用导数的定义求下列各函数在指定点的导数

习题2-1
1、 用导数的定义求下列各函数在指定点的导数: (1) 32)(+=x x f , 求)2('f ,)0('f ; 解:
2
2lim )322(]3)2(2[lim )2()2(lim lim
)2(0000'=∆∆=∆+⨯-+∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆→∆x x x
x x f x f x y f x x x x 22lim 3]3)0(2[lim )0()0(lim lim )0(0000'=∆∆=∆-+∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆→∆x x
x x x f x f x y f x x x x .
(2) c bx ax x f ++=2)(, 其中c b a ,,为常数, 求)0('f ,⎪⎭⎫
⎝⎛21'f ,⎪⎭
⎫
⎝⎛-a b f 2'. 解:
x
x
b x a x
c c x b x a x f x f x y f x x x x ∆∆+∆=∆-+∆+∆=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆→∆202000'
lim
)(lim )0()0(lim lim )0( b b x a x =+∆=→∆)(l i m 0
,
x c b
a c x
b x a x f x f x y f x x x ∆++-+∆++∆+=∆-∆+=∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛→∆→∆→∆)
24(])21()21([lim )21()2
1(lim lim 21200
0' b a b a x a x
x
b a x a x x +=++∆=∆∆++∆=→∆→∆)(l i m )(l i m
020. x c a b a b c x a b b x a b a x a b f x a b f x y a b f x x x ∆+--+∆+-+∆+-=∆--∆+-=∆∆=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→∆→∆→∆)
24(])2()2([lim )2()2(lim lim
2222
000' 0)(l i m l i m
2
0=∆=∆∆=→∆→∆x a x x a x x . 2、解：因为2
3t s ='，所以瞬时速度273323=⨯='==t s v 。

注：只要题目没有要求用定义求导，就最好不用定义。

3、解: 因为x y 2=', 所以切线的斜率632|3=⨯='==x y k . 切线方程: )3(69-=-x y 即: 96-=x y
4、解：因为切线平行，斜率相等，故03
232002
0201==⇒===x x x k x k 或。

（部分同学把00=x 去掉了，这是不对的，因为y=0是32x y x y ==和的切线） 5、解:由题目知总成本的变化率为)(x C ', x
k x C 2)(1=
'.
所以生产0x 个单位时总成本的变化率为0
102)(x k x C ='.
6、解：因为31
2
13lim 1)1()(lim
)1(11
=---=--='++
→→+x x x f x f f x x ， 21
2
1lim 1)1()(lim )1(211=--+=--='--→→-x x x f x f f x x ，所以)1()1(+-
'≠'f f ，故)(x f 在1=x 处不可导。

错误的解法是：⎩
⎨
⎧≥<≤='1,31
0,2)(x x x x f ，所以)1(32)1(+-
'=≠='f f ；这样做的错误有两个：一是从给出的导函数的表达式上有3)1(='f ，这与不可导当然是矛盾的；二是这样解题用了
)01()1()01()1(+'='-'='+-
f f f f 和即“函数在1=x 处的左（右）导数等于导函数在1=x 处的左（右）极限”这一结论，但一般条件下这一结论不成立，教材也没有给出成立的条件，故不能乱用。

7、解：(1) 31
3
23
2
3
2)(-='='⇒=x x y x y ;
(2) 5
44
4)(1---='='⇒=
x x y x
y ; (3) 3
5
3
23
2---='⇒=x y x
y ;
(4) 3
ln 1
log 3x y x y =
'⇒= ; (5) )13(ln 3)3ln()3()3(+=='⇒=x x x x e e e y e y ;
(6) )3ln 2(ln 3232ln 3232-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫
⎝⎛='⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛=x
x x y y .
8.、解：02,213cos )(sin )(=⎪⎭
⎫
⎝⎛'=⎪⎭⎫
⎝⎛'⇒='⇒=ππf f x x f x x f . 9、证明: x y cos = ,则2
sin )2sin(2cos )cos(x x x x x x y ∆∆+
-=-∆+=∆, x x x
x x x x x x x y x x x x sin 2
2sin lim )2sin(lim 2sin )2sin(2lim )(cos 000-=∆∆⎥⎦⎤⎢⎣
⎡∆+-=∆∆∆+-=∆∆='→∆→∆→∆. 0|)sin (|)(cos 00=-='==x x x x .
习题2-2 1、解：
2'(1);:2.
y ax bx c y ax b =++=+解
2
'2
2
'2
2
'2
'
'
2
(2)(2
:2(24
(3)()(1)(1);
()2(1)(1)(1)(1)(31).
(4)cos;
:2cos sin.
(5)();
:().
2
(6)3;
2
:3ln.
(7)
x
x
y x
y x x x
f v v v
f v v v v v v
y x x
y x x x x
y a
x
y a a
x
y
ρϕϕ
ρϕϕ
=
=++=+
=+-
=+-++=+-=
=-
=
=
=-
=+
=
解
解：
解
解
解
2
'
22
1
;
1
12
:.
(1)
1sin
(8);
1sin
x x
x
y
x x
t
s
t
++
+
=-
++
-
=
+
解
2
2
'
)
sin
1(
cos
2
)
sin
1(
cos
)
sin
1(
)
sin
1(
cos
t
t
t
t
t
t
t
s
+
-
=
+
-
-
+
-
=
（9）因为t
t
y
t
t
y2
sec
cos
2
tan
sin
2+
='
⇒
+
=。

