热力学统计物理试题及其完整答案版

《热力学统计物理》试题参考解答及评分标准

一、1. B, 2. B, 3. A, 4. D, 5. B, 6. A, 7. C, 8. C, 9. A, 10. A. 评分标准：本题共20分， 每个答案2分。

二、 1. 状态， 2. 态， 系统从外界吸收， 3. p -, 4. ω )2

1

(+n , ,2,1,0=n , 5. l

e

a l l βεαω--=, 6. 0, 7. T V F )(∂∂-, 8. 负温度状态, 9. n p T G ,)(∂∂-， 10. n p S

H

,)(∂∂。

评分标准：本题共20分， 每个答案2分。

三、 1. 正确。 理由：pdV SdT dF --=。 2. 错误。 理由：T

V F p ⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-=。 3. 错误。 理由：自由粒子为不受外力的作用而作自由运动的粒子。

4. 错误。 理由：组成玻色系统和费米系统的粒子是不可分辨的，而组成玻耳兹曼系统的

粒子是可以分辨的。

评分标准：每小题2.5分。其中判断1分，理由1.5分。

四、1．证: 由正则分布Es

s e Z

βρ-=

1，得 s s E Z βρ--=ln ln . （1） 将上式代入广义熵的表示式，得

]ln [ln ][ln β

ββ∂∂-=+=Z

Z k U Z k . （2） 上式即正则系综中系统熵的表示式。 或者，由正则分布中熵的表示式出发 ][ln s

s

s E

Z k

βρ+=∑, （3）

利用（1）式，由上式得熵的普遍表示式

∑-=s

s s k S ρρln . (4)

评分标准：（1），（2）式各5分。

2. 证明：理想气体的热容量为n C ，则đdT C Q n =。由热力学第一定律得

pdV dT C dT C V n +=,

0)(=--pdV dT C C V n . (1) 将理想气体状态方程RT pV =微分，有

RdT Vdp pdV =+. (2)

由（1）式和（2）式消去dT ，得

0)()(=-+-pdV C C Vdp C C p n V n ,

或

0=+p

dp

V dV n

. （3） 式中

V

n p n C C C C n --=

. (4)

若V p n C C C ,,均为常数, 由（4）式知n 为常数，积分（3）式得 =n

pV 恒量. （5）

此即多方过程方程。

评分标准：（1）-- （5）式各2分。

3. 证明：设固体共有A N 个A 种原子和 B N 个B 种原子，原子总数为 N =A N +B N ，设x 为A 种原子的百分比(N N x A =

), （1-x ）为B 种原子的百分比(1-x )= N

N

B , 所以 A N =Nx , B N =N x )1(-. （1）

N =A N +B N 个原子在晶体格点上作随机分布方式的总数为

()!

!!

B A B A N N N N +=

Ω=

]!

)1[(]![!

N x xN N -. （2）

所以A,B 两种原子在晶体格点上的随机分布引起的熵为

S = k ln ln

k =Ω[]()[]!

1!!

N x xN N - 。 （3）

利用斯特林公式简化上式，可得

[])1ln()1(ln }]!)1ln[()!ln(!{ln x x x x Nk N x xN N k S --+-=---=. （4）

注意到0

S>0． (5)

评分标准：（1）-- （5）各2分。 五、计算题：

1。解： 范氏方程可表为 对范氏方程取导数得

,)(

b V R

T p V -=∂∂ 2

3)(2)(b V RT V a V

p T --=∂∂ （1） 按循环关系式，我们有

2

33)(2)

()()()(b V a RTV b V RV V p T p T V T V p ---=∂∂∂∂-=∂∂ （2）

因此

V 1=α2

32)(2)()()()(b V a RTV b V RV V p V T p T V

T V p ---=∂∂∂∂-=∂∂ (3)

p 1=β)()()(22b V a RTV RV b V p R T p V --=

-=∂∂ (4)

V T 1-=κ2

3

222

3)(2)()(211)(b V a RT V b V V b V RT V a V p V

T ---=--

-=∂∂. (5) 评分标准：（1）-- （5）式各2分。

2．解：用能量均分定理求粒子的平均能量。

a

b a b x a P P p m z y x 4)2()(21222

22-++++=ε. （1） 上式中2

)2(a

b x a +

是独立平方项，从而有 a

b a b x a p p p m z y x 4)2()(21222

22-

++++=ε

=a

b kT a b kT kT 42421232

2-=-+ （2）

评分标准：（1）式和（2）式各5分。