213 整式(三)多项式(解析版)

2.1.3整式（三）多项式
多项式的相关概念
题型一：多项式的判定
【例题1】（2019·郑州枫杨外国语学校七年级期中）对于式子：22x y
+，2a b ，12
，3x 2＋5x －2，abc ，0，2x y x +，
m ，下列说法正确的是( ) A ．有5个单项式，1个多项式 B ．有3个单项式，2个多项式 C ．有4个单项式，2个多项式 D ．有7个整式
【答案】C
【分析】分别利用多项式以及单项式的定义分析得出答案． 【详解】
22x y +，2a b ，12，3x 2+5x ﹣2，abc ，0，2x y x +，m 中：有4个单项式：1
2
，abc ，0，m ； 2个多项式为：
22
x y
+，3x 2+5x -2．故选C ． 点睛：此题主要考查了多项式以及单项式，正确把握相关定义是解题关键．
知识点管理 归类探究 多项式：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式的每一项包括它前面的符号． 一个多项式含有几项，就叫几项式．
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
变式训练
【变式1-1】（2019·珠海市第十一中学七年级期中）下列判断中，错误的是( ) A ．1a ab --是二次三项式 B ．22a b c -是单项式
C ．
2
a b
+是多项式 D ．3
4R π中，系数是34
【答案】D
【分析】直接利用单项式的系数以及多项式的次数与项数确定方法分别分析得出答案； 【详解】A 选项：1−a−ab 是二次三项式，正确，不合题意； B 选项：22a b c -是单项式，正确，不合题意； C 选项：2
a b
+是多项式，正确，不合题意；
D 选项：3
4R π中，系数是34π，故此选项错误，符合题意；
故答案为D.
【点睛】本题主要考查了单项式，多项式的定义，掌握单项式和多项式的定义是解题的关键.
【变式1-2】（2021·山东德州市·七年级期末）在下列各式：12
ab ，2a b
+，ab 2+b+1，﹣9，x 3+x 2﹣3中，多
项式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
【答案】B
【分析】直接利用多项式的定义分析得出答案．
【详解】12
ab ，2a b +，ab 2+b+1，-9，x 3+x 2-3中，多项式有：2a b
+，ab 2+b+1，x 3+x 2-3共3个．
故选B ．
【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握多项式定义是解题关键．
【变式1-3】（2020·全国七年级课时练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上．
①2
2
3
a b ab b ++；①2a b +；①23
xy -；①0；①3y x -+；①2xy a ；①2
23x y +；①2x ；①2x ．
（1）单项式：_______________； （2）多项式：_______________； （3）整式：_________________； （4）二项式：_______________．
【答案】①①① ①①① ①①①①①① ①①
【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解． 【详解】（1）单项式有：①2
3
xy -，①0，①2x ；
（2）多项式有：①223a b ab b ++，①2
a b +，①3y
x -+；
（3）整式有：①2
2
3
a b ab b ++，①2a b +，①2
3
xy -，①0，①3y x -+，①2x ；
（4）二项式有：①
2
a b +，①3y
x -+；
故答案为：（1）①①①；（2）①①①；（3）①①①①①①；（4）①①
【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义． 题型二：多项式的项、项数和次数
【例题2】（2021·内蒙古七年级期末）下列说法中，不正确的是（ ） A ．2ab c -的系数是1-，次数是4 B ．
13
xy
-是整式 C ．2631x x -+的项是26x 、3x -，1 D ．22R R ππ+是三次二项式
【答案】D
【分析】根据单项式的系数、次数，可判断A ，根据整式的定义，可判断B ，根据多项式的项是多项式中每个单项式，可判断C ，根据多项式的次数是多项式中次数最高项的单项式的次数，可判断D ． 【详解】A. −ab 2c 的系数是−1，次数是4，故A 正确； B.
xy
3
−1是整式，故B 正确； C. 6x 2−3x+1的项是6x 2、−3x ，1，故C 正确； D. 2πR+πR 2是二次二项式，故D 错误； 故答案选：D.