2、解：
1''
110
'12
11
'
1
'
11
2'
'2
'
(1)(),(0),(1);
()(1),
(0),
(1)(1).
(2)sin(2),(2);
:2sin(2)cos(2),
(2) 4.
n n
n n
n n
n n
n n
f x a x a x a x a f f
f x a nx a n x a
f a
f a n a n a
y x x y
y x x x x
y
-
-
--
-
-
=++++
=+-++
=
=+-++
=-
=-+-
=
求
解：
求
解
'232
'
3.,,1:(2):(3)x t a b y y y y y ===
===求下列函数的导数（其中是自变量，是大于零的常数）：
（）解解
'22
''
ln (4)1sec sec (5)x
x
y y x x y y y =======
解：解：解：
1
1'
22'2
'22(6)(,2);
2(cos )sin .
(7)(8)sin cot ;3221sin cos cot sin csc .
3332232n
y n Z n x y x x n
y y x x y x x x x x
y +-=∈≥=-====-解：解：解：
2
2
2
2'''22
'2
2
(9)sin (21);
4sin(21)cos(21)2sin(42).(10)sin (11)csc (12)sin ;
(21)cos .
x
x x
x x
x y x y x x x y y y y y e y x e e +-+-+-=-=--=-====-==+解：解：解：解：
22'2222'22'ln '
ln 2(13)cos (cos );
2cos(cos )sin(cos )2cos sin sin(2cos )sin 2.1
(14)sin ;
11
2sin cos .
(15)11(1)sec ()
(16)2
;ln 1
2
(
)ln 2.ln x x
x x
y x y x x x x
x x y x x y x x x y x y y x y x
=====-=-+'=
=-=解：解：解：解：
3
33'2'
sin 'sin 23222'
2
2
2(17)3;33ln 3.
(18)ln(1(19);
3sin cos .(20)ln ();
26ln ()
3ln ().
t t x x y t y t y x y y e y e x x y x x x y x x x
=-=-=++=======解：解：解：解：
'''(21)ln[ln(ln )];1
.
ln ln(ln )
1
(22)arccos ;
(23)y t y t t t y x y y y ==
===
==解：解：解：
''(24);(25)arccos arccos arccos .(26)y x y y x x x x y y ==
+====
=
'解：解：y 解：
2'
2''1
(27)(arccos );
1(arccos ).
(28)(29)x x x y e x
y e x y arc y y y ---==-==
===
='解：解：y 解：
2
22'
arcsin arcsin '
21sin sin 1
sin '2arcsin (30);
arccos (32)arctan ;.1(34);
2sin 111(2sin cos )()x x x
x
x x
x x
y x y y e e e y e
y e
e x y e x x x ---=
=
==+=++==--=解：解：解：1
2
.x x
（31）因为2
3
211
--='⇒=x y x
y ；
（33）因为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛='⇒
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=----x a b b a a x x b b a b a x a b x b a b a a b y x b a a b y b
a x x a
b a b x b a a
b x
b a ln )(ln 1
''2'2'22
(35)();().(36)(ln );1
.
(ln )
(37);
.(38)arctan();1
.(1)chx
chx chx y ch shx y sh shx chx y th x y xch x y shxe y chxe sh xe y thx y th x ch x
====
==+==
+解：解：解：解：
注：在求导时，应先尽可能对所给函数进行化简，把复杂的问题变得简单一些，以便简化计算，提高计算的准确性。

4、解：因为x y 2='，又设切点的坐标为),(00y x ，则1
22000--=
=x y x k ，又52
00+=x y ，解二元方程组得623100=-=⇒=-=k k x x 或或，故切线方程为)1(62)1(22-=---=-x y x y 和即046;042=--=-+y x y x 。

错误解法：有同学把（1，2）点当成切点了。

5、解：因为法线与定直线0322=+-y x 平行，故所求的法线的斜率1=k ，故切线的斜率
11-=k 又1ln +='x y ,所以)2,(11ln 22---⇒-=+e e x 切点坐标为,法线方程为
032=---e y x 。

6、解：设所求点的坐标为),(00y x ，则切线斜率02x k =，又已知直线的斜率31=k ，所以
41,1613214
tan
1010011=-=⇒+-=+-=
=x x x x kk k k π
，故所求点的坐标为)16
1
,41(),1,1(-。

7、解：切线的斜率2)
22(0
20=+='===x x x x e y k ,切点的坐标为)1,0(，所以法线方程为
022211=-+⇒-
=-y x x y ，由点到直线的距离公式得522200=+++=B
A C By Ax d 。

8、解：（1）)(2))((222x f x x x f y '=''='；（2）
[][][]
)
()()()()()()()()()()()()(x f e f e f e e x f e e f e e f e e e f e e f y x x x x f x f x x f x x x f x x f x '+'='+'='
+'='（3）{})()]([)]([x f x f f x f f y ''='
='；
（4）[
][]
[
]
)
(cos )(sin 2sin )sin cos 2)((cos cos sin 2)(sin )(cos )(sin 222222x f x f x x x x f x x x f x f x f y '-'=-'+'='
+'='
注：[]))(())((x g f x g f '≠'
，左边的数学运算是先复合，后求导；而右边是对外层函数先
求导，再将)(x g 代入导函数。

