第十一章 11.1 11.1.6 第二课时 台体与球的体积2019(秋)数学 必修 第四册 人教B版(新教材)改题型

第二课时台体与球的体积
课标要求
素养要求
1.掌握台体和球的体积公式.
2.会计算台体、球的体积，利用体积公式解决有关组合体问题. 运用台体、球的体积公式进行计算，培养学生的直观想象素养和逻辑推理素养，提升学生的数学运算素养.
教材知识探究街道旁，随时能见到用大理石磨成的光滑的大球.
问题球的体积如何计算？
提示V球＝4
3πR
3.
1.台体的体积
若圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，则V圆台＝1
3πh(R
2＋Rr＋r2).
棱台与圆台统称为台体.台体的体积的计算公式是V
台体＝
1
3h(S＋SS′＋S′)，其中，
S，S′分别是台体上、下底面的面积，h为台体的高.
2.球的体积
球的半径为R，则V
球＝
4
3πR
3.
3.组合体
由几个柱、锥、台、球等组合而成的几何体称为组合体.求组合体的体积(表面积)
时，只需要算出其中每个几何体的体积(表面积)，然后再处理即可.
教材拓展补遗
[微判断]
1.台体的体积公式中令S＝S′，则得到柱体的体积公式V＝S·h.(√)
2.球的体积与球的半径成正比，球的体积越大，半径越大.(×)
提示球的体积与球的半径的立方成正比，半径越大，体积越大.
3.在台体的体积公式中令S′＝0，即可得锥体的体积公式V＝1
3S·h.(√)
[微训练]
1.若棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为________.
解析V台＝1
3h(S＋SS′＋S′)＝
1
3×3(4＋4×16＋16)＝28.
答案28
2.一个球的表面积是16π，则它的体积是________.
解析设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的体积V＝4
3πR
3
＝32
3π.
答案32 3π
[微思考]
1.组合体的体积，就是各个几何体的体积之和吗？
提示不一定.要看这几个几何体如何组合，也可能为体积的差.
2.柱体、锥体、台体的体积之间有何联系？
提示V＝Sh V＝1
3(S′＋S′S＋S)h V＝
1
3Sh.
柱体台体锥体
所以柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例.
题型一台体的体积
【例1】已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.
解如图所示，作轴截面A1ABB1，
设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r，R，l，高为h.
作A1D⊥AB于点D，
则A1D＝3.
又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝A1D
，
tan 60°
，∴R－r＝ 3.
即R－r＝3
3
又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°.
∴BD＝A1D·tan 60°，即R＋r＝3×3，
∴R＋r＝33，∴R＝23，r＝3，而h＝3，
∴V圆台＝1
2＋Rr＋r2)
3πh(R
＝1
2＋23×3＋(3)2]
3π×3×[(23)
＝21π.
所以圆台的体积为21π.
规律方法求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.
【训练1】已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积.
解如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，
AB＝20 cm.
取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，
则E1E是侧面ABB1A1的高.
设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1E1，O1O，OE，
则四边形EOO 1E 1是直角梯形.
由S 侧＝4×1
2(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13. 在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝1
2A 1B 1＝5， OE ＝1
2AB ＝10， ∴O 1O ＝
E 1E 2－（OE －O 1E 1）2＝12，
V 正四棱台＝1
3×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm 3). 故正四棱台的体积为2 800 cm 3. 题型二 球的体积
【例2】 过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心O 的距离等于球的半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，求球的体积和表面积.
解 如图，设过A ，B ，C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′，AO ，AO ′.
∵AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ， ∴O ′为正三角形ABC 的中心， ∴AO ′＝3
3AB ＝3(cm). 设OA ＝R ，则OO ′＝1
2R .
∵OO ′⊥截面ABC ，∴OO ′⊥AO ′， ∴AO ′＝3
2R ＝3(cm)，∴R ＝2 cm ，
∴V 球＝43πR 3＝32
3π(cm 3)，S 球＝4πR 2＝16π(cm 2)， 即球的体积为32
3π cm 3，表面积为16π cm 2.
规律方法 球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和
球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.
【训练2】 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________.
解析 设正方体棱长为a ，则6a 2＝18，∴a 2＝3，a ＝ 3.外接球直径为2R ＝3a ＝3，∴R ＝32，∴V ＝43πR 3＝43π×278＝9
2π. 答案 9π2
题型三 组合体体积(表面积)
【例3】 如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积.(其中∠BAC ＝30°) 解 如图所示，
过C 作CO 1⊥AB 于O 1.
在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R ， 故旋转所得几何体的体积为 V 几何体＝V 球－V 圆锥AO 1－V 圆锥BO 1 ＝43πR 3－13×π·⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2
·AO 1－
13×π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32R 2
·BO 1
＝43πR 3－13×π·⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2
·2R ＝56πR 3，
即体积为5
6πR 3.
