北师大版九年级上册数学单元测试卷(第四章 图形的相似)

2019年秋北师九上数学单元测试卷
班级 姓名
第四章 图形的相似 [时间：120分钟 分值：150分]
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)
1．2018· 如果x ∶(x ＋y )＝3∶5，那么x
y
＝( )
A.32
B.38
C.23
D.85
2．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，
B ，
C 和点
D ，
E ，
F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，则EF 的长为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
3．能说明△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( ) A.
AB A ′B ′＝AC A ′C ′或BC B ′C ′＝AC
A ′C ′
B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′
且∠A ＝∠C ′
C.
AB A ′B ′＝BC
B ′
C ′
且∠B ＝∠B ′
D.
AB A ′B ′＝BC
A′C′
且∠B ＝∠A ′ 4．[2018·滨州]在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，8)，B (10，2)．若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩短为原来的1
2后得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标
为( )
A ．(5，1) ．(4，3) C ．(3，4)
．(1，5)
5．[2018·贵港]如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE .若S 四边形
BCFE
＝16，则S △ABC ＝( )
B.18
D.24
6．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD ，则点P 所在的格点为( )
A ．P 1
B ．P 2
C ．P 3
D ．P 4
8．如图，已知AB ，CD ，EF 都与BD 垂直，垂足分别是点B ，D ，
F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )
A.13
B.23
C.34
D.45
9．[2018·厦门一模]我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度PQ (如图)：
(1)测量者在水平线上的A 处竖立一根竹竿，沿射线QA 方向走到
M 处，测得山顶P 、竹竿顶端B 及M 在一条直线上；
(2)将该竹竿竖立在射线QA 上的C 处，沿原方向继续走到N 处，测得山顶P 、竹竿顶端D 及N 在一条直线上；
(3)设竹竿与AM ，CN 的长分别为l ，a 1，a 2，可得公式PQ ＝d l
a 2－a 1
＋l.
则上述公式中，d 表示的是( )
A ．QA 的长 ．AC 的长
C ．MN 的长
D ．QC 的长
10．[2018·包头]如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F .若BC ＝4，∠CBD ＝30°，则DF 的长为( )
A.235
B.233
C.334
D.435
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝2 cm ，b ＝3 cm ，d ＝6 cm ，则c ＝____ ____ cm.
12．[2018·上海]如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是__ __．
,
13．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，且
AD ＝2.5 cm ，DB ＝0.9 cm ，则CD ＝__ __cm ，S △ACD ∶S △CBD ＝__ __．
14．[2018·包头]如图，在
ABCD 中，AC 是一条对角线，EF ∥BC ，
且EF 与AB 相交于点E ，与AC 相交于点F ，3AE ＝2EB ，连接DF .若S △AEF ＝1，则S △ADF 的值为__ __．
15．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 上一点，且BP ＝1，点D 为AC 上一点．若∠APD ＝60°，则CD 的长为__ __.
16．[2018秋·金牛区期末]如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是BC 边上的一动点，连接OE ，将△BOC 分成了两个三角形，若BE ＝OB ，且OC 2＝CE ·BC ，则∠BOC 的度数为__ __．
三、解答题(本大题共9个小题，共96分)
17．(10分)若a b ＝c d ＝e f ＝2
5.求：
(1)a －c b －d
； (2)2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f
； (3)比较(1)(2)的结论能发现什么规律？
18．(10分)[2018秋·宜宾县期中]已知，如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是点F，E，试证明：
(1)△BAF∽△BCE；
(2)△BEF∽△BC A.
19．(10分)[2018·青海]如图，在平行四边形ABCD中，E为AB 边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.
(1)求证：AD＝BF；
(2)若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．
20．(10分)将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标．
(1)沿y轴正方向平移2个单位；
(2)关于y轴对称；
(3)以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍．
21．(10分)如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.
求证：△ABC∽△EA D.
22．(10分)
如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A ＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．
23．(12分)[2018·金华、丽水节选]在ABC 中，∠ACB
＝90°，AC ＝12.点D 在直线CB 上，直线AB 与直线CE ，DE 的交点分别为点F ，G .如图，点D 在线段CB 上，四边形ACDE 是正方形．
(1)若点G 为DE 的中点，求FG 的长． (2)若DG ＝GF ，求BC 的长．
,
24．(12分)如图，已知Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点
D ，
E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线交于点
F ，求证：
(1)△ABD ∽△CAD ； (2)AB AC ＝DF AF
.
25．(12分)[2018·淮安节选]如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝__ __ ；
(2)如图，在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、1．A 【解析】 由x
x ＋y ＝35得5x ＝3x ＋3y ，即x y ＝3
2.
