不等式恒成立、能成立问题
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第一章 预备知识
不等式恒成立、能成立问题是一种常见题型，会以各种形式出现， 其解法多变，具有一定的技巧性，解答这类题的关键是等价转化(如判 别式法、分离参数法、数形结合法、主参换位法等)，通过转化使恒成 立、能成立问题得到简化，而转化过程往往渗透着多种数学思想和方 法的应用，能提升学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
∴x2－x＋1<63⇔x2－x－1<0⇔1－2
5 1＋ <x< 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5，
∴x 的取值范围为x1－2
5 1＋ <x< 2
5
.
方法二 mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0，
设y＝(x2－x＋1)m－6，该函数为以m为自变量的一次函数，
∵1≤m≤3，∴该函数的图象为一条线段，
要使y＝(x2－x＋1)m－6<0对满足1≤m≤3的所有m均成立，
(2)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值 范围.
解 ①若a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，不等式变为－1<0，解集为R；
若 a＝－1，不等式变为 2x－1<0，解集为xx<12
，
∴a＝1时满足条件.
②若a2－1≠0，即a≠±1时，
原不等式解集为 R 的条件是aΔ2＝－1a<－0，12＋4a2－1<0， 解得－35<a<1. 综上所述，当－35<a≤1 时，原不等式的解集为 R.
x2－x＋1·1－6<0， 只需x2－x＋1·3－6<0，
解得1－2
5 1＋ <x< 2
5，
∴x 的取值范围为x1－2
5 1＋ <x< 2
5
.
反思 感悟
已知参数的取值范围，求变量的取值范围时，常常把变元和参 数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范 围求解.
本课结束
反思 感悟
当不等式ax2＋bx＋c>0(<0)未说明为一元二次不等式时，要先 考虑二次项系数为0时的情况.
二、分离参数法
4x＋m 例 2 若存在 x∈R，使得x2－2x＋3≥2 成立，求实数 m 的取值范围.
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}.
一、判别式法
例1 (1)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的 取值范围；
解 原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0， ∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0， 即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0， 解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}.
(2)当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围.
解 令y＝x2＋mx＋4. ∵y<0在[1,2]上恒成立. ∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，得14＋ ＋m2m＋＋4<4<00，， ∴m2m＋＋5<8<00，. ∴m的取值范围是{m|m<－5}.
反思 感悟
反思 感悟
通过分离参数可以将不等式恒成立、能成立问题转化为求一元 二次函数最值问题或利用基本不等式求最值问题.
三、数形结合法
例3 (1)当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值 范围为_{_m_|_m_>_－__5_}_.
解析 记y＝x2＋mx＋4， 则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)一定有解， 即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.
一元二次不等式恒成立、能成立问题，有时可以利用二次函数 的图象，结合相应的一元二次方程根的分布解决.
四、主参换位法
例4 若不等式mx2－mx－6＋m<0对满足1≤m≤3的所有m均成立， 求实数x的取值范围.
解 方法一 mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0，
∵1≤m≤3，∴x2－x＋1<m6 (1≤m≤3)恒成立，
不等式恒成立、能成立问题是一种常见题型，会以各种形式出现， 其解法多变，具有一定的技巧性，解答这类题的关键是等价转化(如判 别式法、分离参数法、数形结合法、主参换位法等)，通过转化使恒成 立、能成立问题得到简化，而转化过程往往渗透着多种数学思想和方 法的应用，能提升学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
∴x2－x＋1<63⇔x2－x－1<0⇔1－2
5 1＋ <x< 2
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5，
∴x 的取值范围为x1－2
5 1＋ <x< 2
5
.
方法二 mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0，
设y＝(x2－x＋1)m－6，该函数为以m为自变量的一次函数，
∵1≤m≤3，∴该函数的图象为一条线段，
要使y＝(x2－x＋1)m－6<0对满足1≤m≤3的所有m均成立，
(2)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值 范围.
解 ①若a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，不等式变为－1<0，解集为R；
若 a＝－1，不等式变为 2x－1<0，解集为xx<12
，
∴a＝1时满足条件.
②若a2－1≠0，即a≠±1时，
原不等式解集为 R 的条件是aΔ2＝－1a<－0，12＋4a2－1<0， 解得－35<a<1. 综上所述，当－35<a≤1 时，原不等式的解集为 R.
x2－x＋1·1－6<0， 只需x2－x＋1·3－6<0，
解得1－2
5 1＋ <x< 2
5，
∴x 的取值范围为x1－2
5 1＋ <x< 2
5
.
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已知参数的取值范围，求变量的取值范围时，常常把变元和参 数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范 围求解.
本课结束
反思 感悟
当不等式ax2＋bx＋c>0(<0)未说明为一元二次不等式时，要先 考虑二次项系数为0时的情况.
二、分离参数法
4x＋m 例 2 若存在 x∈R，使得x2－2x＋3≥2 成立，求实数 m 的取值范围.
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}.
一、判别式法
例1 (1)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的 取值范围；
解 原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0， ∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0， 即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0， 解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}.
(2)当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围.
解 令y＝x2＋mx＋4. ∵y<0在[1,2]上恒成立. ∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，得14＋ ＋m2m＋＋4<4<00，， ∴m2m＋＋5<8<00，. ∴m的取值范围是{m|m<－5}.
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通过分离参数可以将不等式恒成立、能成立问题转化为求一元 二次函数最值问题或利用基本不等式求最值问题.
三、数形结合法
例3 (1)当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值 范围为_{_m_|_m_>_－__5_}_.
解析 记y＝x2＋mx＋4， 则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)一定有解， 即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.
一元二次不等式恒成立、能成立问题，有时可以利用二次函数 的图象，结合相应的一元二次方程根的分布解决.
四、主参换位法
例4 若不等式mx2－mx－6＋m<0对满足1≤m≤3的所有m均成立， 求实数x的取值范围.
解 方法一 mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0，
∵1≤m≤3，∴x2－x＋1<m6 (1≤m≤3)恒成立，