规律方法 先判断由哪些几何体组合得到的组合体，分别求出各几何体的体积(表面积)，再结合图形进行计算.
【训练3】 如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积、体积分别为多少？ 解 几何体的表面积为
S ＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π. V ＝V 正方体－V 圆柱＝23－π×0.52×2＝8－0.5π.
一、素养落地
1.通过台体、球及有关组合体的体积的计算，培养直观想象素养和逻辑推理素养，提升数学运算素养.
2.
台体
棱台
V ＝1
3h (S ＋SS ′＋S ′) 圆台 V ＝1
3πh (r 2＋rR ＋R 2)
球
V ＝43πR 3
其中S ′，S 的半径，R 表示球的半径. 二、素养训练
1.若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的( ) A.2倍 B.4倍 C.8倍
D.16倍
解析 设气球原来的半径为r ，体积为V ，则V ＝4
3πr 3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍. 答案 C
2.设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为( ) A.2πa 3 B.6πa 3 C.66πa 3
D.186πa 3
解析 由于长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ， 则长方体的体对角线长为
（2a ）2＋a 2＋a 2＝6a ，
又长方体的外接球的直径2R 等于长方体的体对角线长， 所以2R ＝6a ，
则V 球＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫
62a 3
＝6πa 3.
答案 B
3.如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________.
解析 设圆台的上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r .由母线长为10可知10＝
（3r ）2＋（4r ）2＝5r ，∴r ＝2.故圆台的上、下底半径和高分
别为2，8，8.∴V ＝1
3×8·(4π＋64π＋16π)＝224π. 答案 224π
4.圆台的高是4，母线长是5，侧面积是45π，则它的体积是________. 解析 作圆台的轴截面.
设上底面半径为r ，则下底面半径为r ＋3， 则侧面积45π＝π(r ＋r ＋3)×5，
∴r ＝3，∴V 圆台＝1
3×4(9π＋36π＋18π)＝84π.
答案84π
基础达标
一、选择题
1.正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()
A.4
3π B.
8
3π C.43π D.323π
解析设正方体的棱长为a，则6a2＝24，∴a＝2，其外接球的直径为23，半径
为3，∴其体积为4
3π(3)
3＝43π.
答案 C
2.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为9π
2，则正方体的棱长为
()
A.
6
2 B.
3
2 C.
3 D.1
解析设正方体棱长为a，球半径为R，则4
3πR
3＝92π，∴R＝32，∴3a＝3，∴a
＝ 3.
答案 C
3.若一个球的直径为d，体积为V球，一个正方体的棱长为a，体积为V正，且它们的表面积相同，则有()
A.d＞a，V球＞V正
B.d＞a，V球＜V正
C.d＜a，V球＞V正
D.d＜a，V球＜V正
解析球直径为d，则表面积S＝πd2.正方体棱长为a，则表面积为6a2.由πd2＝6a2，
∴d2＞a2，即d＞a，又V球＝4
3π·⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
d3
8
＝πd3
6
＝a2·d，V正＝a3，∴V球＞V正.
答案 A
4.如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面的边A1B1作平行于棱AB的平面A1B1EF，这个平面分三棱台
成两部分的体积之比为()
A.1∶2
B.2∶3
C.3∶4
D.4∶5
解析设棱台上底面面积为S，由上、下底面边的比为1∶2，可知下底面面积为
4S.设棱台的高为h，则V台＝1
3h(S
＋S·4S＋4S)＝
7
3Sh.∵棱柱A1B1C1－FEC的体积为V柱＝S·h，∴
V柱
V台－V柱
＝Sh
7
3Sh－Sh
＝3
4.
答案 C
5.球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为()
A.6∶13
B.5∶14
C.3∶4
D.7∶15
解析如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1＋r2.
∵∠AOB＝90°，OE⊥AB(E为切点)，
∴R2＝OE2＝AE·BE＝r1·r2.
由已知S球∶S圆台侧＝4πR2∶π(r1＋r2)2＝3∶4，
∴(r1＋r2)2＝
16
3R
2.
∴V球∶V圆台＝
4
3πR
3
1
3π（r
2
1
＋r1r2＋r22）·2R
＝2R 2（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝2R 2
163R 2－R 2＝613
. 答案 A
二、填空题
6.将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________cm.
解析 设球的半径为r ，则π×32×4＝43πr 3，可得r ＝3(cm).
答案 3
7.圆台上、下底面面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积是________. 解析 设圆台的上、下底半径分别为r ，R ，母线长为l ，高为h ，则πr 2＝π，πR 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2.
∴π(1＋2)·l ＝6π，∴l ＝2.