【点睛】本题考查了整式的知识点，解题的关键是熟练的掌握整式的概念与运算法则. 变式训练
【变式2-1】（2021·石家庄市长安区启明星教育培训学校九年级期末）在多项式﹣3x 3﹣5x 2y 2+xy 中，次数最高的项的系数为( ) A ．3 B ．5
C ．﹣5
D ．1
【答案】C
【分析】多项式是几个单项式之和，单项式的次数是其所有字母的指数之和.
【详解】解：在多项式﹣3x 3﹣5x 2y 2+xy 中，次数最高的项是﹣5x 2y 2，其系数为：﹣5． 故选C ．
【点睛】本题考查了多项式的定义以及单项式的系数和指数.
【变式2-2】（2019·贵州省施秉县第二中学七年级月考）多项式 3x 2+2 是______次______项式. 【答案】二 二
【分析】直接利用多项式的次数和项数的确定方法进行分析，即可得到答案. 【详解】多项式 3x 2+2 是二次二项式.故答案为二、二.
【点睛】本题考查多项式，解题的关键是掌握多项式的次数和项数的确定方法. 题型三：多项式的系数、指数中字母求值
【例题3】（2019·山东七年级期末）多项式1
12
m x -﹣3x+7是关于x 的四次三项式，则m 的值是_____．
【答案】5
【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数进行分析即可． 【详解】解：①多项式1
12
m x -﹣3x+7是关于x 的四次三项式，
①m ﹣1＝4， 解得m ＝5， 故答案为：5．
【点睛】此题考查的是多项式的次数,掌握多项式的次数的定义是解决此题的关键. 变式训练
【变式3-1】（2021·山东聊城市·七年级月考）已知多项式x |m |+（m ﹣2）x ﹣10是二次三项式，m 为常数，则m 的值为_____． 【答案】-2
【详解】因为多项式x |m|＋（m －2）x －10是二次三项式， 可得：m−2≠0，|m|=2， 解得：m=−2， 故答案为−2
【变式3-2】如果多项式32242(176)x x kx x +-+-中不含2x 的项，则k 的值为__． 【答案】2
【分析】先去括号，再根据“不含2x 的项”列出式子求解即可得． 【详解】3223242(176)4(2)176x x kx x x k x x +-+-=+--+， 由题意得：20k -=，
解得2k =， 故答案是：2．
【点睛】本题考查了去括号、多项式中的无关型问题，熟练掌握去括号法则是解题关键． 【变式3-3】（2021·贵州九年级一模）若多项式||
22(2)1m n xy n x y 是关于
x ，y 的三次多项式，则mn =_____．
【答案】0或8
【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案． 【详解】解：多项式||
22
(2)1m
n xy n x y 是关于x ，y
的三次多项式，
20n ∴-=，1||3m n ，
2n ∴=，||2m n ， 2m n ∴-=或2n m ，
4m ∴=或0m =，
0mn
或8．
故答案为：0或8．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键． 题型四：多项式按某个字母升幂（降幂）排列
【例题4】（2020·锡林浩特市第六中学七年级期中）将多项式32225x x x --++按降幂排列，正确的是（ ） A ．x 3-2x+2x 2+5 B ．5-2x+2x 2-x 3 C ．-x 3+2x 2+2x+5 D ．-x 3+2x 2-2x+5
【答案】D
【分析】找出多项式的各项，根据各项字母指数的大小，按降幂排列即可. 【详解】解：将多项式32225x x x --++按降幂排列为： 32225x x x -+-+，
故答案为D ．
【点睛】本题考查多项式幂的排列.各项的指数是逐渐变大(或变小)排列的多项式，叫做升幂排列与降幂排列. 变式训练
【变式4-1】（2018·河南七年级期末）对于多项式2x 2+321
53
x x +-，按x 的升幂排列正确的是（ ）
A ．2
312235x x x -+++
B ．2
321253
x x x ++
- C ．32
12235
x x x -+++
D ．32
21253
x x x ++-
【答案】A
【分析】根据升幂排列的定义,将多项式的各项按照x 的指数从小到大排列起来. 【详解】解：根据升幂排列的定义，原式=2
312235
x x x -+++，
故选A.