2．C 【解析】 ∵AD ∥BE ∥CF ，
∴AB BC ＝DE EF ，即13＝2
EF
，得EF ＝6. 3．C 【解析】C 项满足三角形两边对应成比例且夹角相等，其他选项都不满足三角形相似的条件．
4．C 【解析】 根据题意点C 的坐标为(6×12，8×1
2)，即C (3，
4)．
5．B 【解析】 设△AEF 的面积为S ，则△ABC 的面积为16＋S ，由于在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE ，所以S 16＋S ＝(AE AB )2＝(13)2＝1
9，
解得S ＝2，所以S △ABC ＝16＋2＝18，故选
．
6．B 【解析】 ∵DE ∥AB ，∴△DEF ∽△ABF .∵AD ∥BC ，∴△EDF ∽△ECB ，因此与△DEF 相似的三角形有2个．
7．C 【解析】 ∵∠BAC ＝∠PED ，而AB AC ＝32，∴EP ED ＝3
2
时，
△ABC ∽△EP D.∵DE ＝4，∴EP ＝6，∴点P 落在P 3处．
8．C 【解析】 ∵AB ∥EF ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴EC BE ＝DC
AB ＝3，
同理△BEF ∽△BCD ，∴EF CD ＝BE BC ＝BE BE ＋EC ＝14，∴EF ＝3
4
.
9．B 【解析】 ∵AB ∥PQ ，∴PQ AB ＝MQ AM ，∴PQ l ＝a 1＋AQ a 1，∴AQ ＝PQ
l ·a 1
－a 1.∵CD ∥PQ ，∴PQ CD ＝NQ CN ，∴PQ l ＝a 2＋AC ＋AQ a 2，∴AQ ＝PQ
l ×a 2－a 2－
A C.∴PQ ＝AC·l
a 2－a 1
＋l ，∴d＝A C.
10．D
【解析】 连接DE ，
∵∠BDC ＝90°，∴DE ＝BE ＝1
2BC ＝2，
∴∠CBD ＝∠EDB ＝30°.
∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°， ∴AB ∥DE ，∴△DEF ∽△BAF ，
∴DE AB ＝DF BF
， 易求得AB ＝3，∴DE AB ＝DF BF ＝2
3
，
∴DF ＝25BD ＝25×23＝4
5 3.
二、11．4. 12． 127
．
答图
【解析】 如答图，作AH ⊥BC 于点H ，交GF 于点I .设正方形的
边长是x ，∵△ABC 的面积是6，∴1
2
×BC ×AH ＝6.又∵BC ＝4，∴AH
＝3，AI ＝3－x .∵正方形DEFG ，∴GF ∥BC ，∴GF BC ＝AI AH ，3－x 3＝x
4
，解
得x ＝127，∴正方形的边长是12
7
.
13． 1.5 25∶9．
【解析】 ∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°. 又∵CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°， ∴∠A ＝∠BC D.
又∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°，
∴△ACD ∽△CBD ，∴AD CD ＝CD DB
，
∴CD 2＝AD ·DB ＝2.5×0.9＝2.25， ∴CD ＝1.5 cm ，
∴S △ACD S △CBD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2.51.52＝259
. 14．52 【解析】 ∵3AE ＝2EB ，∴AE EB ＝23.
∵EF ∥BC 易证得△AEF ∽△ABC ，∴S △AEF S △ABC ＝425，
又∵S △AEF ＝1，∴S △ABC ＝25
4，
∵AC 是对角线，∴S △ADC ＝
254
，
又∵AF FC ＝
AE EB ＝2
3
， ∴S △ADF ＝25S △ADC ＝25×254＝5
2
.
15．2
3 【解析】 ∵△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝BC ＝AC ＝3，∠B ＝∠C ＝60°， ∴∠BAP ＋∠APB ＝180°－60°＝120°. ∵∠APD ＝60°，
∴∠APB ＋∠DPC ＝180°－60°＝120°， ∴∠BAP ＝∠DP C.
又∵∠B ＝∠C ，∴△BAP ∽△CPD ，∴AB CP ＝BP
CD
.∵AB ＝BC ＝3，BP
＝1，∴CP ＝BC －BP ＝2，
即32＝1CD ，解得CD ＝23. 16．108°
解：∵OC 2＝CE ·BC ，
∴OC CE ＝BC
OC
，∵∠OCE ＝∠OCB ， ∴△OCE ∽△BCO ， ∴∠COE ＝∠CBO . ∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB ＝OC ，
∴∠OBC ＝∠OCB ＝∠COE ，设∠OBC ＝∠OCB ＝∠COE ＝x ，
∵BE ＝BO ，
∴∠BOE ＝∠BEO ＝∠COE ＋∠ECO ＝2x ， ∵∠OBC ＋∠OCB ＋∠BOC ＝180°， ∴x ＋x ＋3x ＝180°， ∴x ＝36°， ∴∠BOC ＝3x ＝108°.
