超实用高考数学复习教学课件：专题3 立体几何第2讲空间点线面的位置关系

• (2)对于A，由m∥α，n∥β，α∥β，可得m∥n或m与n相交或m与 n异面，故A错误； • 对于B，由α⊥β，m⊥β，可得m∥α或m⊂α，故B错误； • 对于C，由m⊥n，m⊥α，α∥β，可得n∥β或n⊂β，故C错误； • 对于D，由α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，得m⊥β，故D正确． • 故选D．
直线n垂直直线m在β内的射影，那么下列位置关系一定正确的为
()
D
• A．m∥α B．n⊥α
C．n⊂α
D．n⊥m
• (2)(2020·红河州三模)设m，n是空间中不同两条直线，α，β是空
间中两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的是
()
• A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
D
• B．若α⊥β，m⊥β，则m∥α
• 2．直线、平面垂直的判定及其性质 • (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m， l⊥n⇒l⊥α. • (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. • (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. • (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
• C．若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β
• D．若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β
(3)(2020·汕头二模)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝
2，AA1＝ 3 ，点G为正方形ABCD的中心，点E为A1D1的中点，点F为AE
的中点，则
(B )
A．C、E、F、G四点共面，且CF＝EG
• 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过 该点的直线是异面直线．
• 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面， 从而可得两线异面．
• 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
• 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
•
典例1 (1)(2020·黄山二模)平面α∥平面β，直线m∥β，
Ⅲ卷
题号
考查角度
18(1)
线面平行的证明
7、17(1) 面面平行的判定，线面垂直的证明
空间两直线的位置关系的判定；面面 8、19(1)
垂直的证明
分值 5 10
10
年份 卷别 Ⅰ卷
2018 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
直线与平面所成的角、正方体的截 12、18(1)
面；面面垂直的证明
异面直线所成的角；线面垂直的证 5、20(1)
• 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
• 注：公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直 线在平面内判断直线上的点在平面内；公理2的作用：公理2及其推 论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用： ①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线；公 理4的作用：证明两直线平行．
即点B到平面AC1D的距离为4
7
7 .
• 平面图形翻折问题的求解方法 • (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变和不变， 一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，
抓住不变量是解决问题的突破口． • (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠 后的图形，也要分析折叠前的图形．
• (3)连接AC，CE， • ∵G是正方形ABCD的中心，∴G∈直线AC， • 又AC⊂平面ACE，∴G∈平面ACE， • 又F∈直线AE，∴F∈平面ACE， • 又C∈平面ACE，E∈平面ACE， • ∴C、E、F、G四点共面．
取AD的中点M，连接EM，GM，则EM＝ 3，GM＝1， ∴EG＝ EM2＋GM2＝2， 取AM的中点N，连接FN，CN，则FN＝ 23，CN＝ 322＋22＝52， ∴CF＝ FN2＋CN2＝ 7. ∴EG≠CF. 故选B．
专题三 立体几何与空间向量(理科) 专题三 立体几何(文科)
第2讲 空间点、线、面的位置关系(文理)
• 1．以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要 以选择、填空题的形式，题目难度较小．
• 2．以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体 的表面积、体积相渗透．
• (理科)
年份 2020
典例3 (2020·怀化模拟)图1是直角梯形ABCD，AB∥CD， ∠D＝90°，AB＝2，DC＝3，AD＝ 3 ，CE＝2ED，以BE为折痕将△ BCE折起，使C到达C1的位置，且AC1＝ 6，如图2．
(1)证明：平面BC1E⊥平面ABED； (2)求点B到平面AC1D的距离．
【解析】 (1)证明：在直角梯形ABCD中， 由AB＝2，DE＝1，AD＝ 3，解得EB＝EC＝BC＝2． 连接AC交EB与M点，则△ECM≌BAM， ∴M为BE的中点，则CM⊥BE. ∴C1M＝MA＝ 3，又∵C1A＝ 6，∴C1M⊥MA， 又∵C1M⊥BE，BE∩AM＝M，∴C1M⊥平面ABED， 又C1M⊂平面C1EB，∴平面ABED⊥平面C1EB
明
圆锥，空间线面角的求解；面面垂 16、19(1)
直的证明
分值 10 10 10
• (文科)
年份 2020
卷别 Ⅰ卷
Ⅱ卷
Ⅲ卷
题号
考查角度
分值
19(1)
求证面面垂直
已知球的表面积求点到面的距离；利
11、16、 用命题真假的判断来考查平面的性质， 15
20(1) 两直线的位置关系；两直线平行、两
平面垂直的证明
19
证明线线垂直；点在平面内
12
年份 卷别 Ⅰ卷 Ⅱ卷
2019 Ⅲ卷
题号 19 7、17
8、19
考查角度 线面平行及点到平面的距离的计算 面面平行的判定及充要条件；线面垂 直的证明及体积的计算 两直线位置关系的判断；翻折问题、 面面垂直的证明及四边形面积的计算
分值 12 17
17
年份 卷别 Ⅰ卷
2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类共面直线平 相行 交
异面直线：不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥ a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角 (或夹角)． ②范围：(0，π2]．
• (3)异面直线的判定方法：
• 判断空间线、面位置关系的常用方法 • (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断解
决问题． • (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型
中观察线、面位置关系，并结合有关定理进行判断． • (3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出
与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．
• 1．(2019·湛江二模)已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两 条不同的直线，给出下列命题：
• ①若m∥α，n⊂α，则m∥n；
• ②若α∩β＝m，m∥n，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β；
• ③若n⊥α，m⊂β，α∥β，则m⊥n；
• ④α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥n.