【点睛】本题主要考查多项式及其升幂排列方式.
【变式4-2】（2018·惠民县胡集镇中学七年级期末）将代数式4a 2b +3ab 2﹣2b 3+a 3按a 的升幂排列的是_____． 【答案】﹣2b 3+3ab 2+4a 2b+a 3．
【分析】找出a 的次数的高低后,由低到高排列即可得出答案. 【详解】可得出﹣2b 3+3ab 2+4a 2b+a 3．
【点睛】本题考查了代数式中的次数，熟悉掌握次数的概念和细心是解决本题的关键. 【变式4-3】（2018·全国七年级单元测试）2xy 2+x 2y 2﹣7x 3y +7按x 的降幂排列：__________________________________． 【答案】3222727x y x y xy -+++
因为按x 的降幂排列即从左向右x 的次数从高到低依次递减,
故答案为:3222
727x y x y xy -+++. 整式的相关概念
题型五：整式的判定
【例题5】（2020·重庆十八中两江实验中学七年级期中）下列各式﹣1
2mn ，m ，8，1a
，x 2+2x +6，25
x y
-，24x y
π
+，
1
y
中，整式有（ ） A ．3 个 B ．4 个
C ．6 个
D ．7 个
【答案】C
【分析】根据整式的定义，结合题意即可得出答案
【详解】整式有﹣12mn ，m ，8，x 2
+2x +6，25x y -，
24x y π
+ 故选C
【点睛】本题主要考查了整式的定义，注意分式与整式的区别在于分母中是否含有未知数． 变式训练
整式：单项式与多项式统称为整式．
【变式5-1】（2019·天津市静海区沿庄镇中学七年级月考）下列代数式中：1x ，2x y +，213
a b ，x y π-，54y
x ，
0，整式有（ ） 个 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个
【答案】B
【详解】试题解析：212,,
,03π
x y
x y a b -+是整式，共4个. 故选B.
点睛：分母中不含字母的式子即为整式.
【变式5-2】（2019·湖北七年级期末）下列代数式中，整式为（ ）
A ．x+1
B ．
11
x + C
D ．
1
x x
+ 【答案】A
【详解】【分析】直接利用整式、分式、二次根式的定义分析得出答案． 【详解】A 、x+1是整式，故此选项正确；
B 、
1
x 1
+是分式，故此选项错误；
C D 、
x 1
x
+是分式，故此选项错误， 故选A ．
【点睛】本题考查了整式、分式、二次根式的定义，熟练掌握相关定义是解题关键．
【变式5-3】（2018·湖北全国·七年级课时练习）在代数式a 2+1，﹣3，x 2﹣2x ，π，1
x
中，是整式的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】C
【分析】单项式和多项式统称为整式，分母中含有字母的不是整式.
【详解】解：a 2+1和 x 2﹣2x 是多项式，-3和π是单项式，1
x
不是整式，①单项式和多项式统称为整式，①
整式有4个. 故选择C.
