高中数学竞赛指导（第四讲）

⾼中数学竞赛指导（第四讲）
第四讲三⾓函数性质及其应⽤
赛点直击
⼀、三⾓函数线及其应⽤
在单位圆中（如图所⽰），设单位圆与x轴正向交于A 点,与y轴正向交于B点，并设α⾓与单位圆交于P点，过P点作PM⊥x轴与M点，过A点作AT⊥x轴交α终边或其延长线（α在⼆三象限）于T点，过B点作BS⊥y 轴交α终边或其延长线（α在三四象限）于S点，则
sinα＝→
MP 的数量，cosα＝
→
OM 的数量
tanα＝→
AT 的数量，cotα＝
→
BS的数量y
由单位圆中函数线不难看出：
（1）|sinα|≤1 ，|cosα|≤1；
（2）sin α＜α＜tan α , α∈(0,π2
) (实质为S ΔOPM ＜S 扇形OPA ＜S ΔOAT )
⼆、三⾓函数值
1.三⾓函数的诱导公式(不列出，参照课本)
2.⼋个基本关系
平⽅关系：sin 2α＋cos 2α＝1, tan 2α＋1＝sec 2α, cot 2α＋1＝csc 2α .
商的关系：tan α＝sin αcos α , cot α＝cos αsin α
. 倒数关系：csc α＝1sin α , sec α＝1cos α
, cot α＝1tan α
. 三、三⾓函数的性质
1.正、余弦函数的有界性
2.三⾓函数的单调性
3.三⾓函数的奇偶性
4.三⾓函数的周期性
赛题解析
【例⼀】设x ∈[0,π]，试⽐较cos(sinx)与sin(cosx)的
⼤⼩.
解：令x ＝0,π2
,π，分别代⼊cos(sinx)和sin(cosx)，易得: cos(sinx)＞sin(cosx);
⼜当π2＜x ＜π时，0＜sinx ＜1＜π2, －π2
＜－1＜cosx ＜0,则cos(sinx)＞0＞sin(cosx).
下⾯证明当0＜x ＜π2
时，cos(sinx)＞sin(cosx),即只需证明sin(π2
－sinx)＞sin(cosx) 因为0＜x ＜π2，则0＜π2－sinx ＜π2,0＜cosx ＜1＜π2
.故只需证明：π2－sinx ＞cosx ，即证明：sinx ＋cosx ＜π2
,⽽sinx ＋cosx ≤2＜π2
成⽴. (注：最后⼀步是因为sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4
)≤2).
【例⼆】已知x 是第⼆象限⾓，且sinx ＋cosx ＝a(|a|≠1)，
求下列各式的值：
(1)tanx －cotx;
(2)1－sinx 1＋sinx ＋1－cosx 1＋cosx
. 解：（1）tanx －cotx ＝(sinx －cosx)(sinx ＋cosx)sinxcosx
. 根据sinx ＋cosx ＝a ，两边平⽅得：1＋2sinxcosx ＝a 2 , 即有sinxcosx ＝a 2－12 . 于是(sinx －cosx)2＝2－a 2 ⼜x 是第⼆象限⾓，则sinx －cosx ＝2－a 2，因此，tanx －cotx ＝2a 2－a 2a 2－1.
(2) 1－sinx 1＋sinx ＋1－cosx 1＋cosx ＝1－sinx －cosx ＋1－cosx sinx
＝(sinx －cosx)( sinx ＋cosx ＋1)sinxcosx ＝22－a 2a ＋1
. 【说明】由sinx ±cosx ＝a 可以推出sinxcosx ＝±a 2－12
，并可求出关于sinx,cosx 的任意⼀个对称式，如sin 3x ＋
cos 3x ,sin 2x cosx ＋cos 2
x sinx
等的值.
【例三】求证：
ab ≤(asin 2x ＋bcos 2x)(bsin 2x ＋acos 2x)≤(a ＋b)24 (a ,b ＞0).
