27.28错位相减法 裂项相消

错位相减法
[典例](2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1n 项和T n .
[解](1)设{a n }的公比为q ，
由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2.
又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2，
所以a n ＝2n .
(2)由题意知，
S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2
＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，
所以b n ＝2n ＋1.
令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12
n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1
＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1
，两式相减得
12T n ＝32＋＋122＋…－2n ＋12n ＋1＝32
＋1－1－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1
，所以T n ＝5－2n ＋52
n .[变透练清]
1.(变结论)若本例中a n ，b n 不变，求数列{a n b n }的前n 项和T n .解：由本例解析知a n ＝2n ，b n ＝2n ＋1，故T n ＝3×21＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n ，2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n ＋1)×2n ＋1，上述两式相减，得，－T n ＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n ＋1)2n ＋1
＝6＋8(1－2n－1)
1－2
－(2n＋1)2n＋1
＝(1－2n)2n＋1－2
得T n＝(2n－1)×2n＋1＋2.
1．用裂项法求和的裂项原则及消项规律2．常见的拆项公式
(1)1
n(n＋1)＝1
n－
1
n＋1；
(2)1
(2n－1)(2n＋1)＝
(3)
1
n＋n＋1
＝n＋1－n；
1.在等差数列{a n}中，a3＋a5＋a7＝6，a11＝8
n项和为()
A.n＋1
n＋2
B.n
n＋2
C.n n＋1
D.2n n＋1
解析：选C因为a3＋a5＋a7＝6，所以3a5＝6，a5＝2，又a11＝8，
所以等差数列{a n}的公差d＝a11－a5
11－5
＝1，
所以a n＝a5＋(n－5)d＝n－3，
所以
1
a n＋3·a n＋4＝
1
n(n＋1)＝
1
n－
1
n＋1，
n项和为1－1
2＋
1
2－
1
3＋…＋
1
n－
1
n＋1＝1－
1
n＋1＝
n
n＋1，故选
C.
2.各项均为正数的等比数列{a n}中，a1＝8，且2a1，a3,3a2成等差数列．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足b n＝1
n log2a n，求{b n
}的前n项和S n.
解：(1)设等比数列{a n}的公比为q(q>0)．
∵2a1，a3,3a2成等差数列，
∴2a3＝2a1＋3a2，即2a1q2＝2a1＋3a1q，
∴2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12
(舍去)，∴a n ＝8×2n －1＝2n ＋
2.(2)由(1)可得b n ＝1n log 22n ＋2＝1n (n ＋2)＝
∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋
b n
－13＋12－14＋13－15
＋…＋1n －
＋12－1n ＋1
－＝34－
＝34－2n ＋3
2(n ＋1)(n ＋2).。