习题2-3 1、解：（1）
x x x y sin cos -='
)cos (sin sin x x x x y +--='' x x x cos si n 2--=
（2）)2()(2
12
12
2x x a y -⋅-='-
2
1
2
2
)
(---=x a
x
)2()(2
)
(23
222
12
2
x x a x
x a
y -⋅-+--=''--
2
32
222
12
2)
()
(-
-
----=x a x x a 2
3222)
(x a a --=
（3）325121284
34)4()2(----++=''+"⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+''=''x x x x x y ；
（4）
x y 2
sec =' x x x y tan sec sec 2⋅⋅=''x tan sec 22=
（5）2
2
11)1(arctan 2x x x x y +⋅
++='1arctan 2+=x x
2
12arctan 2x
x
x y ++='' （6）x e
y x
21
⋅
='x
e
x
2=x
e x 21
21-=
2121
23
2
12
14
1---⋅⋅+-=''x e x e
x y x
x
x x
e x e
x 414
12
3+-=-x
x x e x ⋅-=
4)
1( （7）x x
y cos sin 1
⋅=
'x cot =， x y 2csc -=''
（8）因为]
2sin 4sin 6[sin 41]2sin 4sin 6[sin 2121]
3sin cos 3sin 3[cos 21
3sin ]cos 3[cos 21x x x x x x x x x x x x x y ---=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧---=--=--= 所以x x x y x x x y 2sin 4sin 46sin 9),2cos 24cos 46cos 6(4
1--=''---='； （9）()
3
22
2
2222
2111a
x
x
y a x a x x
a x x y --
=''⇒-=⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+-+
=
'；
2、证明：
x x e c e c y λλλλ--='21
x x e c e c y λλλλ
-+=''2212
∴ x x x x
e c e c e c e c y y λλλλλλλλλ----+=-''22122212
2
=0
3、证明：
x x e x x e y cos sin +='
x x e x x e x x e x x e y sin cos cos sin -++='' x x e cos 2=
∴
x x e x x e x x e x x e y y y sin 2cos 2sin 2cos 222+--=+'-''
=0
4解：（1）
)
9520(2)()(190)()(20)(22202)18(22)19(22)20(2)20(++='
'+'+=x x e x e x e x e y x x x x
（2）)
2sin 2
1225
2cos 502sin (2)()2(sin 1225)()(50)2(sin 2502)48(2)49(22)50()50(x x x x x x x x e x x y x ++-='
'+'+= 5、解：（1）[]
)(2)(4)(22222x f x f x x f x y '+''='
'=''；
（2）[])()()()()()(2
2
x f x f x f x f x f x f y '-''='
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'=''。

习题2-4
1、解：（1）方程两边对x 求导数得022='+y y x ，所以
y
x
dx dy -=；
（2）方程两边对x 求导数得022='+'++y y y x y x ，所以
y
x y x dx dy 22++-=； （3）方程两边对x 求导数得)1(y e y x y y
x '+='++，所以y
x y x e x y
e dx dy ++--=
； （4）方程两边取对数得y x x y ln ln =，两边对x 求导数得y
y x y x y x y '
+=+'ln ln ，所以
22ln ln ln ln x x xy y y xy y
x x x y
y dx dy --=-
-
=； 注：有同学易把幂指函数的求导与幂函数或指数函数的求导搞混淆。

（5）方程两边对x 求导数得)cos()1(sin cos y x y y y x y +'+='-，所以
)
cos(sin )cos(cos y x y x y x y dx dy +++-=； （6）方程两边对x 求导数得
y y x y x y y x y y x y x y x y y x y y x x y x y x y '+=-'⇒+'+=
+-'⇒
+'+=
-'⎪⎭
⎫ ⎝⎛+2
22
22
22
2
11，
所以
y
x y
x dx dy -+=； 2、 解：（1）x x y ln 2ln ln +=
x x
x x
y y +
⋅='⋅ln 211 x x x x x x
x x y ⋅+⋅='2ln =)2(ln 2
1
+⋅-x x x
（2）)ln(ln ln x x y = x x x x y y
1ln 1)ln(ln 1
⋅⋅
+='⋅x
x ln 1
)ln(ln +
= ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+='x x x x y ln 1)ln(ln )(ln （3）x x
y ln 1
ln =，x x x x y y 11ln 112⋅+-='⋅)ln 1(12x x -=
)ln 1(2
1x y x
x
-='-
（4）方程两边取对数得x x y sin ln cos ln =，两边对x 求导数得x
x
x x y y sin cos sin ln sin 2+-='，
所以
)sin ln sin cos (cot )(sin )sin cos sin ln sin ()
(sin cos 2cos x x x x x x
x
x x x y x x
-=+-='；
（5）1ln 2
1
25ln 2123ln 21ln
-----=x x x y )
1(21
251231231--
-+-⋅='⋅x x x y y
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---+-⋅---=
'221251463
)1)(25(23x x x x x x y （6）方程两边取对数得[]
)1ln(2)1ln(ln 3
1
ln 22--++=
x x x y ，两边对x 求导数得⎪⎭⎫ ⎝⎛--++='141213122x x x x x y y ，所以⎪⎭
⎫ ⎝⎛--++-+='14121)1()1(31223222x x x x x x x x y ； 3、 解：方程17)3()1(22=++-y x 两边对x 求导 得0)3(2)1(2='⋅++-y y x ，故3
1+-=
'y x
y ，从而41)1,2(-='y
故所求切线方程为)2(4
1
1--
=-x y 即064=-+y x 4、解：方程两边对x 求导得)
cos(1)
cos()cos()1(y x y x y y x y y +-+='⇒+'+=' （1）
（1） 式两边对x 求导得
[][][]2
2
)cos(1)
sin()1()cos(1)
cos()sin()1()sin()1()cos(1y x y x y y x y x y x y y x y y x y +-+'+-=
+
-++'+-+'++--=
'' （2）
将（1）代入（2）得[]3
1)cos()
sin(-++=
''y x y x y
5、解：s s
s
s
te
e s s te e s -='⇒'+='1，又s e s s te s
s
-='⇒-=21 （1） 所以3
2)1(22)
2()
3()2()3()2()2(s s e s s s e s s e s s e s s s s s --=--'=-'
+-'=
''代入将。