【点睛】本题考查了整式的定义. 题型六：数字类规律探究
【例题6】（2020·四川省射洪县射洪中学七年级月考）一列数，按一定规律排列：－1，3，－9．27，－81，
…,
从中取出三个相邻的数，若三个数的和为a，则这三个数中最大的数与最小的数的差为（）
A．8
7
a B．
8
7
|a|C．
12
7
|a|D．
12
7
a
【答案】C
【详解】解：①该列数为：﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…，①该列数中第n个数为﹣（﹣3）n﹣1（n为正整数）．设
该三个相邻数中间的数为x，则左边的数为﹣1
3
x，右边的数为﹣3x，根据题意得：﹣
1
3
x+x﹣3x=a，解得：
x=
3
7
a
-，①相邻的三个数为
1
7
a，
3
7
a
-，
9
7
a．最大的数与最小的数的差为：
9312
()
777
a a a
--=．故选C．
点睛：本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
变式训练
【变式6-1】（2019·河北石家庄市·九年级二模）如图1是一个由1～28的连续整数排成的“数阵”．如图2，用2×2的方框围住了其中的四个数，如果围住的这四个数中的某三个数的和是27，那么这三个数是a，b，c，d中的_____．
【答案】a，b，d或a，c，d
【分析】分情况讨论：①若这三个数分别是a、b、c时，①若这三个数分别是a、b、d时，①若这三个数分别是b、c、d时，①若这三个数分别是a、c、d时；再根据所有数字都是整数进行判断，即可得到答案.【详解】解：①若这三个数分别是a、b、c时，依题意得：a+b+c＝a+a+1+a+7＝27．
此时
19
3
a=，不合题意，舍去．
①若这三个数分别是a、b、d时，依题意得：a+b+d＝a+a+1+a+8＝27．此时a＝6，符合题意．
①若这三个数分别是b、c、d时，依题意得：b+c+d＝a+1+a+7+a+8＝27．
此时
11
3
a=，不合题意，舍去．
①若这三个数分别是a、c、d时，依题意得：a+c+d＝a+a+7+a+8＝27．此时a＝4，符合题意．
综上所述，符合题意的组合为：a，b，d或a，c，d．
故答案是：a，b，d或a，c，d．
【点睛】本题考查数字类规律，解题的关键是分情况讨论，再根据所有数字都是整数进行判断.
【变式6-2】（2020·湖北七年级月考）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=____．
【答案】110
【详解】试题分析：根据前三个正方形中的数字规律可知：C所处的位置上的数字是连续的奇数，所以c=9，而a所处的位置上的数字是连续的偶数，所以a=10，而b=ac+1=9×10+1=91，所以a+b+c=9+10+91=110．
考点：数字规律．
【变式6-3】（2019·保定市第一中学分校八年级期末）观察以下等式：
第1个等式：1010
1 1212
++⨯=，
第2个等式：1111
1 2323
++⨯=，
第3个等式：1212
1 3434
++⨯=，
第4个等式：1313
1 4545
++⨯=，
第5个等式：1414
1 5656
++⨯=，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：；
（2）写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.
【答案】（1）1515
++=1
6767
；（2）
1111
++=1
11
n n
n n n n
--
⋅
++
，证明见解析.
【详解】【分析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；
（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证.
【详解】（1）观察可知第6个等式为：1515
1 6767
++⨯=，
故答案为1515
1 6767
++⨯=；
（2）猜想：1n-11n-1
1 n n1n n1
++⨯=
++
，
证明：左边=1n-11n-1n n 1n n 1++⨯++=n 1n n-1n-1n n 1++++（）（）=n n 1n n 1++（）（）
=1， 右边=1，
①左边=右边， ①原等式成立， ①第n 个等式为：1n-11n-1
1n n 1n n 1
++⨯=++， 故答案为
1n-11n-11n n 1n n 1
++⨯=++. 【点睛】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键. 题型七：图形类规律探究
【例题7】（2020·福建七年级期中）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O 点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A 1，第2次移动到A 2，第3次移动到A 3，……，第n 次移动到A n ，则①OA 2A 2019的面积是（ ）
A ．504
B ．
1009
2
C ．
1011
2
D ．1009
【答案】B
【分析】观察图形可知：2n OA n =，由2016OA 1008=，推出2019OA 1009=，由此即可解决问题． 【详解】观察图形可知：点2n A 在数轴上，2n OA n =，
2016OA 1008=，
2019OA 1009∴=，点2019A 在数轴上， 22019
OA A 11009S
1009122
∴=
⨯⨯=， 故选B ．
【点睛】本题考查三角形的面积，数轴等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 变式训练
【变式7-1】（2021·河北九年级其他模拟）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一
组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）
A．
1
100
B．
1
20
C．1
101
D．
2
101
【答案】D
【分析】根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n=()
1
2
n n
+
个正方体，最下面有n个带“心”字正方
体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：由图可知：
第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；
第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；
第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；
第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；...
