正弦定理余弦定理解三角形

第一篇 正弦定理和余弦定理
【知识清单】
一、三角形有关性质
（1）在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；a ＋b >c ，a －b <c ；a>b ⇔sin A >sin B ⇔A >B ；
（2）三角形面积公式：S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝1
2ac sin B ＝1sin 2
bc A ；
（3）在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或2
A B π
+=
⇔三角形为等腰或直角三角形； sin(A ＋B )＝sin C ，()cos cos A B C +=-，sin
A ＋
B 2＝cos C
2
. 定理 正弦定理
余弦定理
内容
2sin sin sin a b c
R A B C === 2222sin a b c bc A =+-
2222sin b a c ac B =+- 222
2sin c a b ab C =+-
变形
形式
①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =； ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R
=；
③::c sin :sin :sin a b A B C =； ④sin sin +sin sin a b c a A B C A ++=+. 222cos 2b c a A bc
+-=；
222cos 2a c b B ac
+-= ；
222cos 2a b c C ab
+-= 解决
的问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三
边和其他两个角. 三、解斜三角形的类型
（1）已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解；
（2）已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ∆中， A 为锐角 A 为钝角或直角
图 形
关系式 sin a b A < sin a b A = sin b A a b << a b ≥ a b >
解个数
无解 一解 两解 一解 一解
上表中，为锐角，时，无解；为钝角或直角时，或均无解.
【典例归纳】
考点1 利用正、余弦定理解三角形
【例1】（1）在△ABC 中：
（1）10c =，75A =o
，45C =o
，求b ； （2）20a =，28c =，30A =o ，求sin B ； （3
）)
::21a b c =，求角A 、B 、C ；
（4）7a =，10b =，6c =，判断ABC ∆的形状.
解：（1）由正弦定理得
sin sin b c
B C =
，又()()180180754560B A C =-+=-+=o o o o o
得，10sin sin 2
c B
b C
=
==（2）由正弦定理得，sin sin b a
B A
=
，故sin 28sin 307sin 2010b A B a ===o （3）令2a k =
，b =
，)
1c k =
+()0k >，
由余弦定理的推论得
2
222
2
2
2
614cos 22
k k k b c a
A bc
+
-+-=
=
=
45A ∴=o ，同理60B =o ，18075C A B =--=o o ，45A ∴=o ，60B =o ，75C =o .
（4）b a c >>Q ，∴ B 最大
由余弦定理的推论得22222276105
cos 0227628a c b B ac +-+-=
==-<⨯⨯ 90180B ∴<<o o ，∴ ABC ∆为钝角三角形.
【变式1】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b
、
c .已知90A C -=o
，a c +=，
求C .
【变式2】ABC ∆中，,,a b c 是,,A B C 所对的边，且cos cos 2B b
C a c
=
-. （1）求B ∠的大小；（2）若72b =
，ABC ∆的面积332
S =，求a c +的值.
【变式3】已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、
C 的对边，cos 3sin a C a C b +-- 0c =.
（1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆3b ，c .
方法总结：在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当地选取定理，简化运算过程，提高解题速度，同时要挖掘题目中的隐含条件.解题时，要综合、灵活地运用两个定理，认真分析已知条件，选择需要先解的三角形和相关定理，并结合三角形的有关性质，如大边对大角、内角和定理等.注意数形结合，正确地求解三角形，防止出现漏解或增解的情况.
考点2 三角形解的情况的判定
【例2】不解三角形，判断下列三角形解的个数
（1）5a =，4b =，120A =o
； （2）5a =，10b =，150A =o
； （3）9a =，10b =，60A =o ； （4）18a =，24b =，44A =o .
解：（1）a b >Q ，且A 为钝角，∴ ABC ∆有唯一解； （2）b a >Q ，且A 为钝角，∴ ABC ∆有无解；
（3）sin 102
b A =⨯
=Q ∴ sin b A a b <<，∴ ABC ∆有两解；
（4）sin 24sin 4424sin 45b A =<=o o
Q ，又1824<，故有两解.