6、解：
3221
22/2t
t dt t d dt
dx dt dx dy d dx dx dy d dx
y d t dx dy -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎭⎫ ⎝⎛=⇒=。

7、解：()t t a t t a dt t d dx dx dy d dx y d t t t a t t a dx dy sin cos 31sin cos 3tan tan sin cos 3cos sin 34222
22
=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒-=-=。

8、解：2
2
2)cos 1(1
)cos 1(cos 1sin cos 1sin ϕϕϕϕϕϕϕ--
=-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫
⎝⎛=
⇒-=a a d d dx dx dy d dx y d dx dy 。

9、解：（1）因为
b
a
k a b dx dy k a b dx dy =-==⇒-==14
,sin cos 法线斜率切线斜率πθθθ，又切点的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 22,22，所以切线方程为;2222⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=-a x a b b y 法线方程为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
-a x b a b y 2222；
（2）因为
4
3
,3412122=-==⇒-==k dx dy k t t dx dy t 法线斜率切线斜率，又切点的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛a a 512,56，所以切线方程为;5634512⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-a x a y 法线方程为⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
-a x a y 5643512。

10、解（1）因为质点出发时0=t ，故质点出发时所在的位置的坐标是()
)0,1(,00===t t y x ； （2）水平方向的速度2)22(22
-=-='
===t t t x t x v ，铅直方向的速度16)8(22
=='
===t t t y t y v ；
（3）水平方向的加速度2)2(22-=-=''===t t t x x a ，铅直方向的加速度8822==''===t t t y y a 。

11、解：3
22
)sin (cos 2)sin (cos sin cos sin cos sin cos sin cos t t e t t e dt t t t t d dx dx dy d dx
y d t t t t dx dy t
t +-=+⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=⎪
⎭
⎫
⎝⎛=
⇒+-=，又 t t e t t e t t e y x dx y
d t
t
t sin cos 2)sin (cos )sin (cos 2
)(2
23
2
22+-
=++-=+，
t t e t e t t t t t e y dx dy x t t sin cos 2cos sin cos sin cos sin 22+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，所以⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=+y dx dy x y x dx y d 2)(2
22。

12、解：因为22
2
2
2
(40)()120(40)2()()2(40)()()
t
s t t s t s t t s t s t ''=+⇒=⇒=，又因
26120)1540(120)15(22=⨯+=s ，所以飞机飞离观察者的速度为s m s /26200)15(=
'。

40t
13、解：如图，设在时刻t 注入的水深为h ，又条件知h r 2
1
=
，所以 4 22
16
)(423h
t h t h h ππ='⇒=⎪⎭⎫
⎝⎛，所以当5=h 时，水的表面上升的速度为 r m in /2516
m π。

h 14解：如图可得)
(9)(259)()()(2222t y t
t y t t y t x t y -
='⇒=+=+，3)(3)(='⇒=t x t t x （1）23525183)(3)(9)(2=⇒=⇒=⇒==
't t t t y t y t t y ，所以当下端离开墙角m x 25
235=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛时，梯子的上、下两端滑动的速率相同； （2）m in /875.0)
4.1(253
4.1934.1)4.1(2534.134.14.1322m y y t t ≈-⨯
=⎪⎭⎫
⎝⎛'⇒-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒=
⇒=；
（3）m x t t t t t y t y 4343343/42594949)(4)(22
=⋅=⎪⎭
⎫
⎝⎛⇒=⇒=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒=⇒='。

习题2-5
1、求下列函数的微分 （1）解：dx x dy )310(+=
（2）解：dx x x x x dy )]2()4)(2(2[2++-+==dx x x )843(2--
（3）⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<<-<<---=-=
--=
'-=;
10,12,01,1212)12(14])12[arcsin(222
2
22x x
dx x x
dx
x x xdx dx x x dx x dy （4）解：dx x x
dy )1ln 4
(+=
（5）[]tdt dt t
t t t t dt t t dy sec tan sec sec tan sec )tan ln(sec 2=++=
'+=； （6）dx x x x x x dx x x x x x dt x x dy ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++-=+-+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22)sin 1(2cos cos sin 12sin 2)sin 1(2cos cos )sin 1(2sin 2sin 12cos 2、解：（1）
2
4
2
2
2
12
24
2
2
4
121221212
αα
ααα-=
-
=-
=
⇒
-=-==
=
dx
dx
dy
dx
dx
dy
x
x dx dx x x
dy x x
（2）0,)1(1102
22==⇒+-=
==x x dy dx dy dx x x dy .
3、解：（1）9.11.0)120()12(=⨯-=⇒∆-=dy x x dy ；
（2）x x x dy ∆+-=32
)
1(tan sec ，又360
636061π
ππ=
-=
∆x ，所以0059.0360
)6
tan 1(6
sec 3
2
-≈+-=ππ
πdy
4、（1）x x dy ∆=2，在1=x 处01.0=∆x ，故02.0=dy
0201.0)11()101.1()1()01.01(22=+-+=-+=∆f f y
0001.0=-∆dy y
5、填空
（1）xdx x d 2)(2= （2）dx x x d 1)(ln = （3）dx x
x d 21
)1(=-
（4）dx e e d x x --=-)( （5）xdx x d 2sin )2cos 2
1(=- （6）dx x
x d 21)(=
（7）dx xe dx e e d x x x )2()(2
2
2
2==
（8）dx x x x d x d x x d )sin (cos )(cos )(sin )cos (sin -=+=+ 习题2-6
2、解：x x F sin ln )(=满足
（1） 在]65,6[π
π上连续
（2） 在)65,6(π
π内可导
（3） 2
1
ln )65()6(==ππF F
故满足罗尔定理的条件，令x x x F sin cos )(=
'=0，则在区间)65,6(ππ内，存在2
π
ξ=，使得02
sin
2cos )2
(==
'π
π
π
F
3、解：)3)(2)(1()(---=x x x x f 满足 （1）在[1，3]上连续 （2）在（1,3）内可导 （3）0)3()1(==f f
故满足罗尔定理的条件，令011123)(2/=+-=ξξξf ，解得3
3
6±=
ξ ∈（1，3），即在区间（1，3）内存在3
3
6±=
ξ使得0)(/=ξf . 4解：与罗尔定理不矛盾，因为函数321)(x x f -=虽然在区间[-1，1]上连续，且
)1()1(f f =-，但在（-1，1）内点0=x 处)(x f 不可导，故不满足罗尔定理的条
件，所以在区间[-1，1]上没有导数为零的点并不与罗尔定理矛盾。

