命题的形式及其等价关系

命题的形式及其等价关系(总

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教学资源信息表

1.4 命题的形式及等价关系

上市高桥中学

一、教学内容分析：

根据1.4 命题的形式及等价关系的内容，教科书上分为三个课时.第一课时学习的内容是命题与推出关系；第二课时学习的内容是命题的四种形式；第三课时学习的内容是等价命题。根据师训时黄老师提出的要求及考虑到本校学生的实际情况，我将这节课的内容分为了两课时，第一课时学习的内容是命题与推出关系及命题的四种形式，理解推出关系及命题证明的意义，会写出命题的四种形式.第二课时学习的内容先着重强调否命题的否定形式（既是新课，又是复习，同

时也作为第二课时的引入部分），让学生发现命题的四种形式之间的相互关系，掌握等价命题的概念，能利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的证明。

命题的概念在初中已经出现，所以命题概念的教学不应是第一节课的重点，只须强调命题是一个可以判断真假的陈述句。本节的教学重点是真命题与假命题证明的思想方法。

真命题的证明方法：可以从已知条件出发，根据已学的公理、定理、公式等应用推出关系，得出所要证明的结论。也可应用间接证法，如反证法等证明方法。

假命题的证明方法：只需举反例，即举出一个满足命题的条件而不满足命题结论的例子。

在写命题的四种形式时。学生有很难分清一个命题的条件与结论，此时可将给定的命题写成“如果…，那么…”的形式。

一个命题的否命题是将原命题的条件和结论都写成否定形式，这在教学中是一个难点，可多举一些例子进行说明。“是”与“不是”是互相排斥的，用集合的观点看，两者的“并”是全集，两者的“交”是空集。

在第二课时中，注重学生通过实例发现互为逆否命题的两个命题是同真同假的。学会在证明原命题困难的情况下，转而证明它的逆否命题。如遇到“如果不…，那么不…”常可转化为证明它的逆否命题。

等价命题在数学上应用广泛，要知道两个互为逆否命题必等价，但等价命题不一定是互为逆否命题。

二、教学目标设计：

能判断什么样的语句是命题，理解推出关系及命题证明的意义，掌握真命题与假命题证明的思想方法,理解命题的四种形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题，掌握等价命题的概念,通过利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的的证明。

通过学习，进一步领会分类、判断、推理的思想方法.

通过证明命题的过程，让学生初步掌握逻辑推理的能力,同时体会到数学的严谨性。

三、教学重点及难点：

真命题与假命题证明的思想方法,理解命题的四种形式及其相互关系。

写否命题时，将原命题的条件和结论采用否定形式表达。

四、教学流程设计：

第一课时：

(

问：我们在初中已经学过命题，那么什么是命题呢？

答：可以判断真假的语句叫命题。

（二）新课

1、命题及命题真假的证明

命题的概念：可以判断真假的语句叫命题。

例１、下列语句那些不是命题，那些是命题如果是命题，那么他们是真命题还是假命题为什么

(1)个位数是5的自然数能被5整除；

(2)凡直角三角形都相似；

(3)上课请不要讲话；

(4)互为补角的两个角不相等；

(5)如果两个三角形的三条边对应相等，那么两个三角形全等；

(6)你是高一学生吗？

(解题过程见书P14例1)

通过此例，使学生更清楚的认识什么是命题，以及掌握最简单的命题的真假的证明方法。

总结归纳：1)命题是一个表示判断的陈述句;2)在数学中常见的命题由条件和结论组成,命题的一般形式是 “如果…，那么…”;3) 证明假命题只需举反例，即举出一个满足命题的条件而不满足命题结论的例子。

2、推出关系

一般的说,如果命题α成立可以推出命题β也成立,那么就说由α可以推出β,并用记号α⇒β表示,读做“α推出β”。换言之，α⇒β表示以α为条件、以β为结论的命题是真命题。 α不可以推出β,用记号α⇒β表示。换言之，α⇒β表示以α为条件、以β为结论的命题是假命题。

如果α⇒β，并且β⇒α，那么记做α⇔β，叫做α与β等价。

推出关系满足传递性：α⇒β，β⇒γ，那么α⇒γ。

说明例1(1)的证明过程就是利用了推出关系的传递性.

归纳总结：

命题的证明方法：可以从已知条件出发，根据已学的公理、定理、公式等应用推出关系，得出所要证明的结论。

例2、判断下列命题的真假，并给出证明。

(1)已知集合A 、B 、C ，如果B A ⊆，那么C B C A ⋂⊆⋂。

(2) 如果集合A 、B 、C 满足C B B A ⋂=⋂，那么C B =。

解：(1)是真命题.

证:o 1若,∅≠⋂C A 设任意C A x ⋂∈,则A x ∈,且C x ∈.

由子集定义, C B C A ⋂⊆⋂.

o 2若,∅=⋂C A 则C B C A ⋂⊆⋂

综上,命题为真.

(2)是假命题.举反例:},2{},1{,==∅=C B A 满足∅=⋂=⋂C B B A ,但不满足C B =.

3、命题的四种形式：

原命题：如果α，那么β。

逆命题：如果β，那么α。 否命题：如果α，那么β。 逆否命题：如果β，那么α。

同时讲清楚互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题.

四种命题的形式的联系

例3、试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.

命题A:如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; (真)

命题B:如果一个三角形两边相等,那么这两边所对的角也相等. (真)

解: 命题A 的逆命题是: 如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等;(假)

命题A 的否命题是: 如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等; (假)

命题A 的逆否命题是: 如果两个三角形的面积不相等,那么这两个三角形不全等; (真) 命题B 的逆命题是: 如果一个三角形两边所对的角相等,那么这两边也相等. (真)

命题B 的否命题是: 如果一个三角形两边不相等,那么这两边所对的角也不相等. (真) 命题B 的逆否命题是: 如果一个三角形两边所对的角不相等,那么这两边也不相等. (真)

(三)练习反馈

否命题原命题逆命题互

为逆否互

为逆否

互逆互逆

互互否否

逆否命题