00020-高等数学(一)自考历年真题

2012年10月高等教育自学考试《高等数学(一）》试题
课程代码:00020
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1．在区间),0(+∞内,下列函数无界的是( B ）.
A ．x sin
B ．x x sin
C ．x x cos sin +
D ．)2cos(+x
2．已知极限2211lim e x bx
x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+∞
→，则=b （ D )。

A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．设函数)(x f 二阶可导，则极限=⎪⎭
⎫
⎝⎛∆-∆-→∆bx
x x x f x x f )(')2('lim 000（ C ）.
A ．)(''0x f -
B ．)(''0x f
C ．)(''20x f -
D ．)(''20x f
4．函数
C x F dx x f +=⎰)()(,则=⎰xdx x f cos )(sin （ C ）。

A ．C x x F +sin )(sin
B ．
C x x f +sin )(sin
C ．C x F +)(sin
D ．C x f +)(sin
5．函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则该函数在点),(00y x 处必（ A ）。

A ．有定义 B ．极限存在 C ．连续 D ．可微
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分,共30分）
6．已知函数x x x f +=12)(，则复合函数=)]([x f f x
x
314+. 7．极限()=⋅+∞→x
x x 1
sin 1ln lim 0 。

8．某产品产量为q 时总成本2
200
1200)(q q C +=,则100=q 时的边际成本为 1 。

9．极限=-→x
x x x ln 1
lim
1 1 。

10．设函数x
x
y +=1sin 的铅直渐近线为1-=x 。

11．已知直线l 与X 轴平行且与曲线x
e x y -=相切，则切点坐标为 （0，-1） 。

12．函数)1ln()(2
x x f +=在区间[-1，2］上最小值为 0 。

13．设函数⎰
=
Φx
tdt t x 20
cos )(，则=Φ)('x x x 2cos 4。

14．求函数)arcsin(2
2
y x z +=的定义域为12
2
≤+y x 。

15．设函数)(2
e x z +=,则
=∂∂)
0,1(y
z 4 。

三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16．求极限x
x
x x sin 11lim
0--+→。

解：原极限x
x x x
x sin )11(2lim 0
-++=→ （3分）
=1。

（5分) 17．已知函数)(x f 可导,且)(sin )(,)0('x f x g a f ==,求)0('g . 解：x x f x g cos )(sin ')('=， (3分） a f g ==)0(')0('。

（5分) 18．设函数)0(1>=x x y x
，求dy 。

19．设函数)(x f 在区间I 上二阶可导，且0)(''>x f ,判断曲线)
(x f e
y =在区间I 上的凹凸
性。

20．计算不定积分⎰
+dx x x )1cos(2。

四、计算题（二)（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．设函数x
x
x y -=
ln 的单调区间与极值。

22．求微分方程0)(=--dy dx y x 满足初始条件10
-==x y 的特解。

23．计算二重积分⎰⎰=
D
dxdy y x
y I sin
，其中 区域D 由其线1,0,===y x x y 围成。

五、应用题（本大题9分）
24．过点（1，2）作抛物线12
+=x y 的切线,设该切
线
与抛物线及y 轴所围的平面区域为D 。

（1）求D 的面积A ；
（2）求D 绕x 轴一周的旋转体体积x V 。

六、证明题（本大题5分）
25．设函数)(x f 可导，且0)0(,cos sin )(sin '2
=-
=f x
x
x f ，证明
1ln 2
1
)(2-=x x f .。