人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形- 小结与复习-课件PPT

PMEN为正方形．(请直接写出结果)
解：(1)证明：∵M、N、E分别是PD、PC、CD的
中点，
∴ME∥PC，EN∥PD. ∴四边形PMEN是平行四边形．
(2)解：当点P运动到AB的中点时，四边形PMEN是菱形．
理由如下：
∵P是AB中点，∴PA＝PB.
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC. ∴△PAD≌△PBC(SAS).∴PD＝PC.
1.两条平行线之间的距离： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 叫做两条平行线之间的距离.
2.三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.直角三角形斜边上的中线： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
考点讲练
考点一 平行四边形的性质与判定
例1 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.
D．8cm
2.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个
条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选
两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( B )
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
3.如图是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图
．雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB=CD，且AD=BC，这样能使雨 刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结
∵CF= 12BC， 2
2
∴DE∥FC，DE=FC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF， ∴EF= 1 AB=6．
2
针对训练
4.如图，等边三角形ABC中，点D，E分别为AB，AC 的中点，则∠DEC的度数为（ B ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
5. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，D，E分别是AB，
证明：∵DF∥AC，DE∥AB， ∴四边形AFDE是平行四边形． ∴AF=DE. ∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C, 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠FDB=∠B, ∴DF=BF, ∴DE+DF=AF+BF=AB=AC.
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在 边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、 图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． （3）若AC=6，DE=4，求DF的值．
证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴DE、EF都是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，DE∥AC， ∴四边形ADEF是平行四边形.
（2）∵四边形ADEF是平行四边形， ∴∠DEF=∠BAC， ∵D，F分别是AB，CA的中点，
AH是边BC上的高， ∴DH=AD，FH=AF， ∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA， ∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，
AC的中点，DE＝2，AC＝5，则AB＝__F分别是AB，BC，AC 的中点，AB＝6，AC＝8，DF＝5，求AE的长.
解：∵D，F是中点， ∴DF＝1BC.
2
∵DF＝5，∴BC＝10. 又∵AB＝6，AC＝8， ∴AB2＋AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°. ∵E是中点， ∴AE＝1BC＝5.
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴NE＝PM＝ 1PD，ME＝PN＝1 PC.
∴PM＝ME＝E2N＝PN.
2
∴四边形PMEN是菱形．
(3)解：AB＝2AD.
针对训练
7.如图，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和 DEF沿直线FC滑动，下列说法错误的是（ B ） A．四边形ACDF是平行四边形 B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 D．四边形ACDF不可能是正方形
∴四边形DEGF是平行四边形.
(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，
∴BG＝CG＝1 BC＝6.
2
∵四边形AGCD是平行四边形，DC＝10,AG＝DC＝10，
在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB＝8，
∴四边形AGCD的面积为6×8＝48.
例2 在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过 点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．
互相垂直平分且相等，每 轴对称图形 一条对角线平分一组对角
二、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形
平行 四边形
矩形
菱形 正方形
条件
1.定义：两组对边分别平行;2.两组对边分别相等; 3.两组对角分别相等4.对角线互相平分; 5.一组对边平行且相等.
1.定义：有一个角是直角的平行四边形; 2.对角线相等的平行四边形; 3.有三个角是直角的四边形.
解：(1)四边形BECF是菱形． 理由如下：∵EF垂直平分BC， ∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠3＝∠1.
∵∠ACB＝90°，
∴∠3＋∠4＝90°， ∠1＋∠2＝90°,
∴∠2＝∠4，
∴EC＝AE，∴BE＝AE. ∵CF＝AE， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形. (2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形． 证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°， ∴菱形BECF是正方形．
八年级 数学
课件精心制作
第十八章 平行四边形 小结与复习
知识梳理
一、几种特殊四边形的性质
项目
四边形
边
角
对角线
对称性
对边平行 对角相等 且相等
互相平分
对边平行 且相等
对边平行 且四边相等
四个角 都是直角 对角相等
互相平分且相等 互相垂直且平分，每一条
对角线平分一组对角
轴对称图形 轴对称图形
对边平行 四个角 且四边相等 都是直角
考点四 本章解题思想方法
分类讨论思想 例8 在一个平行四边形中，若一个角的平分线把 一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四 边形的周长是多少.