【分析】从中间向左右两侧变形在于消x，联想公式sin2α＋cos2α＝1，可以考虑通过不等变换，凑出sin2x＋cos2x 结构.证明：因为a ,b＞0，且sin2x＋cos2x＝1，则
(asin2x＋bcos2x)(bsin2x＋acos2x)
≤[(asin2x＋bcos2x)＋(bsin2x＋acos2x)
2
]2＝
(a＋b)2
4
⼜ (asin2x＋bcos2x)(bsin2x＋acos2x)
＝(a2＋b2)sin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x)
≥2absin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x)
＝ab(sin2x＋cos2x)2＝ab.
故原不等式成⽴.
【例四】已知函数f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x＋Ax＋
B,|f(x)|在0≤x≤3π
2
上的最⼤值M与参数A、B
有关，问A、B取什么值时M最⼩？并证明之. 【分析】解决⼀个问题⾸先应考虑简化，题中函
数f(x)可看作函数2sin(2x＋π
4
)和函数Ax＋B
相加⽽成，2sin(2x＋π
4
)为静态的，Ax＋B为动
态的（相对于f(x)的最值⽽⾔），本题主要考虑
Ax ＋B 对f(x)的最⼤值和最⼩值的影响，借助图
像可以使问题分析更直观.
解：由函数解析式化简得：f(x)＝2sin(2x ＋π4
)＋Ax ＋B. 令g(x)＝2sin(2x ＋π4
),
x ∈[0,3π2
];h(x)＝Ax ＋B,
x ∈[0,3π2
]. 作出函数h(x)＝Ax ＋B,
x ∈[0,3π2]和g(x)＝2sin(2x ＋π4
), x ∈[0,3π2
]的图像，如图所⽰当x ＝π8,9π8
时，g(x)取得最⼤值 2. 当x ＝5π8时，g(x)取得最⼩值－ 2.
当h(π8)＞0或h(9π8
)＞0时，f max ＞2,∴ M ＞ 2. 当h(π8)＜0且h(9π8)＜0时，h(5π8
)＜0, ∴f min ＜－2, ∴ M ＞ 2
当h(π8)＝h(9π8
)＝0时，f max ＝2, f min ＝－2,∴ M ＝ 2. 此时A ＝B ＝0，即A ＝B ＝0时，M 有最⼩值 2.【例五】求证：在区间(0,π2
)内存在唯⼀的实数对(c,d)，c,d ∈(0,π2
),且c ＜d ，sin(cosc)＝c, cos(sind)＝d 使得成⽴.
【分析】本题实质上是⽅程sin(cosx)＝x 和
cos(sinx)＝x 的解的问题.
解：设函数f(x)＝sin(cosx)－x, x ∈[0,π2
]，则f(x)在其定义域上是连续函数，任取x 1,x 2∈[0,π2
]，使得x 1＜x 2 f(x 1)＝sin(cosx 1)－x 1 , f(x 2)＝sin(cosx 2)－x 2 .
由于y ＝cosx 在[0,π2
]单调递减，则cosx 1＞cosx 2，且cosx 1、cosx 2∈[0,π2]，⽽y ＝sinx 在[0,π2
]上是单调递增的，所以， sin(cosx 1)＞sin(cosx 2).
⼜因x 1＜x 2，则sin(cos x 1)－x 1＞sin(cos x 2)－x 2 ，即
f(x 1)＞f(x 2).所以f(x)在[0,π2
]上是减函数. ⼜f(0)＝sin1＞0,f(π2)＝－π2
＜0,故f(x)的图像在区间(0,π2)上与x 轴有唯⼀交点，即存在唯⼀实数c ∈(0,π2
)使得等式sin(cosc)＝c 成⽴.
同理可证明存在唯⼀实数d ∈(0,π2
),使得等式cos(sind)＝d 成⽴.