三、17．解：(1)∵a b ＝c d ＝25，∴a ＝25b ，c ＝2
5
d
∴a －c b －d ＝25b －25d b －d ＝2
5（b －d ）
b －d ＝25
. (2)∵a b ＝c d ＝e f ＝25
，
∴2a 2b ＝3c 3d ＝－4e －4f ＝25，同(1)可知， 2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f ＝2
5（2b ＋3d －4f ）
2b ＋3d －4f ＝2
5
.
(3)a －c b －d ＝2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f ＝a b
. 18．证明：(1)∵AF ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴∠AFB ＝∠CEB ＝90°. ∵∠B ＝∠B ， ∴△BAF ∽△BCE . (2)∵△BAF ∽△BCE ，
∴BF BE ＝BA BC
，
∴BF
BA
＝
BE
BC
，
∵∠B＝∠B，
∴△BEF∽△BC A.
19．(1)证明：∵点E是AB中点，∴AE＝BE.1分
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥B C.
又∵点F在CB，DE的延长线上，∴AD∥BF，
∴∠ADE＝∠BFE，
又∵∠AED＝∠BEF，
∴△AED≌△BEF，
∴AD＝BF；
(2)解：∵EB∥CD，
∴△EFB∽△FD C.
∵△AED≌△BFE，
∴ED＝EF，S△AED＝S△BFE，
∴EF
DF
＝
1
2
，
∴S△BEF
S△DCF
＝
1
4
，
设S△BFE为x，S四边形EBCD为3x，则4x＝32，x＝8，
S四边形EBCD＝3×8＝24.
20．解：图略．
(1)△ABC沿y轴正方向平移2个单位后所得△A1B1C1的三个顶点坐标为A1(0，0)，B1(3，1)，C1(2，3).
(2)△ABC关于y轴对称的△A2B2C2的三个顶点坐标分别为A2(0，－2)，B2(－3，－1)，C2(－2，1).
(3)将△ABC以点C为位似中心，放大为原来的2倍后所得△A3B3C3的三个顶点坐标分别为A3(6，7)，B3(0，5)，C3(2，1)或A3(－2，－5)，B3(4，－3)，C3(2，1).
21．证明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BA D.
又∵∠AED＝∠B＋∠2，∠BAC＝∠BAD＋∠1，∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠AED，
∴△ABC∽△EA D.
22．解：图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.
以下证明△AMF∽△BGM.
∵∠AFM＝∠DME＋∠E，
∠DME＝∠A＝∠B，
∴∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG.
又∵∠A＝∠B，
∴△AMF∽△BGM.
23．
答图
解：(1)在正方形ACDE 中，有DG ＝GE ＝6. 在
AEG 中，AG ＝AE 2＋EG 2＝122＋62＝6 5.
∵EG ∥AC ，∴△ACF ∽△GEF . ∴
FG AF ＝EG AC ，∴FG AF ＝612＝12
. ∴FG ＝1
3
AG ＝2 5.
(2)如答图，在正方形ACDE 中，AE ＝ED ，∠AEF ＝∠DEF ＝45°， 又EF ＝EF ，∴△AEF ≌△DEF . 设∠1＝∠2＝x .
∵AE ∥BC ，∴∠B ＝∠1＝x . ∵GF ＝GD ， ∴∠3＝∠2＝x .
在△DBF 中，∠3＋∠FDB ＋∠B ＝180°， ∴x ＋(x ＋90°)＋x ＝180°，解得x ＝30°， ∴∠B ＝30°.
∴在ABC中，AB＝2AC＝24，BC＝AB2－AC2＝242－122＝12 3.
24．证明：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠ACD＝90°，
∴∠BAD＝∠AC D.
又∵∠ADB＝∠ADC，
∴△ABD∽△CA D.
(2)∵△ABD∽△CAD，
∴AB
CA
＝
BD
AD
.
∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EC，
∴∠ACD＝∠ED C.
∵∠EDC＝∠BDF，∠ACD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BDF.
又∵∠AFD＝∠DFB，
∴△AFD∽△DFB，
∴AD
DB
＝
AF
DF
，
∴AB
AC
＝
DF
AF
.
25．【解析】 (1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC是“准互余三角形”，
又∠C ＞90°，
则有2∠A ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠A ＝90°， 又∵∠A ＝60°，
∴2∠A ＋∠B ＝90°不成立，
即代入2∠B ＋∠A ＝90°；可得∠B ＝15°. 解：(2)存在，BE ＝9
5.
∵点E 在BC 边上， ∴∠AEB ＞90°，
∴2∠BAE ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠BAE ＝90°， ∵点E (异于点D )，
∴2∠BAE ＋∠B ＝90°不成立． 在
ABC 中，可得∠BAE ＋∠EAC ＋∠B ＝90°，
又由“准互余三角形”定义可知：2∠B ＋∠BAE ＝90°， ∴∠B ＝∠EAC ， ∴△ABC ∽△EAC ，
∴AC EC ＝BC AC
， ∵AC ＝4，BC ＝5， ∴EC ＝165，
∴BE ＝BC －EC ＝9
5
.。