第n个图形共有1+2+3+4+...+n=()
1
2
n n
+
个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；
则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100=()
1100100
2
+
=5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；
①从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是1002 5050101
=，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．
【变式7-2】（2021·湖北七年级期末）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第①个图中有5张黑色正方形纸片，第①个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规
律排列下去第①个图中黑色正方形纸片的张数为（）
A．11B．13C．15D．17
【答案】B
【分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个，由此得到规律求得第①个图形中正方形的个数即可．
【详解】观察图形知：
第一个图形有3个正方形，
第二个有5=3+2×1个，
第三个图形有7=3+2×2个，
…
故第①个图形有3+2×5=13（个），
故选B．
【点睛】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
【变式7-3】（2020·保定市清苑区北王力中学七年级期末）如图所示是一组有规律的图案，第l个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为_______ （用含n的式子表示）．
【答案】3n+1
【详解】试题分析：由图可知每个图案一次增加3个基本图形，第一个图案有4个基本图形，则第n个图案的基础图形有4+3(n-1)=3n+1个
考点：规律型
链接中考
【真题1】（2017·四川中考真题）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值
为()
A．180B．182C．184D．186
【答案】C
【详解】由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9，
可得最后一个三个数分别为：11，13，15，
①3×5﹣1=14，；
5×7﹣3=32；
7×9﹣5=58；
①m=13×15﹣11=184．
故选C．
【真题2】（2020·山东中考真题）如图①，某广场地面是用A．B．C三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图①所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A型）地砖记作(1,1)，
m n位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条是__________．第二块（B型）地时记作(2,1)…若(,)
【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数
【分析】几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．
【详解】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，
若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数，
故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．
【点睛】本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．
【拓展1】（2020·山东滨州市·八年级期中）24816
2(31)(31)(31)(31)(31)
⨯+++++的计算结果的个位数字是（）
A．8B．6C．2D．0
【答案】D
【分析】先将2变形为()
31
-，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
【详解】解：2416
(31)(31)(31)(31)(31)
-+++⋯+
22416
(31)(31)(31)(31)
=-++⋯+
4416
(31)(31)(31)
=-+⋯+
32
31
=-
1
33
=，239
=，3327
=，4381
=，53243
=，63729
=，732187
=，836561
=，⋯
∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
3248
÷=，故323与43的个位数字相同即为1，
①3231
-的个位数字为0，
①24816
2(31)(31)(31)(31)(31)
⨯+++++的个位数字是0．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．
【拓展2】（2018·苏州市吴江区青云中学七年级月考）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数－2017将与圆周上的哪个数字重合（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
满分冲刺
【分析】根据圆在滚动的过程中，圆上的四个数，每滚动一周即循环一次，根据此规律即可解答．
【详解】圆在滚动的过程中，圆上的四个数，每滚动一周即循环一次，则与圆周上的0重合的数是﹣2，﹣6，﹣10…，即﹣4n +2，同理与3重合的数是：﹣4n +1，与2重合的数是﹣4n ，与1重合的数是﹣（1+4n ），其中n 是正整数．
而﹣2017=﹣（1+4×504），①数轴上的数﹣2017将与圆周上的数字1重合．
故选B ．
【点睛】本题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．
【拓展3】（2019·湖北省直辖县级行政单位·七年级期末）定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，F （n ）=3n+1；①当n 为偶数时，F （n ）=
2k n （其中k 是使F （n ）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：
若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（ ）
A ．1
B ．4
C ．2018
D ．42018
【答案】A
【分析】计算出n=13时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可．
【详解】若n=13，
第1次结果为：3n+1=40，
第2次结果是：34052 ， 第3次结果为：3n+1=16，
第4次结果为：4
162=1， 第5次结果为：4，
第6次结果为：1，
…
可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，
且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，
而2018次是偶数，因此最后结果是1，
故选A ．
【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，能根据所给条件得出n=13时六次的运算结果，找出规律是
解答此题的关键．。