专题19 常见数列通项公式的求解(解析版)

专题19常见数列通项公式的求解

一,题型选讲 题型一,公式法

若已知一个数列是等差数列或者等比数列则直接运用通项公式求,即可.

例1,已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,其前n 项和为n S ,且2344026a a S ⋅==，． 则数列{}n a 的通项公式； 【答案】31n a n =-．

【解析】因为数列{}n a 是正项等差数列,设首项为1a ,公差为(0)d d >,

所以111()(2)40,4(41)426,20.

a d a d d a d ++=⎧⎪-⎪

+=⎨⎪

>⎪⎩解得123a d =⎧⎨=⎩,所以31n a n =-．

题型二,

之间的关系与s a n

n

用a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2,将递推关系转化为仅含有a n 的关系式(如果转化为a n 不能解决问题,则考虑转化为仅含有S n 的关系式,特别注意当n≥2时,S n －S n －1＝a n ,.

例2,(2018苏锡常镇调研)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,a 1＝3,且2S n ＝a n ＋1－3(n ∈N *)． (1) 求数列{a n }的通项公式；

规X 解答 (1) 2S n ＝a n ＋1－3,2S n －1＝a n －3(n≥2),两式相减,得2a n ＝a n ＋1－a n .即当n≥2时,a n ＋1＝3a n .(2分) 由a 1＝S 1＝3,得6＝a 2－3,即a 2＝9,满足a 2＝3a 1. 所以对n ∈N *,都有a n ＋1＝3a n ,即a n ＋1

a n

＝3.

所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列,通项公式a n ＝3n .(4分)

题型二,累加法

若已知连续两项差的形式,形如a n －a n －1＝f (n )(n ∈N*且n ≥2).则运用累加法进行求数列的通项.即：n ≥2时,a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1．

例3,(2019某某学情调研)在数列{a n }中,已知a 1＝1,a n ＋1＝a n ＋1

n （n ＋1）(n ∈N *),则a 10的值为________．

【答案】19

10

【解析】由a n ＋1＝a n ＋

1n （n ＋1）

得a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1,故a 2－a 1＝1－12,a 3－a 2＝12－13,a 4－a 3＝13－1

4,…,a 10

－a 9＝19－110,所以a 10＝19

10

.

例4,已知数列{}n a 满足11a =,21a =-,当3n ≥,n N *∈时,

13

12(1)(2)

n n a a n n n n --=----． (1)求数列{}n a 的通项公式； 【解析】∵当3n ≥,n N *∈时,

1311

3()12(1)(2)21

n n a a n n n n n n --==-------, ∴

3213(1)212a a -=-,34113()3223a a -=-,…,111

3()1221

n n a a n n n n --=-----． 把上面1n -个等式左右两边分别相加,得121

3(1)11

n a a n n --=---,

整理,得25n a n =-．当2n =时,满足．

∴ 2.1,1,

25,n n a n n =⎧=⎨-⎩

≥

题型三,叠乘法

若已知连续两项的商的形式,形如＝f (n )(n ∈N*且n ≥2),则运用叠乘法进行求数列的通项.即：n ≥2时,a n ＝··…··a 1．

例5,(2018某某期末)已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＝2n a n －1(n ∈N *且n ≥2),则a n ＝． 【答案】a n ＝2

(n －1)(n ＋2)

2

．

解析

由题意,a n

a n －1＝2n ,

a n －1a n －2＝2n －

1, …, a 2

a 1

＝22, 叠乘得a n a 1

＝2n ·2n －1·…·22＝2(n －1)(n ＋2)

2, 所以a n ＝2(n －1)(n ＋2)

2

(n ≥2),a 1＝1也符合． 所以a n ＝2

(n －1)(n ＋2)

2

．

题型四,构造法

若一个数列既不是等差数列页不是等比数列,则考虑次数列加减一个实数或者变量,或者进行其它变形的处理得当一个特殊数列.形如a n ＝pa n －1＋q (n ∈N*且n ≥2,p ≠1)化为a n ＋q p －1＝p (a n －1＋q

p －1)形式．令b n ＝a n

＋

q

p －1

,即得b n ＝pb n －1,转化成{b n }为等比数列,从而求数列{a n }的通项公式． 例6,设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,

21212

33

n n S a n n n +=---,*n N ∈.求数列{}n a 的通项公式. 【解析】

21212

33

n n S a n n n +=---,*n N ∈. ∴321112(1)(2)

2333

n n n n n n S na n n n na ++++=---=-

.

①

∴当2n ≥时,

1(1)(1)

2(1)3

n n n n n S n a =-+=--

. ②由①—②,得1122(1)(1)n n n n S S na n a n n -+-=---+ .

1222n n n a S S -=-

,12(1)(1)n n n a na n a n n +∴=---+ .111n n a a n n +∴-=+

,∴数列n a n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是以首项为111a = ,公差为1的等差数列. ()()21112n

n a n n a n n n

，∴

=+⨯-=∴=≥ .当1n =时,上式显然成立. 2*,n a n n N ∴=∈.

例7,已知数列{a n }中,a 1＝1,且a n ＋1＋3a n ＋4＝0,n ∈N *.