因为cos(sind)＝d ，所以sin(cos(sind))＝sind.
⼜sind ∈(0,π2),⽽在(0,π2
)内只有唯⼀解c 使sin(cosc)＝c 成⽴，故c ＝sind.
当x ＞0时，sinx ＜x 成⽴，则sind ＜d,于是c ＜d,命题成⽴.
【例六】设0≤a ≤1,且0≤x ≤π,试证明：
(2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x ≥0
【分析】可以从等式的符号分析⼊⼿，考虑到当0≤a ≤1且
0≤x ≤π时，sinx ＞0, sin(1－a)x ＞0, 1－a ＞0,所以当12
＜a ≤1时，(2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x ≥0成⽴；当0
≤a ≤12
时，(2a －1)sinx ≤0.故可将所证不等式变形为(1－a)sin(1－a)x ≥(1－2a)sinx ，能否将其转化为某⼀函数的两函数值关系问题？这⼀函数是什么？是xsinx ，还是sinx x
证明：显然，当0≤x ≤π时，有sinx ≥0, sin(1－a)x ≥0.
当a ∈[0,12
]且x ＝0时, (2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x ＝0.
下⾯证明a ∈[0,12
]，0＜x ≤π时的情形. 定义函数f(x)＝sinx x ,0＜x ≤π,对于任何0＜x ＜x ＋δ≤π2
有tanx ≥x 及sin(x ＋δ)＝sinxcos δ＋sin δcosx ≤sinx ＋cosx.
则：sinx x －sin(x ＋δ)x ＋δ＝(x ＋δ)sinx －xsin(x ＋δ)x(x ＋δ)
≥(x ＋δ)sinx －x(sinx ＋δcosx)x(x ＋δ)
＝δcosx(tanx －x)x(x ＋δ)
≥0. 所以f(x)＝sinx x 在(0,π2)上递减，⽽sinx 在[π2
,π]上递减，故f(x)＝sinx x 在[π2
,π]上递减，由此推知对任何x, 0＜x ≤π,0≤a ≤12,有 sinx x ≤sin(1－a)x (1－a)x
, 得： sinx ≤sin(1－a)x 1－a
. ⼜(1－a)2＝1－2a ＋a 2＞1－2a ＞0,则
sin(1－a)x 1－a ≤1－a 1－2a
·sin(1－a)x. 于是 sinx ≤1－a 1－2a
·sin(1－a)x , 即 (2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x ≥0.
(本题证明函数f(x)＝sinx x
的单调性⽤求导数的⽅法更简单)
巩固练习
1. 设a ＝xcos θ＋ysin θ,b ＝xsin θ＋ycos θ，当|x|≠|y|≠0时，对任意实数x,y,θ，则有( )
A. a ＝b ＝0
B. a, b 不同时为零
C ．a ≠0且b ≠0 D.a 2＋b 2＝1
2. 对任意实数x,y ，设a ＝cosx 2＋cosy 2－cosxy ，则a 的取值范围是( )
A. [－3,3]
B. (－3,3)
C. [－1,3)
D. (－1,3]
3. 平⾯上有两个定点A,B ，任意放置4个点C 1,C 2,C 3,C 4，且与A,B 两点不重合，若存在点C i ,C j (i ≠j)，使不等式|sin ∠AC i B －sin ∠AC j B|≤13
成⽴，则称(C i ,C j )为⼀个点对，那么这样的点对( )
A. 不存在
B.⾄少有⼀个
C.⾄多有⼀个
D.恰有⼀个
4. 若θ∈(π2,3π4
)，sin2θ＝a,则sin θ＋cos θ等于( ) A. a ＋1＋a 2－a B. －a －1
C. a ＋1－a 2－a
D. a ＋1
5. 对0≤θ≤π2
，使cos 2θ＋2msin θ－2m －2＜0成⽴的实数m 的取值范围是( )