5、解：函数x x f arctan )(=在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，且401)0()1()()(π=--=--f f a b a f b f ，由2
11
)(x x f +='，
令)1,0(,4)()()(∈=--=
'x a b a f b f x f π，即4112
π
=+x
，解得14-=πx ，故在区间（0，1）内存在14
-=π
ξ使得)01)(()0()1(-'=-ξf f f 成立。

6、解：函数x
x f 1
)(=
在),(b a 内不能找到满足有限增量公式的ξ点，这与拉格朗日中值定理并不矛盾，因为当0<ab 时，函数x x f 1
)(=在),(b a 内的点0=x 处
)(x f 不可导，不满足拉格朗日中值定理的条件.
7、解：由于)(x f 在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且)2()1(f f =，所以由
罗尔定理可知，)2,1(1∈∃ξ使0)(1='ξf ，同理)3,2(2∈∃ξ使0)(2='ξf ，)4,3(3∈∃ξ使0)(3='ξf 。

显然它们都是方程0)(='x f 的根，由于0)(='x f 为三次方程，它
只能有三个根（包括实根、复根），故321,,ξξξ是方程0)(='x f 的全部根。

8、证明；
设x x x f arccos arcsin )(+= -11≤≤x 因01111)(2
2
/=--
-=
x
x
x f
所以C x x x f =+=arccos arcsin )(（C 为常数） 令1=x 有
2
02
1arccos 1arcsin )1(π
π
=
+=
+=f
从而2
1arccos 1arcsin π
=
+
9、证明：设函数],0[,)(0111x x x a x a x a x F n n n n ∈+++=-- ，则0)0(=F ，又0x 为
0)(=x F 的根，0)(0=∴x F ，由于)(x F 在],0[0x 上连续，在),0(0x 内可导，且
0)()0(0==x F F ，根据罗尔定理，),0(0x ∈∃ξ，使得0)(='ξF 即0)1(1211=++-+---a n a n a n n n n ξξ
ξ 就是方程0)1(1211=+-+---a x n a nx a n n n n 小于0x 的正根。

10、证明：因为)(x f 在],[21x x 上连续，在),(21x x 内可导，且)()(21x f x f =所以根据罗尔定理，),(211x x ∈∃ξ使得0)(1='ξf .同理可得，),(322x x ∈∃ξ使得
0)(2='ξf .又函数)()(x f x '=ϕ在],[21ξξ上连续，在),(21ξξ内可导，且
0)()()()(2211=='='=ξϕξξξϕf f ，根据罗尔定理，),(21ξξξ∈∃使
0])([)
(=''='==ξξ
ϕx x x f x ，即0)(=''ξf
11、证明：当21x x =时不等式是显然成立的。

当21x x ≠时，不妨假设21x x <，令x an x f tan )(=，于是x x f arctan )(=在闭区间[1x ，2x ]上连续，在开区间（1x ，2x ）内可导，根据拉格朗日中值定理，存在∈ξ（1x ，2x ）使
))(()()(12/12x x f x f x f -=-ξ 即2
121211
)
(arctan arctan ξ
+-=-x x x x 于是122
121211
arctan arctan x x x x x x -≤+⋅
-=-ξ
习题2-7 1求下列各题的极限
解：（1）原式=1111lim 0=+→x x ； （2）原式=()6161213
2
)(32)(32lim )
(2
131lim a x x x a x a x ==→--→； （3）原式=13sin sin cos 3cos 3lim sin cos 3sin 3cos 3lim 00==++→→x
x x x x
x x x
x x ； （4）原式=2cos lim
0=+-→x e e x x x ； （5）原式=+∞=='
'=→--→-→2
2
2
/10
22/10
2
/10
lim )()(lim
lim
x
x x x x
x e x x e x e ；
（6）原式=111
11lim 2
2=+-
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++∞→x x x x x （7）原式=01
1
ln 2lim
)1()(ln 1
lim 1)(ln 11
lim )(ln )1ln(lim 121
2
1
1
1
=⋅-=--=--=-++
+
+
→→-→-→x x x x x
x
x x x x x x x x
（8）原式=2/11
1/1lim 11ln 11ln lim ln )1(1ln lim
2
111=+
=-+-+=-+-→→→x x x
x x x x x x x x x x x ；
（9）原式=1)](lim exp[]ln lim exp[]ln lim exp[]ln exp[sin lim 0
1
==-===++
++→-→→→e x x
x x x x x x x x x ； （10）原式=1]sin lim exp[]csc )(lim exp[]cot 1ln lim exp[]1ln exp[tan lim 02022000===--⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++→-→→→e x x x x x x x x x x x x x （11）原式=0)(ln !
lim
=+∞
→n
x x a a n ； （12）原式=1]sin ln exp[lim 030==⎪⎭⎫
⎝⎛→e x x x x 。