【变式1】ABC ∆中，A 、B 的对边分别是a 、b ，且60A =o
，a =
4b =，那么
满足条件的ABC ∆（ ）
A. 有一个解
B. 有两个解
C. 无解
D. 不能确定
【变式2】在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ． 10=b ，ο45=A ，ο70=C B ．60=a ，48=c ，ο
60=B C ． 7=a ，5=b ，ο80=A D ．14=a ，16=b ，ο
45=A
【变式3】不解三角形，下列判断中正确的是（ ）
A. 7a =，14b =，30A =o
有两解 B. 28a =，24b =，150A =o
有两解 C. 6a =，9b =，45A =o
有两解 D. 9b =，10c =，60B =o
有两解
方法总结：已知三角形的两边和其中一边的对角，由正弦定理可以求出另一边的对角的正弦值，从而解出三角形，但这个三角形不一定有解.这类问题可以通过计算来判断，也可以通过画图用几何方法来判断.讨论时应注意两点：一是其正弦值与“1”的大小关系，从而决定符合正弦值的角是否存在；二是由此确定的角()
0180o o :有几个，它与已知角的和是否小于180o
.
考点3 三角形形状的判定
【例3】在ABC ∆中，cos cos cos a A b B c C +=，试判断三角形的形状.
解：由余弦定理代入已知条件得222222222
0222b c a a c b a b c a b c bc ac ab
+-+-+-⋅
+⋅-⋅=， 整理，得()()()
2222222222220a b c a b a c b c c a b +-++-+--=， 即(
)
2
2
24a b
c -=，222a b c ∴-=±，即222a b c =+或222b a c =+
根据勾股定理知ABC ∆是直角三角形.
【变式1】在ABC ∆中，已知2a b c =+，2
sin sin sin A B C =，试判断ABC ∆的形状.
【变式2】在ABC ∆中，已知2
2
tan tan a B b A =，试判断ABC ∆的形状.
方法总结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： （1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．
考点4 正、余弦定理与其他知识的综合应用
【例4】ABC ∆中，已知45A =o
，4cos 5
B =
. （1）求cos C 的值；
（2）若10BC =，D 为AB 的中点，求CD 的长. 解：（1）4cos 5B =
Q ，且()0,B ∈π
，3sin 5
B ∴== ()()
cos cos cos 135C A B B =π-+=-⎡⎤⎣⎦
o
cos135cos sin135sin B B =+o
o
43252510
=-
⨯+=- （2）由（1
）得sin 10C ===， 由正弦定理得
sin sin BC AB
A C =
=，解得14AB =. 在BCD ∆中，7BD =，2
2
2
4
7102710375
CD =+-⨯⨯⨯
=
，CD ∴=
【变式】在ABC ∆中，A 、B 、C 为其三个内角，且其对边分别为a 、b 、c .
若()2cos23,2m A =+u r ，()2cos ,1n A =r
，且//m n u r r .
（1）求角A ；（2
）若a =3b c +=，求ABC ∆的面积.
方法总结：正、余弦定理与三角函数、平面向量综合考查出现频率较高.解决此类问题首先要把握题目重点考查知识点是什么，它们之间有怎样的联系，怎样将他们整合在一起，然后，将问题合理转化，特别注意三角形中角范围的限制.
考点5 三角形的范围与最值问题
【例5】在锐角ABC ∆中，1BC =，2B A =，则cos AC
A
的值等于_________，AC 的取值范围为____________. 解：由正弦定理知
sin 2sin AC BC A A =，即12sin cos sin AC A A A =，∴ 2cos AC
A
=
ABC ∆Q 是锐角三角形，02A π∴<<，022A π<<，032
A π
<π-<
解得，64
A ππ
<<.由2cos AC A =得AC 的取值范围为.
【变式1】锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2C A =，则c
a
的取值范围是（ ）
A. ()1,2
B. (
C.
)2 D.
【变式2】在ABC ∆中，2
2
2
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ） A. 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. ,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦ C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. ,3π
⎡⎤
π⎢⎥⎣⎦
【变式3】设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin a b A =. （1）求B 的大小；
（2）求cos sin A C +的取值范围.
方法总结：
（1）求式子的取值范围，可以将其转化为关于一个角的三角函数求最值问题. （2）求正弦定理有关的三角函数最值的求法：
①利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些基本量； ②将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数（包括三角函数），从而转化为求函数的最值问题.。