A. 1－2＜m ＜1＋ 2
B. －12
＜m ＜1 C. m ＞－12
D. 0＜m ＜1
6. 已知锐⾓α满⾜cos α＝35, cos(α＋β)＝－513
，则β⼀定位于( )
A. 第⼀象限⾓
B.第⼀或第三象限⾓
C.第三象限⾓
D.第⼀或第四象限⾓
7. 函数y ＝3－sinx 1＋cosx
的最⼩值是( ) A. 1 B. 4 C. 43 D. －43
8. 若α, β∈(0,π2
)，则必定有( ) A. cos(α＋β)＞cos α＋cos β
B. cos(α＋β)＜cos α＋cos β
C. cos(α＋β)＞sin α＋sin β
D. cos(α＋β)＜sin α＋sin β
9. ⽅程sin 2x ＋3a 2cosx －2a 2(3a －2)－1＝0有解，则a 的取值范围是( )
A. －12≤a ＜1
B. a ＞1或－13＜a ＜12
C. －13＜a ＜23
D. 12
≤a ≤1 10. A 为ΔABC 的⼀个内⾓,且sinA ＋cosA ＝712
,则ΔABC 是( )
A. 钝⾓三⾓形
B.锐⾓三⾓形
C.直⾓三⾓形
D.正三⾓形
11. 对于任何x ∈(0,π2
),则下列结论成⽴的是( ) A. sin(sinx)＜cosx ＜cos(cosx)
B. sin(sinx)＞cosx ＞cos(cosx)
C. sin(cosx)＞cosx ＞cos(sinx)
D. sin(cosx)＜cosx ＜cos(sinx)
12. 当x 在任意两个整数间(包括整数本⾝)变动时,函数y
＝3tan (2k －1)πx 5
(k ∈Ζ)⾄少有两次失去意义,则k 的最⼩正整数值为( )
A. 6
B.5
C.4
D.3
13. 函数y ＝(sinx ＋1)(cosx ＋1),(－π6≤x ≤π2
)的最⼩值为 .
14. y ＝(13
)lgcosx 的单调递减区间是 15. y ＝－tanx －1＋16－x 21－㏒sinx
3
2
的定义域是 16. 函数f(x)＝acosx ＋bsinx,其中a,b 为实常数,若存在x 1,x 2,且x 1≠x 2＋k π(k ∈Ζ),使得|f(x 1)|＋|f(x 2)|＝0成⽴,则函数f(x)的值域为
17. ⽅程sinx ＋cosx ＝－k 在区间[0,π]上有两个不相等实根,则实常数k 的取值范围是
18. 如果tan α,tan β是关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2＋px ＋q
＝0的两根,则 sin(α＋β)cos(α－β)
＝ 19. 若α,β,γ是锐⾓,且cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1,则tan αtan βtan γ的最⼩值等于20. 设A ＝sin(sin 3π8),B ＝sin(cos 3π8
), C ＝cos(sin 3π8),D ＝cos(cos 3π8
),试⽐较A,B,C,D 的⼤⼩ 21. 若整数n ⽤7除余1、3或4，证明：
cos(n 7π－1314π)＋cos(37n π－314π)＋cos(57n π－314
π)＝0 22. a,b,A,B 都是实数，若对于⼀切实数x ，都有
f(x)＝1－acosx －bsinx －Acos2x －Bsin2x ≥0.求证： a 2＋b 2≤2 , A 2＋B 2≤1.
参考答案：1~5:B B B D C 6~10:B C B A A 11 ~12:D A 13.2＋34 14.[2k π,2k π＋π2 ),k ∈Ζ
15.[－4,－5π
4
)∪(
π
2
,
2π
3
)∪(
2π
3
,
3π
4
) 16.﹛0﹜
17.[1,2] 18. －
p
q＋1
19.22(构造
长⽅体解) 20.B＜C＜A＜D 21.略 22.提⽰：
取特殊点x, x＋π和x, x＋π
2
代⼊。