高考数学考点27几何体的体积试题解读与变式(2021年整理)

考点27 几何体的体积

一、

知识储备汇总与命题规律展望

1.知识储备汇总:

1.1多面体的体积公式

表中表示面积，分别表示上、下底面周长，h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧棱长.

1。2旋转体的面积和体积公式 表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别

表示圆台 上、下底面半径，表示半径。

1。3求体积常见方法

①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法：利用祖暅原理或等积变化,把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；(ⅱ)高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比;（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方。

l

h

r

12,r r R

求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥三棱柱平行六面体;分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2:3和等积变换法（平行换点、换面)和比例(性质转换）法等. 1.4以三视图为载体的几何体的体积问题

根据三视图，画出对应几何体的直观图，根据三视图确定几何体中点、线、面的位置关系及有关量的值，分析几何体的构成,根据几何体的构成特点，确定求体积的方法，求出几何体的体积.

2.命题规律展望：几何体的体积是高考考查的重点和热点,主要以三视图为载体考查简单几何

体的体积或以球与多面体、旋转体切接为载体考查几何体或球体的体积,难度为容易、中档或难题，题型为选择、填空题，分值为5—10分。 二、题型与相关高考题解读 1。多面体的体积 1。1考题展示与解读

例1 【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O ,半径为5 cm ，该纸片上的等边三角

形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积（单位:cm 3

）的最大值为_______。

【命题意图探究】本题主要考查锥体体积的计算及利用导数求体积的最值,是难题。 【答案】

【解析】如下图，设正三角形的边长为x ，则

.

，

⇒

⇒

13O G =

=

∴

5F G S G ==

S O

=

三棱锥的体积

. 令

，则,

令,

，，

。

【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力

【方法技巧归纳】对与几何体体积有关的综合问题,先根据题意设出量，根据几何体的性质求出几何体的体积，利用函数求最值的方法求出体积的最值. 1。2【典型考题变式】 【变式1：改编条件】在正方体中，为

中点，为

的中点，

，则三

棱锥的体积为__________．

【答案】

∴

2133A B C V S h ∆=⋅=⨯

(

)45

5n x x =(

)34

'2

0n x x =()'0

n x

=3

40

x

x

=m a x 4V

【变式2：改编结论】如图,圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形,且此三角形内接于圆柱的底面圆。如果圆柱的体积是，那么三棱柱的体积是（ ）

A 。

B 。

C 。

D 。

【答案】C

【解析】设圆的半径为R

R,设三棱柱的体积为 ，则

，

，故选B 【变式3：改编问法】将一张边长为6cm 的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形,将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是( ）

A ．cm 3

B ．

cm 3

C ．

cm 3

D ．

cm 3

【答案】A

V

2V πV

π2V

π3V

π

V 柱)

22V =R,=2h V h π柱

2

2R 1==V V h V V R h πππ=∴柱柱

2.以三视图为背景的几何体体积问题

2.1考题展示与解读

例2【2017课标II ，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为( ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及其体积的计算，是基础题。 【答案】B

【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其

体积，上半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱的一半，其体积，该组合体的体积为：。故选B 。 【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力

【方法技巧归纳】先根据三视图画出几何体的直观图,确定各量的值和几何体中点线面的位置关系，再运用相关公式计算几何体的体积.

90π

63π42π36

π2

1

3436V ππ=⨯⨯=()2

2136272V ππ=⨯⨯⨯=12362763V

V V πππ

=+=+=