柱体、锥体、台体的表面积与体积课件

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．( ) (3)圆台的高就是相应母线的长．( ) (4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．( )
【解析】 (1)正确．多面体的表面积等于侧面积与底面积之和． (2)错误．棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形． (3)错误．圆台的高是指两个底面之间的距离． (4)错误．由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同．但 是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
教材整理 2 柱体、锥体与台体的体积公式 阅读教材 P25“例 2”以下～P26“思考”以上内容，完成下列问题． (1)柱体：柱体的底面面积为 S，高为 h，则 V＝_S_h_.
1 (2)锥体：锥体的底面面积为 S，高为 h，则 V＝_3_S_h___. (3)台体：台体的上、下底面面积分别为 S′、S，高为 h，则 V＝ _13_(_S_′__＋____S_′__S_＋__S_)h_.
圆锥的母线长为 5，底面半径为 3，则其体积为( )
A．15π
B．30
C．12π
D．36π
【解析】 圆锥的高 h＝ 52－32＝4，故 V＝13π×32×4＝12π. 【答案】 C
空间几何体的表面积和侧面积
一个直角梯形的两底边长分别为 2 和 5，高为 4.将其绕较长 底所在直线旋转一周，求所得旋转体的表面积．
柱体、锥体、台体的表面积与体积
教材整理 1 柱体、锥体、台体的表面积 1．多面体的表面积 多面体的表面积就是_各__个__面__的面积的和，也就是_展__开__图__的面积．
2．旋转体的表面积
名称
图形
圆柱
圆锥
圆台
公式 底面积：S 底＝_2_π_r_2 侧面积：S 侧＝_2_π_r_l 表面积：S＝_2_π_rl_＋__2_π_r2
探究 3 已知几何体的三视图，如何求几何体的表面积？ 【提示】 首先根据三视图确定几何体的结构特征，再根据相应的表面积 公式计算．
如图 1-3-4，已知某几何体的三视图如图(单位：cm)． (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．
图 1-3-4
【精彩点拨】 由三视图确定 几何体的形状
1．常见的求几何体体积的方法 (1)公式法：直接代入公式求解． (2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选 用底面积和高都易求的形式即可． (3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 2．求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高， 要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
底面积：S 底＝_π_r_2 侧面积：S 侧＝_π_r_l_ 表面积：S＝_π_r_l＋__π_r_2_
上底面面积：S 上底＝_π_r_′_2 下底面面积：S 下底＝__π_r2_ 侧面积：S 侧＝_π_l_(r_＋__r_′__) 表面积：S＝_π_(_r′ __2_＋__r_2_＋__r′__l_＋__r_l)_
【自主解答】 法一：设 AB＝a，AD＝b，DD′＝c， 则长方体 ABCD-A′B′C′D′的体积 V＝abc， 又 S△A′DD′＝12bc， 且三棱锥 C-A′DD′的高为 CD＝a. ∴V 三棱锥 C-A′DD′＝13S△A′D′D·CD＝16abc. 则剩余部分的几何体体积 V 剩＝abc－16abc＝56abc. 故 V 棱锥 C-A′DD′∶V 剩＝16abc∶56abc＝1∶5.
2．组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减 去公共部分面积．
[再练一题]
1．圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4，若母线长为 10，则圆台的
表面积为( )
A．81π
B．100π
C．168π
D．169π
【答案】 C [圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为 r，下底面半径为
R，则它的母线长为 l＝ h2＋R－r2＝ 4r2＋3r2＝5r＝10，所以 r＝2，R＝8.
[再练一题]2．如图 1-3-2 所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 长为 a，过顶点 B，D，A1 截下一个三棱锥．
(1)求剩余部分的体积； (2)求三棱锥 A-A1BD 的高. 【解】 (1)V 三棱锥 A1-ABD＝13S△ABD·A1A ＝13×12·AB·AD·A1A＝16a3. 故剩余部分的体积 V＝V 正方体－V 三棱锥 A1-ABD ＝a3－16a3＝56a3.
图 1-3-5
【答案】 C [由三视图可知圆柱的底面直径为 4，母线长(高)为 4，所以 圆柱的侧面积为 2π×2×4＝16π，底面积为 π·22＝4π；圆锥的底面直径为 4，高 为 2 3，所以圆锥的母线长为 2 32＋22＝4，所以圆锥的侧面积为 π×2×4＝8π. 所以该几何体的表面积为 S＝16π＋4π＋8π＝28π.]
图 1-3-2
(2)由(1)知 V 三棱锥 A-A1BD＝V 三棱锥 A1-ABD＝16a3，
设三棱锥 A-A1BD 的高为 h， 则 V 三棱锥 A-A1BD＝13·S△A1BD·h
＝13×12×
3 2(
2a)2h＝ 63a2h，
故 63a2h＝16a3，解得 h＝ 33a.
与三视图有关的表面积和体积
法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱 ADD′A′-BCC′B′，设它的底面 ADD′A′面积为 S，高为 h，则它的体积为 V＝Sh.
而棱锥 C-A′DD′的底面面积为12S，高为 h， 因此棱锥 C-A′DD′的体积 VC-A′DD′＝13×12Sh＝16Sh. 剩余部分的体积是 Sh－16Sh＝56Sh. 所以棱锥 C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为 16Sh∶56Sh＝1∶5.
1．解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后 根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．
2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何 体的体积时，根据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．
[再练一题] 3.如图 1-3-5 是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图， 则该几何体的表面积为( ) A．20π B．24π C．28π D．32π
故 S 侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S 表＝S 侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.]
空间几何体的体积
如图 1-3-1 所示，在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一 个棱锥 C-A′DD′，求棱锥 C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
图 1-3-1 【精彩点拨】 先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体 积之比．
→ 选择表面积及 体积公式求解 【自主解答】 (1)这个几何体的直观图如图所示． (2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体． 由 PA1＝PD1＝ 2，A1D1＝AD＝2， 可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积 S＝5×22＋2×12× 2× 2＋2× 2×2＝22＋4 2(cm2)， 所求几何体的体积 V＝23＋12×( 2)2×2＝10(cm3)．
【精彩点拨】 旋转所得到的几何体为圆柱与圆锥的组合体．
【自主解答】 旋转所得几何体如图． 由图可知，几何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的侧面积 和底面圆的面积之和， ∴S＝S 圆柱底＋S 圆柱侧＋S 圆锥侧 ＝π×42＋2π×4×2＋π×4×5 ＝16π＋16π＋20π＝52π.
1．求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、 锥、台体，再通过这些基本柱、锥、台体的表面积，进行求和或 作差，从而获得几何体的表面积．
探究 1 一个几何体的三视图如图 1-Βιβλιοθήκη -3 所示，请说出该几何体的结构特征．
图 1-3-3 【提示】 由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形．
探究 2 试根据图 1-3-3 中数据求该几何体的表面积． 【提示】 三棱柱底面三角形的直角边长分别为 3 和 4，斜边
长为 5，三棱柱的高为 5，如图所示，所以表面积为 212×3×4＋ (3＋4＋5)×5＝72.