解：如图，∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC， AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE． 又∠ABE=∠CBE, ∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE． ①当AE=2时，则平行四边形的周长=2×(2+5)=14． ②当AE=3时，则平行四边形的周长=2×(3+5)=16．
2
∴OA=OC=OD， ∴四边形AODE是菱形.
变式 如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC， CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出
你的理由.
解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. A
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
D
∵BE∥AC,CE∥BD，
(1)求证：四边形DEGF是平行四边形； (2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，DC＝10，求四边形 AGCD的面积．
解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC， ∴四边形AGCD是平行四边形， ∴AG＝DC.
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE＝1 AG，DF＝1 DC，
2
2
即GE＝DF，GE∥DF，
∴△ABE≌△DAF.
(2) 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1＋∠4＝90°. ∵∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠AFD＝90°. 在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠1＝∠AGB＝30°. 在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2， ∴DF＝1，AF＝ 3 . 由(1)得△ABE≌△DAF， ∴AE＝DF＝1， ∴EF＝AF－AE＝ 3 －1.
1.定义：一组邻边相等的平行四边形;2.对角线互相 垂直的平行四边形;3.四条边都相等的四边形.
1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形; 2.有一组邻边相等的矩形;3.有一个角是直角的菱形.
三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
四、其他重要概念及性质
论．
证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
图
∴AD∥BC.
又∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC．
图
考点二 三角形的中位线
例3 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC， CA的中点，AH是边BC上的高． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）求证：∠DHF=∠DEF．
解：（2）图②中：AC+DE=DF． 图③中：AC+DF=DE．
（3）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2； 当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．
针对训练
1.如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD
的长为（ A ）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
2
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
例5 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E． 求证：四边形AODE是菱形.
证明：∵AE∥BD，ED∥AC， ∴四边形AODE是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC= 1AC， OB=OD= 1BD， 2
∠DHA+∠FHA=∠DHF， ∴∠DHF=∠BAC， ∴∠DHF=∠DEF．
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别
是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF= 1BC．若
AB=12，求EF的长．
2
解：连接CD，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE= 1BC，DC=1AB.
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，
则菱形ABCD的面积为__3_0__．
B
AO
C
D
9.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC 延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接 BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF； (2)若∠AGB＝30°，求EF的长． (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD. 在△ABE和△DAF中，
方法总结
平行四边形的性质与判定中要是出现角平分线，常与 等腰三角形的性质和判定结合起来考查，当边指向不 明时需要分类讨论，常见的的模型如下：
方程思想
例9 如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点 F处，BC=10cm，AB=8cm，求： （1）FC的长； （2）EF的长．
解：（1）由题意得AF=AD=10cm， 在Rt△ABF中，∵AB=8， ∴BF=6cm， ∴FC=BC-BF=10-6=4(cm)． （2）由题意可得EF=DE，可设DE的长为x， 在Rt△EFC中，(8-x)2+42=x2， 解得x=5， 即EF的长为5cm．
∴S阴影=S△BCD=12 S平行四边形ABCD=12 ×6×4=12．
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
课堂小结
矩形
正
方 菱形 形
平行四边形
四边形
两组对 边平行
一个角是直角且一组邻边相等
THANKS！
方法总结
正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再
判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱
形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判
定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
例7 如图，在矩形ABCD中，P是AB上一动点，M，N，E分别 是PD，PC，CD的中点. (1)求证：四边形PMEN是平行四边形； (2)当P运动到何处时，四边形PMEN是菱形，请说明理由； (3)在(2)的条件下，当AD与AB满足什么数量关系时，四边形
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形.
B
O
E
C
例6 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC
的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE；
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正
方形？请回答并证明你的结论．
转化思想
例10 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD为对角
线，其交点为O，若BC=6，BC边上的高为4，试求阴
影部分的面积．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD. ∵AB∥CD， ∴∠EAO=∠HCO.
EP
Q
G
又∵∠AOE＝∠COH，
∴△AEO≌△CHO（ASA），
FH
同理可得△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，