黑龙江省绥化市平山中学高三数学理月考试卷含解析

黑龙江省绥化市平山中学高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在花园小区内有一块三边长分别为3米、4米、5米的三角形绿化地，有一只小狗在其内部玩耍，若不考虑小狗的大小，则在任意指定的某时刻，小狗与三角形三个顶点的距离均超过1米的概率是
A．B．C．D．
参考答案：
B
2. 已知复数,则复数在复平面内对应的点在 ( )
A．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
参考答案：
D
略
3. 如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）
A. 134
B. 67
C. 182
D. 108
参考答案：
B
【分析】
根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.
【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，则小正方形的边长为，小正方形的面积，
则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为
，
故选：B.
【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.
4. 已知集合,，则＝
A．﹛x| x＜－5或x＞－3﹜ B．﹛x |－5＜x＜5﹜
C．﹛x |－3＜x＜5﹜D．﹛x | x＜－3或x＞5﹜
参考答案：
A
5. 已知函数y=f（x）是R上的减函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称．设动点M （x，y），若实数x，y满足不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0恒成立，则?的取值范围是( )
A．（﹣∞，+∞）B．[﹣1，1] C．[2，4] D．[3，5]
参考答案：
C
【考点】平面向量数量积的运算；函数单调性的性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；平面向量及应用．
【分析】根据函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数f（x）是奇函数，利用函数y=f（x）是定义在R上的减函数，化简不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0，即有x2+y2﹣6x﹣8y+24≤0，即有（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，运用向量的数量积的坐标表示可得范围．
【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数是奇函数，
∴不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0等价于不等式f（x2﹣8y+24）≥f（6x﹣y2），
∵函数y=f（x）是定义在R上的减函数，
∴x2﹣8y+24≤6x﹣y2，即为x2+y2﹣6x﹣8y+24≤0，
即有（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，①
则?=1?x+0?y=x，
由①可得，|x﹣3|≤1，解得2≤x≤4．
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
6. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率
为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即，
所以离心率，故选A．
7. 如图，半径为R的圆O内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为A，B，C，D，这四个小圆都与圆O内切，且相邻两小圆外切，则在圆O内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为
（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
8. 已知向量,,,则（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
9. 函数的零点所在区间为
A． B. C.
D.
参考答案：
C
略
10. 已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）
参考答案：
D
【分析】化简A，再根据A∩B=A，求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，B={x|x＜a}，A∩B=A，
∴a≥2，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，则。

参考答案：
12. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则
参考答案：
13. 在数列中，，对于任意自然数n，都有，则＝
参考答案：
4951
14. 在上的函数满足：①为正常数）；②当时，
，若函数
的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则等于
__________．
参考答案：
【知识点】函数的极值B12
解析：先令，那么
，
=
；再令
，那么
，
=；分别算出它们的极值点为()，,，三点
共线解得
．故答案为。

【思路点拨】先令，那么，=；再令，
那么，=；分别算出它们的极值点为()，,，
三点共线可得结果. 15. 复数
（是虚数单位）是纯虚数，则实数
的值为 ．
参考答案：
1 略
16. 已知单位向量
满足
，则
夹角的余弦值为 ．
参考答案：
依题意，
，故
，即
，则
.
17. 设函数y=f （x ）的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x∈D ，都有f （x+T ）=T?f （x ），则称函数y=f （x ）是“似周期函数”，非零常数T 为函数y=f （x ）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y=f（x ）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f （x ）=x 是“似周期函数”； ③函数f （x ）=2﹣x
是“似周期函数”；
④如果函数f （x ）=cos ωx 是“似周期函数”，那么“ω=k π，k∈Z”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）
参考答案：
①③④
考点： 抽象函数及其应用．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由题意，首先理解似周期函数的定义，从而解得．
解答： 解：①如果“似周期函数”y=f（x ）的“似周期”为﹣1， 则f （x ﹣1）=﹣f （x ），即
f （x ﹣1）=﹣f （x ）=﹣（﹣f （x+1））=f （x+1）；
故它是周期为2的周期函数；故正确； ②若函数f （x ）=x 是“似周期函数”， 则存在非零常数T ，使f （x+T ）=T?f （x ），
即x+T=Tx ；故（1﹣T ）x+T=0恒成立； 故不存在T ．故假设不成立，故不正确；
③若函数f （x ）=2﹣x
是“似周期函数”， 则存在非零常数T ，使f （x+T ）=T?f （x ）， 即2﹣x ﹣T =T?2﹣x ， 即（T ﹣2﹣T ）?2﹣x =0； 而令y=x ﹣2﹣x ，作图象如下，
故存在T＞0，使T﹣2﹣T=0；故正确；
④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，
则存在非零常数T，使f（x+T）=T?f（x），
即cos（ωx+ωT）=Tcosωx；
故T=1或T=﹣1；
故“ω=kπ，k∈Z”．故正确；
故答案为：①③④．
点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 定义在上的函数同时满足以下条件：
① 在上是减函数，在上是增函数；
② 是偶函数；③在处的切线与直线垂直。