∵h ＝l 2－（R －r ）2＝22－（2－1）2＝3，
∴V 台＝13πh (r 2＋r ·R ＋R 2)
＝13π×3×(1＋2＋22)＝733π.
答案 73
3π
8.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14 cm 3，则棱台的高度为________cm.
解析 由题意设正四棱台的斜高与上、下底面边长分别为5x ，2x ，8x ，则高h ＝
（5x ）2－（4x －x ）2
＝4x .由棱台的体积公式，得13·4x ·(4x 2＋16x 2＋64x 2)＝14，解得x ＝12，故h ＝2(cm).
答案 2
三、解答题
9.正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，侧棱长为2 cm ，求该
棱台的体积.
解 如图，正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 1，O 分别为上、
下底面的中心，上、下底面边长分别为2 cm 和4 cm ，
则O 1B 1＝2cm ，OB ＝2 2 cm. 过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，那么B 1M 为正四棱台的高.
在Rt △BMB 1中，BB 1＝2 cm ，MB ＝(22－2)＝2(cm)，
根据勾股定理得MB 1＝BB 21－MB 2
＝22－（2）2＝2(cm).
S 上＝22＝4(cm 2)，S 下＝42＝16(cm 2)，
∴V 正四棱台＝1
3×2×(4＋4×16＋16)
＝13×2×28＝28
32(cm 3).
10.如图所示，几何体上半部分是母线长为5，底面半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2，母线长为2的圆台，计算该几何体的表面积和体积.
解 该几何体是一个组合体，上半部分为圆锥，底面半径为r ＝3，母线长为l ＝5，
可以求出高为h 1＝52－32＝4.
下半部分是圆台，上底面半径为r ＝3，
下底面半径为r ′＝2，母线长为l ′＝2，
可以求出高为h 2＝22－12＝ 3.
圆锥侧面积为S 1＝πrl ＝15π，圆台的侧面积为S 2＝π(r ＋r ′)l ′＝10π，
圆台的下底面面积为S 下底＝πr ′2＝4π，
所以该几何体的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 下底＝15π＋10π＋4π＝29π.
圆锥的体积为V 1＝13πr 2h 1＝12π，
圆台的体积为V 2＝13πh 2(r 2＋rr ′＋r ′2)＝1933π，
所以该几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝12π＋1933π.
能力提升 11.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.
解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，
故V 柱∶V 锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.
答案 3∶1∶2
12.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
解 设圆锥形杯子的高为h cm ，
要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，
则必须V 圆锥≥V 半球，
而V 半球＝12×43πr 3＝12×4π3×43，
V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝π3×42×h ，
依题意：π3×42×h ≥12×4π3×43，解得h ≥8， 即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ，高大于或等于8 cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子.
又因为S 圆锥侧＝πrl ＝πr h 2＋r 2，
当圆锥高取最小值8时，S 圆锥侧最小，
所以高为8 cm 时，制造的杯子最省材料.
创新猜想
13.(多空题)正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积为________，体积为________.
解析 ∵正三棱锥的高为1，底面边长为22，∴V 锥＝13×34×(26)2×1＝2 3.
设内切球的半径为r ，以球心O 为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥.又正三棱锥的斜高为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32×262
＝3，∴13×34×(26)2·r ＋3·13×12
×26×3·r ＝23，∴r ＝6－2.∴S 球＝4(6－2)2π，体积V ＝43(6－2)3π.
答案 4(6－2)2π 43(6－2)3π
14.已知正四面体ABCD 的外接球的体积为43π，求正四面体的
体积.
解 法一 将正四面体ABCD 置于正方体中，如图所示，
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的对角线即为
球的直径.
设外接球的半径为R ，
由V 球＝4π3R 3＝43π得R ＝3， 所以正方体的棱长为2，所以AB ＝22，
所以S △BCD ＝12×22×22×32＝2 3.
因为点A 到平面BCD 的距离h ＝23×2R ＝433，
所以V ＝13S △BCD ×h ＝8
3.
法二 如图所示，设正三角形BCD 的中心为O 1，O 为球心，正四面体ABCD 外接球的半径为R ，连接O 1D ，DE . 由已知得4
3πR 3＝43π，故R ＝ 3.
因为AE 为球的直径，
所以AD ⊥DE ，AE ⊥O 1D .
设AD ＝a ，则O 1D ＝23×32a ＝3
3a ，
故AO 1＝AD 2－O 1D 2＝6
3a .
所以O 1E ＝2R －AO 1＝23－6
3a .
由Rt △AO 1D ∽Rt △DO 1E ，
得O 1D 2＝AO 1·O 1E ，解得a ＝2 2.
故V ＝13S △BCD ·AO 1＝13×34a 2×63a ＝8
3.。