《物理场论》第3篇第2章弹性介质动力学基础

K s 2 s 2 t t t
s u v w ex ey ez t t t t
根据运动方程微分形式得：
xy yy zy xz yz zz 2 s xx yx zx 2 ( )ex ( )e y ( )ez t x y z x y z x y z
利用Hooke定律消去应力或应变分量，弹性位能密度：
U 1 u ( xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx ) V 2 1 2 2 2 2 2 2 { ( xx yy zz )2 [2( xx yy zz ) xy yz zx ]} 2
波动方程
2. 位移分量表达的波动方程
把上述Hooke定律方程代入运动方程组中，由于
xx u 2u ( 2 ) 2 x x x x x 2 xy v u 2u 2v [ ( )] ( 2 ) y y x y y xy xz w u 2u 2w [ ( )] ( 2 ) z z x z z xz
机械能
所以：
K xx yx zx u xy yy zy v xz yz zz w ( ) ( ) ( ) t x y z t x y z t x y z t
E U K t t t u v w u v w u v w ( xx xy xz ) ( yx yy yz ) ( zx zy zz ) x t t t y t t t z t t t
2
2 ：拉普拉斯算符;
：体应变
上述方程为用位移分量 u 、 v 和 w 表示的波动方程。得 到u,v,w 就可以得到应变张量场，从而得到应力张量场。
波动方程
3. 弹性纵波和弹性横波的分析 讨论I：若 s (r , t ) 是无旋的， s 0，即只有体积的胀缩 而无转动，则只有弹性纵波而无弹性横波。 对上式两端取散度：
机械能
2. 体积元的动能
1 1 s s 2 体积元动能： K mV V 2 2 t t K 1 s s 动能密度： K V 2 t t
3. 能流密度矢量场与机械能守恒定律 机械能=位能+动能 机械能密度=位能密度+动能密度
E u K 1 2 2 2 2 2 2 { ( xx yy zz ) 2 [2( xx yy zz ) xy yz zx ] 2 s s ( )} t t
机械能
u 2u 2v 2w xx yy zz t t x t y t z 2v 2u 2w 2v 2u 2w xy ( ) yz ( ) zx ( ) t x t y t y t z t z t x
1. 各向同性、分区均匀介质中的Hooke定律
在每个子域中，Hooke定律为：
xx 2 xx 2 yy zz xy zy xz
u x v 2 yy 2 y w 2 zz 2 z v u yx xy yx ( ) x y w v yz zy yz ( ) y z u w zx xz zx ( ) z x
2u 2v 2w 加速度： a axex a y ey az ez 2 ex 2 ey 2 ez t t t
在弹性介质中取一个小体积元，对其应用牛顿第二定 律则可以得到弹性介质的运动方程。 对于小体积元：
V xyz
m V xyz
S


根据高斯散度定理： ( I )dV I dS
V
EV I d S 得到机械能连续性方程的积分形式： S t
假设体积域 V 中的机械能和其它能量形式之间的互相 转化过程可以忽略，则机械能的减少，是由于通过外表 面S流走了。
第3节 弹性波动方程
第3篇：弹性波场
第2章 弹性介质动力学基础
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
主要内容
第1节 弹性介质运动学方程 第2节 弹性介质的机械能 第3节 弹性波波动方程
第4节 吸收介质与波动方程
第1节 弹性介质运动学方程
位移： s (r , t ) uex vey wez
第2节 弹性介质的机械能
1. 弹性位能（形变位能） 单位体积中的能量叫能量密度。 弹簧振子的弹性位能： U
1 2 1 kx Fx 2 2
对于体积元： V xyz
1 U ( xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx )V 2
所以：
2 u 2 u ( ) 2 x t
波动方程
2u 所以： u ( ) 2 x t
2
同理：
2 v 2 v ( ) 2 y t
2w w ( ) 2 z t
作用在小体积元X方向上的分力 （2）作用在垂直于y轴的两个表面上x方向的分力
Tyx Tyx Tyx dxdz Tyx Fx Tyx dy Tyx dxdz dxdydz y y
运动学方程
作用在小体积元X方向上的分力

上述三个方程合称弹性介质的平衡方程组。
运动学方程
在理想流体中，切向应力分量为零，而法向分量表现 为压强，即:
xx yy zz p
;
xy xz yz 0
流体运动方程组为：
p 2u x t 2 2 2 s v p p 2 2 t t y p 2w t 2 z
机械能
u v w 又可表达为: I (1) ，则有 t t t
E I I E 0 t t
T
此为机械能连续性方程的微分形式。 设机械能为 EV ,则 EV V E dV
EV E dV ( I )dV V t V t
（3）作用在垂直于z轴的两个表面上x方向的分力
Tzx Tzx Tzx dxdy Tzx Fx Tzx dz Tzx dxdy dxdydz z z
运动学方程
作用在小体积元X方向上的合力
（1）作用在垂直于x轴的两个表面上x方向的分力
运动学方程
若介质处于平衡状态，即
2u 2 v 2 w 2 2 0 2 t t t
，则
xx xy xz 0 x y z yx yy yz 0 x y z zx zy zz 0 x y z
dxdydz .
运动学方程
在小体积元上应用牛顿第二定律 设ρ为介质密度，根据牛顿第二定律可建立该小体积 元在x方向的运动方程：
2 u Txx Tyx Tzx 2 = x y z t
同理可以建立y、z方向的运动方程。总之有：
2 u Txx Tyx Tzx 2 = x y z t 2 v Txy Tyy Tzy 2 = x y z t 2 w Txz Tyz Tzz 2 = x y z t
运动学方程
xx xy xz 2u 2 x y z t
yx 2v 2 x y z t yy yz
zx zy zz 2w 2 x y z t
上述三个方程合称弹性介质的运动方程组。
运动学方程
运动学方程
作用在小体积元X方向上的分力 （1）作用在垂直于x轴的两个表面上x方向的分力
Txx Txx Fx Txx Txx dydz Txx dx Txx dydz = dxdydz x x
运动学方程
Txx Fx dxdydz x
（2）作用在垂直于y轴的两个表 面上垂直于z轴的两个表 面上x方向的分力
Fx
Tzx dxdydz z
作用在小体积元上x方向的合力为
Tyx Tzx T Fx xx y z x
2 ( s ) ( ) ( s ) ( s ) ( ) ( ) 2 2 2 s 2 2 ( ) 2 2 ( s ) 2 t t t 2 2 1 2 2 即 0 ，或表达为 2 2 0 2 V p t 2 t
2
2s 位移表示的波动的方程： s ( ) s 2 t
2
Vp 式中，
2 E (1 v) 为弹性纵波的传播速度。 (1 v)(1 2v)
波动方程
讨论II：若 s (r , t )是无源的， s 0 ，即 0只有转动， 则只有弹性横波而无弹性纵波。
定义一个矢量场 I ，能流密度矢量场，即机械能的能 流密度：某点处的方向为该点处机械能的传输方向，其
量值表示单位时间内通过垂直截面流过去的能量。
I [( xx u v w u v w u v w xy xz )ex ( yx yy yz )ey ( zx zy zz )ez ] t t t t t t t t t