2、解：1/cos 1/sin 1lim cos sin lim
=+-=+-+∞→+∞
→x
x x x x x x x x x ，但x x
x sin 1cos 1lim
--+∞→不存在也不为无穷大，所以不满足罗必达法则的第三个条件，故不能用罗必达法则计算。

3、解：原式=)
(2
)()(2
)
()()()(lim
2)()(lim 00x f x f x f h x f h x f h x f h x f h h x f h x f h h ''=''+''=-'--'+
'-+'=-'-+'→→
4、解：因为)(x f 在1=x 处可导，故必在1=x 连续，所以)1ln(1)01()01(+=+⇒+=-a b f f (1) 11
)
1(lim 1)1()(lim )1(11
=-+-+=--='--
→→-
x b b x x f x f f x x ， 1
212lim 1)1()ln(lim 1)1()(lim )1(212
11
+=+=-+-+=--='+++
→→→+
a x a x
x b x a x f x f f x x x ，因为)(x f 在1=x 处可导 所以11
2)1()1(=+⇒'='+-
a f f （2）；由（1）和（2）得12ln ,1-==
b a 。

习题2-8
1、 解：因为24)4(,66)4(,74)4(,21)32154()4(,56)4()
4(4
23=='''=''=-+-='-==f
f f x x x f f x
又)4(,0)()(>=k x f k ，所以 432)4(!
424
)4(!366)4(!274)4(2156)(-+-+-+
-+-=x x x x x f 432)4()4(11)4(37)4(2156-+-+-+-+-=x x x x 2、 解：因为
)
7(0)(,720)0(720)(1280)0()32(144)(,720)0(12)32(36)(270
)0()32(6)32(6)(60)0()13(6)32)(13(6)(9
)0()32()13(3)(,1)0()()6()6()5()5()4(2)4(322222≥==⇒=-=⇒-==⇒+-=-='''⇒-+-='''=''⇒+-+-+-=''-='⇒-+-='=k x f f x f f x x f f x x f f x x x f f x x x x x x f f x x x x f f k
所以6
5432!
6720!51280!4720!3270!26091)(x x x x x x x f +-+-+
-= =6
5
4
3
2
930453091x x x x x x +-+-+-
3、 解法一：求出函数的在40=x 的零至四阶导数值，代入公式可得答案。

解法二：
)()4(4
21)4(41442)](4422112121!314412121!2144211[24412)44(334233
3
2
2
12
1
x x x x x x x x x x x +-⋅+---+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+-⋅+=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=-+
=
4、 解：因为.1,,2,1,0,!
)1()(1
)(+=-=+n k x
k x f k k
k 所以.,,2,1,0,!)1()(n k k f k =-=-
1
2
1221
)
1()1(1)1(])1()1()1(1[1)!1()1()(+++++++-++++++++-=⇒+-=n n n n n n n x x x x x n f
ξξξ 。

如果题目对余项没有要求，就有解法二：
))1((])1()1()1(1[)
1(1111112n n x x x x x x x +++++++++-=+--=++-= 5、 解：（1）
10724
.359049
157293913]
9123113131!319113131!2191311[39113327303
233
3
≈+-+=⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+≈+⋅=+= 误差544311
1088.19
12481240)91()911()!4(81240--⨯≈⨯≤+-θ (2)解: 3090.010!311010!4sin 10!311010sin 18sin 3
430
≈⎪⎭
⎫ ⎝⎛-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==πππξππ
π,
而误差=
4
5
51003.210!5110!
5sin -⨯≈⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛ππξ
.
6、 解：（1）原式=61)
(!31lim )(!31lim 3
3303330=
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→→x x x x x x x x x x 。

（注 原题中的减号应改 为乘号）
（2）原式=12/1)(!4181lim )(!4121)(22121lim 4
440444242
220=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-→→x x x x x x x x x x x x
习题2-9
1、 解：因为π200
sin 1)(≤≤≥-='x x x f ，所以)(x f 在区间]2,0[π上严格单调增加。

2、 证明：因为),(,0132+∞-∞∈>+='x x y ，所以x x y +=3在),(+∞-∞内严格单调增加。

3、解：因为0111)(2
≤-+='x
x f ,且只有当1=x 时0)(='x f ，所以在区间),(+∞-∞内)(x f 严
格单调减。

4、证明：因为
),0()0,(,012
2+∞⋃-∞∈>+=
'x x x y ，所以x x y 1
2-=在不含点
0=x 的任何区间上都是单调增加的。

5、解：（1）因为)
3)(1(6)32(61812622-+=--=--='x x x x x x y ，令0
='y ，得
3
,121=-=x x
列表如下
（2）因为
)
314()12()2()12()2(4)12()2(5343544-+-=+-++-='x x x x x x x y ，令
='y 得
2
,14/3,2
1
321==-=x x x
（3）因为223)
694(x x x y +-=',令0='y ，得2,121==x x 列表如下
(4)因为32)
()2(3)32(2x a a x x a y ---=
'
，令
='y 得321a
x =
，另外
a
x a x ==32,2是不可导点， 列表如下
（5）因为x
x x y )
12)(12(-+=
'
，令0='y 得21,2121=-=x x ，另外0=x 为不可导点 列表如下
（6）因为
)
,(,0112
+∞-∞∈>+=
'x x
y ，所以在
)
,(+∞-∞内单调增。

