r (T t )
交割价格（K）等于其标的资产现货价格（St )的终值。 无套利定价原理： 使得利用该资产进行套利的机会不存在。
买入组合B：买入远期多头&无风险投资
2) St f ( St , t ) K e r (T t )
买入组合A： 买入标的资产得
St
K e r ( T t )
卖出组合B： 卖出远期多头（即买入远期空头）&以无风险利率借入
6
作业3
远期价值（f )随基础资产的市场价格波动而变化。（在合约的有效期以内）
远期价值：
f ( St , t ) S t K e r (T t )
1. 设无风险收益率为3％（每年），沪深300指数的年收益率为10%，日收益率的 标准差为0.015，目前为2000点，每点300元，每手60万。建立交割期60天后的1手 多头，交割价为2012点。试估计40天后的该远期价值的期望值和标准差，并画出 其密度函数图。 2. 设山东黄金的年收益率为30％，日收益率的标准差为0.02，现价为50元/股。现在的 总资产为山东黄金1万股，总计现值50万。试估计40天后的总资产的期望值和标准差， 并计算VaR（40,99%）。 3. 设山东黄金和沪深300指数日收益率的相关系数为0.9。我们建立1手股指期货的空 头，对题2中的资产进行套期保值。试估计40天后，该资产组合的期望值和标准差， 并计算VaR（40,99%）。
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远期价格
远期价格(F，forward price)是指使远期合约价值为零的交割价格。 交割日为T期，r为无风险利率，K为交割价格 远期价值：
S t 为t期标的物的价格。
f ( St , t ) S t K e r (T t ) St F e r (T t ) 0
买入标的资产&买入远期空头 P52 例3.1
K e r ( T t )
复制技术
复制技术：用一组证券来复制另一组证券，使得两者的现金流特征完全一样。
则其现价也必须一样，否则卖出价格高者，买入价格低者，即可实现套利 组合A：一个单位的标的物资产 组合B： 一份远期合约多头&现金 K e r (T t ) 现价相等 远期价值：
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（无收益资产）远期价值的模拟
远期价值：
f ( St , t ) S t K e r (T t )
St
为t期基础资产的价格。
St S0 e
1 ( 2 )t zt 2
求：给出30天以后，此股票远期合约价值的表达式，计算其期望值 和标准差。 n=1000; r=0.03/250; u=0.15/250; sgm=0.03; s0=15; k=15.2; tt=60; t=30; z=s0*exp((u-0.5*sgm^2)*t+sgm*sqrt(t)*rndn(n,1) ); z1=z-k*exp(-r*(tt-t)); e=sumc(z1)/n; sg=sqrt(sumc((z1-e)^2)/n); print t e sg; Z1为t期期货合约价格的n个模拟观测值
远期价格：
0 S t e q ( T t ) F e r ( T t )
F St e( r q )(T t )
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P56 案例3.6
第五节 远期（期货）价格的一般结论
远期价格：
F St er (T t )
1）在合约期内无收益的股票
远期价格（F）使得现在出售现货和未来出售现货所获得的确定性收入相等 无风险利率（r）反映了现在不出售而在未来出售标的物所承担的确定性成本