• 其中真命题的个数是
2018 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
直线与平面所成的角、长方体的体积
10、18 计算；线面翻折及面面垂直的证明、
三棱锥体积的计算
异面直线所成的角；线面垂直的证明 9、19
及点到平面的距离的计算
面面垂直的证明及线面平行的存在性 19
问题
分值 17 17 12
考点一 空间线面位置关系的判断
• 1．平面的基本性质 • 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在 此平面内． • 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． • 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 有一条过该点的公共直线．
B．C、E、F、G四点共面，且CF≠EG
C．C、E、F、G四点不共面，且CF＝EG
D．C、E、F、G四点不共面，且CF≠EG
• 【解析】 (1)∵平面α∥平面β，直线m∥β， • ∴直线m可能在平面α内，排除A； • 设m在β内的射影为l，且m、l所在平面为γ，则γ⊥β. • ∵直线m∥β，m⊂γ，β∩γ＝l， • ∴m∥l，∵n⊥l， • ∴n⊥m，排除B、C．故选D．
()
• A．1
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
C．3
D．4 C
• 【解析】 对①若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故错误； • 对②，由线面平行的判定定理知：若α∩β＝m，m∥n，且n⊄α， n⊄β，则n∥α，n∥β，正确； • 对③，若n⊥α，α∥β，则n⊥β，m⊂β，则m⊥n，正确； • 对④，设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在面γ内任取点O，作OA⊥a， OB⊥b，由α⊥γ，β⊥γ，得OA⊥α，OB⊥β，故OA⊥m，OB⊥m，则 m⊥γ，又n⊂γ，则m⊥n，正确．综上真命题的个数是3．故选C．
考点三 平面图形中的翻折问题
• 平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化， 有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问 题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化， 不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些 变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量 的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．
• 【证明】 (1)设A1B与AB1交于点O，连接OD，如图所示：
• 在平行四边形ABB1A1中，O为AB1中点，D为AC中点，
• •
所 所以 以OODD为 ∥△B1ACB，1C的中位线，
• 又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，
• 所以B1C∥平面A1BD.
• (2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD为△ABC的底边上的中线， BD⊥AC； •以ACB∩D在C⊥1C直C＝1三CC，，棱又所柱B以ADB⊥BCD－A⊥CA，平1BA1面CC⊂1A中平CC，面1ACA11；CCC⊥1A平1，面CA1BCC⊂，平B面D⊂AC平C1面A1A，BC，所 ••以AC又 又1⊥AA面C1D1A⊂⊥1平BADC面；1，ACBCD1A⊂1平，面所A以1BBDD，⊥AA1CD1⊂；平面A1BD，A1D∩BD＝D，所 • 又AC1⊂平面AB1C1，所以平面A1BD⊥平面AB1C1．
•
典例2 (2020·江苏模拟)如图，在三
棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝
PC，E，F分别是PA，PC的中点．求证：
• (1)AC∥平面BEF；
• (2)PA⊥平面BCE.
• 【证明】 (1)∵E，F分别是PA，PC的中点， • ∴EF∥AC， • ∵EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF， • ∴AC∥平面BEF. • (2)∵PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PC⊥BC， • ∵AC⊥BC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面PAC， • ∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC， • ∵AC＝PC，E是PA中点，∴CE⊥PA， • ∵CE∩BC＝C，∴PA⊥平面BCE.
卷别 Ⅰ卷
Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
分值
5、18(1)
面面平行、面面垂直的性质；线面垂 直的证明
10
已知球的表面积求点到面的距离；利
10、16、 用命题真假的判断来考查平面的性质， 20(2) 两直线的位置关系；两直线平行、两 15
平面垂直的证明
19(1)
证明点在平面内
6
年份 2019
卷别 Ⅰ卷 Ⅱ卷
(2)解：设B到平面AC1D的距离为d，则d＝V31SB△－AACC11DD，
又VB－AC1D＝VC1－ABD＝13S△ABD×C1M＝13×12×2× 3× 3＝1． ∵DM＝AM＝ 3，C1M＝ 3，∴C1D＝ 6，
∴S△AC1D＝12× 3× 62－ 232＝347. ∴d＝V13SB△－AACC11DD＝13×1347＝ 47＝477，
• 平行关系及垂直关系的转化 • 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、 性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
•点，A2．B＝(2B0C2，0·镇A1江D⊥三A模C1)．如求图证，：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC中 • (1)B1C∥平面A1BD； • (2)平面A1BD⊥平面AB1C1．
考点二 空间平行、垂直关系的证明
• 1．直线、平面平行的判定及其性质 • (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. • (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. • (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α， b∥α⇒α∥β. • (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.