6证明：（1）令
x x x f +-+
=121
1)(，则)0(,0121112121)(>>+-+=+-='x x
x x x f ，所以)(x f 在)
,0[+∞上单调增，又0
)0()(0)0(=>⇒=f x f f ,所以
x
x +>+
12
1
1. (2)令2
21)1ln(1)(x x x x x f +-+++=,则0)1ln()(2>++='x x x f ,所以)(x f 在),(+∞-∞内
单调增,又
)0()(0)0(=>⇒=f x f f ,所以2
21)1ln(1x x x x +>+++.
(3)令,2tan sin )(x x x x f -+=则上在)2
,0(,0)0(π
=f
0)1sec 2(sin )(,0)0(2sec cos )(3"'2>-==-+='x x x f f x x x f ，,由此得)(x f ‘在
)
2,
0(π
内单调增,而0)0()(=>‘
’f x f ,所以内单增在故)2
,0()(,0)('πx f x f >
当x x x f x f x 2tan sin )0()(2
0>+⇒><
<时π
(4)令x x x f -=arctan )(,则0,01111
)(22
2≤≥+=-+='x x x x x f ,只有当0=x 时才有0)(='
x f ,
故)(x f 在]0,(-∞上单调增,又0)0()(0)0(=>⇒=f x f f ,所以0,arctan ≤≥x x x .
7、证明：令x x x f -=sin )(，则由0)0(=f 知0=x 是方程的一个根。

又,01cos )(≤-='
x x f 仅当Z k k x ∈=,π时0)(='x f 所以)(x f 在R 内单调增，故方程x
x =sin 最多只有一个根；综上
所述，结论成立。

8、解：令293)(23+--=x x x x f ，则)3)(1(3963)(2
-+=--='
x x x x x f ，又令0)(='x f 得
3
,121=-=x x ，列表如下
又+∞=-∞=+∞
→-∞→)(lim ,)(lim x f x f x x ，所以方程有三个实根，分别在)1,(--∞，)3,1(-，),3(+∞内。

9、答：不一定。

如x x x f +=sin )(在R 上单调增，但x x f cos 1)(+='
在R 上不是单调函数。

也可以考虑⎪
⎭⎫
⎝⎛-∈=+∞-∞∈=2,2,tan )();,(,)(3ππx x x f x x x f 等等。

10、解：（1）因为)1(6-='x x y ，令0='y 得1,021==x x ，又6)612(00-=-=''==x x x y ，
6
)
612(1
1=-=''==x x x y ，所以01=x 为极大值点，极大值为0)0(=f ，12=x 为极小值点，
极小值为1)1(-=f 。

（2）因为
2
3
2)54(512x x
y +-=
'，令
='y 得驻点
5
/12=x ,列表如下
所以极大值为10205820
41512==
⎪⎭⎫
⎝⎛f . (3)因为
1)1(2
2≥+-=
'x
x y ,故函数单调增,所以函数无极值.
(4)令
ln 12
1
=-=
'x
x x y x
,得驻点e
x =列表如下
所以极大值为e
e e
f 1)(=
.
(5)令0)12(2=-='
-x x e e y ,得驻点2ln -=x ,又0222
ln
>=''-=x y ,所以2ln -=x 是极
小值点,函数的极小值为22)2ln (=-f .
(6)因为0sec 12
>+='
x y ,所以函数单调增,故无极值.
11、解：（1）令0)3)(1(52=--='x x x y ，得函数在区间[-1，2]内的驻点为1,021==x x ，又
7
)2(,2)1(,1)0(,10)1(-===-=-f f f f ，所以最大值为2，最小值为-10。

（2）令
)
1()12(22
2=-+-=
'x x x y ，得驻点]1,0[2/1∈=x ，而在区间[0，1]内无不可导点，又
53
21,1)1(,1)0(=
⎪⎭⎫ ⎝⎛==f f f ，所以最大值为1，最小值为3/5。

（3）令
)
1(2)(2
2
2
2222=--+-=
'x x a x a x a b y ，得驻点)1,0(),1,0(∉--=∈+=a
b a x b a a x ,又011)(2)1(2233
23
2>⎪⎭
⎫
⎝⎛++=''⇒-+
=''+=
b a a b y x b x a y a
b a
x ,所以)1,0(∈+=b a a x 为最小值点,函数的最小值为2
)(a b a b a f +=⎪⎭
⎫
⎝⎛+. (4)令
1211=--
='x
y ,得驻点
43=
x ,又45
43,1)1(,65)5(=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-=-f f f ,所以最小值为
65)5(+-=-f ,最大值为4
5
43=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .
(5)令
12cos 2=-='x y ,得驻点
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-∈=
2,26πππ
x ,又6236,2)2(,22ππππππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f f ,
所以最大值为,22π
π=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 最小值为2)2(ππ-
=f . (6)因为
112
<+-
='x y ,所以函数单调减,故最大值为
41arctan )0(π
=
=f ,最小值为
)1(=f .
(7)因为⎪⎩⎪⎨⎧⋃-∈+-∈+--=]
10,2()1,10[,23]2,1[),
23()(2
2x x x x x x x f ,所以⎩⎨⎧⋃-∈-∈+-=']10,2()1,10[,32)2,1(,32)(x x x x x f ,令0
)(='x f 得驻点
)
2,1(2/31∈=x ,又
2
,132==x x 为不可导点,
,
72)10(,132)10(==-f f
41
23,0)2()1(=⎪⎭
⎫ ⎝⎛==f f f ,所以最大值为,132)10(=-f 最小值为0)2()1(==f f . 12解：由题意可得3
3)8()(x x x f -+=，令0)4(48)(=-='x x f 得唯一的驻点4=x ，故将8平
均分成两个部分的立方之和为最小。