（1）求函数的解析式；
（2）设，求函数在上的最小值。

参考答案：
解：（1）
由已知得，即，解得。

故函数的解析式为
（2）∵，
∴
令得。

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增。

若，在上函数单调递增，此时；…10分
若即，函数在上单调递减，在上单调递减，此时
；
若即，在上函数单调递减，
此时；
综上可知，函数在上的最小值。

略
19. （12分）（2015?青岛一模）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD 是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AB=，AD=AA1=3，E1为A1B1中点．
（Ⅰ）证明：B1D∥平面AD1E1；
（Ⅱ）证明：平面ACD1⊥平面BDD1B1．
参考答案：
【考点】：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
【专题】：空间位置关系与距离．
【分析】：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G，证明B1D∥E1G，利用直线与平面平行的判定定理证明B1D∥平面AD1E1．
（Ⅱ）设AC∩BD=H，通过△BHC～△DHA，结合BC=1，AD=3，求出，，证明AC⊥BD，然后证明BB1⊥AC，得到AC⊥平面BDD1B1，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ACD1⊥平面BDD1B1．
（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G，
因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，
所以四边形ADD1A1为平行四边形，
所以G为A1D的中点，
又E1为A1B1中点，所以E1G为△A1B1D的中位线，
所以B1D∥E1G…（4分）
又因为B1D平面AD1E1，E1G平面AD1E1，
所以B1D∥平面AD1E1．…（6分）
（Ⅱ）设AC∩BD=H，
因为AD∥BC，所以△BHC～△DHA
又BC=1，AD=3，所以，
∵AD∥BC，∠BAD=90°，所以∠ABC=90°
∴，
从而，，所以CH2+BH2=BC2，CH⊥BH，即AC⊥BD…（9分）
因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，AA1⊥底面ABCD
所以侧棱BB1⊥底面ABCD，又AC底面ABCD，所以BB1⊥AC…（10分）
因为BB1∩BD=B，所以AC⊥平面BDD1B1…（11分）
因为AC平面ACD1，所以平面ACD1⊥平面BDD1B1．…（12分）
【点评】：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
20. （本小题满分12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人，认为作业不多的有9人，不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人，认为作业不多的有15人，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？
参考答案：
解：
K2=， P（K2>5.024）=0.025,
有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系。

略
21. 已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足S n=a n．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）将数列{a n}的项按上小下大，左小右大的原则排列成一个如图所示的三角形数阵，那么2015是否在该数阵中，若在，排在了第几行第几列？
参考答案：
【考点】数列的求和．
【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）S n=a n，得n≥2时，，两式相减整理得
，由此利用累乘法能得到a n=2n﹣1．
（Ⅱ）由a n=2n﹣1=2015，则n=1008，求出前44行和前45行的值，由此能求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足S n=a n．
∴n≥2时，，
两式相减整理得，
依次得，=，…，，
上面n﹣2个等式相乘得，
而a2=3，∴a n=2n﹣1，n≥2，
a1=1也满足该式，∴a n=2n﹣1．
（Ⅱ）a n=2n﹣1=2015，则n=1008，
前44行共1+2+3+…+44==990，前45行共1+2+3+…+45=990+45=1035，
∴2015应在第45行，第1008﹣990=18列．
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．
22. 已知函数f(x)＝x3－ax＋1.
(1)求x＝1时，f(x)取得极值，求a的值；
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值；
(3)若对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，求a的取值范围．
参考答案：
略。