13、解：如图，设内接圆柱体的半径为r ，则圆柱体的体积
h
r v 2
π=又422
h R r -=，所以)4(22h R h v -=π令04322=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-='h R v π得唯一驻点
32R h =
，即当
32R
h =
时，圆柱体的体积最大。

14、解：设所求直线与x
轴和y 轴的交点坐标为),0(),0,(y x ，由题目条件得
1
41
=+
y
x
，解得14-=
x x
y ，故目标函数为14-+=x x x z ，令0)1(412
=--='x z 得满足题目条件的驻点为3=x ，6
=y ，所以所求的直线方程为163=+y
x 。

15、证明：设2
2221)()()()(n x x x x x x x f -++-+-= ，令
)]([2)(2)(2)(2)(2121=+++-=-++-+-='n n x x x nx x x x x x x x f 得唯一的驻点
n x x x x n +++=
21，又02)(>=''n x f 所以n
x x x x n
+++= 21是函数的极小值点， 2
2221)()()()(n x x x x x x x f -++-+-= 在n
x x x x n
+++=
21时取得最小值。

16、解：设杆长为x
，则杆重为x 5，由杠杆原理有29
.425)(251.049x x F x x F x -='⇒⋅+⨯=⋅，
令
)(='x F 得唯一的驻点
4
.10=x 又
4
.18.93
4.1>=
''=x F ，故
4
.10=x 为极小值点，因而也是最
小值点。

所以杆长为1.4米最省力。

17、解：设挖去做漏斗的扇形顶角为ϕ,漏斗的上顶圆半径为r ,高为h
,则它们满足关系式:
⎩⎨⎧-==222r
R h R r ϕπ,因此2242,2ϕππϕπ-==R
h R r r
故漏斗的体积)2,0(,424316422
3
2πϕϕϕπππ∈-=
=R h r V ,
令
)
2,0(,4642πϕϕϕπ∈-=y ,由
X
的单调增加性质, y 与V 具有相同的最大值点.
令0)3
8
(6616223532=--=-='πϕϕϕϕπy 得)(ϕy y =在)2,0(π内的唯一驻点πϕ3620=.而当
πϕ36
20<
<时, 0>'y ,当πϕπ23
62<<时0<'y ,所以πϕ3620=是y 的极大值点,且是唯一的极值点.故它是y 的,从而也是V 的最大值点.因此,当挖去作漏斗的扇形顶角为
π3
6
2时,漏斗的容积最大. 习题2-10
1、求下列各函数的凹凸区间及拐点：
解：（1）因为106,31032-=''+-='x y x x y ，令0=''y 得3/50=x ，列表如下
（2）因为3
222
22222222)
3()9(6,)3()9(a x x a x a y a x a x x y +-=''++='，令0=''y 得a x x a x 3,0,3321==-=，列
表如下
（3）因为3420,5x y x y =''='，令0=''y 得00=x ，列表如下
拐点为（0，0）。

（4）因为0)1(12,)1(423>++=''++='x x e x y e x y ,所以函数在),(+∞-∞内为凹函数,无拐点.
(5) 因为2
2arctan 2
arctan )1(21,11x x e y x e
y x
x
+-=''+='，令0=''y 得2/10=x ，列表如下
拐点为),2/1(21arctan
e。

（6）因为2
222
)1()1(2,12x x y x x y +-=
''+=
'，令0=''y 得1,121=-=x x ，列表如下
（7）因为x x y x x y ln 144),4ln 12(423=''-='，令0=''y 得1,021==x x ，又0不在定义域内，列表如下
（8）因为)2(),1(-=''-='--x e y x e y x x ，令0=''y 得21=x ，列表如下
拐点为)2,2(2-e 。

2、解：因为b ax y bx ax y 26,232+=''+='，又（1，3）为拐点，所以b a b a 260,3+=+=解方程得2
9
,23=-=b a 。

3、解：32228)1(622)1(3,2)1(3t
t t t t y t t y -='
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''+='，令0=''y 得1,110=-=t t ，又02=t 为不可导点，列表如下
4、解：因为)1(12),3(42
2-=''-='x k y x kx y ，令0=''y 得1,121=-=x x ，列表如下
拐点为)4,1(),4,1(k k -。

切线的斜率k k k k 8,821-==，所以通过原点的拐点处的法线方程为2
418148181±=⇒=⇒=-
=k k k x k y x k y 和。

5、解：（1）因为∞=∞==→-→∞
→y y y x x x 1
1
lim ,lim ,0lim ，所以0=y 是水平渐进线，1±=x 是铅直渐进线。

（2）因为
3)1()33(lim )1(lim )(lim ,1)1(lim lim ,lim 3323434
1-=+++-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=-=+=∞=∞→∞→∞→∞→∞→-→x x x x x x x x y x x x x y y x x x x x x 所以1-=x 是铅直渐进线，3-=x y 是斜渐进线。