人教高中数学B版必修2 空间中的垂直关系 精讲精析

1·2·3. 空间中的垂直关系
1.异面直线所成角：
(1)异面直线所成角：过空间任意一点作异面直线的平行线，则这两条平行线相交所成角即为这两条异面直线所成角.
异面直线所成角的范围：（0，].
注：两条相交直线所成角指的是两条相交直线形成的角中较小的角（锐角或直角）.
(2)异面直线垂直：如果两条异面直线a ，b 所成角为，则称这两条异面直线垂直，记
作：a ⊥b.
2.直线与平面所成角 直线与平面所成角：平面外一直线与平面相交，则该直线与它在该平面内的射影所成的角称为直线与平面所成的角；若直线与平面平行，则该直线与平面所成角为0；若直线a 与平面α内任何一条直线都垂直，那么称该直线与该平面垂直，记做：a ⊥α，此时称该直线a 是平面α的一条垂线.
说明：①直线与平面所成角是直线与平面上任意一条直线所成角中最小的角；
②直线与平面所成角的定义分为三个部分，分别定义了直线与平面斜交、平行和垂直.
思考：画直线与平面垂直相交时，怎样画可使得垂直的直观性显得更强烈呢？——让直线与表示平面的平面多边形的一条边垂直（如下图所示）.
直线与平面所成角的范围：α∈[0，].
①直线与平面平行时，α=0；
2
π
2
π
2π
②直线与平面垂直时，α=；
③直线与平面斜交时，α∈（0，）.
3.平面与平面所成角
(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面；
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；以直线AB 为棱、半平面α，β为面的二面角记作二面角α－AB －β.
(3)二面角的平面角：以二面角的棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，如图所示的∠AOB.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
说明：二面角的取值范围：[0，π].
思考：当二面角取值分别为0，，π时，其面所在的平面分别是什么关系？试着画一画.
(4)两个平面互相垂直：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：
α
⊥β，如下图中的两个阴影部分所示的平面相互垂直.
4.异面直线垂直的判定方法 (1)利用定义：过空间任意一点作这两条异面直线的平行线，证明这两条平行线互相垂直； 说明：①实践中常常是过空间某一特殊点作这两条异面直线的平行线，如某线段的中点、端点，或某两条直线的交点，几何体的某顶点等；
②作出平行线后，常利用解三角形的方法证明这两条异面直线的平行线所成角为直角，即将该角作为某三角形的内角进行研究.
(2)利用线面垂直的性质：若线面垂直，则该直线与平面内任一直线都垂直；
2π
2π
2π
利用重要结论（三垂线定理及其逆定理）：
①三垂线定理：平面内一条直线a与平面的一条斜线b垂直，则该直线a与b在平面内的射影c垂直；
②三垂线定理的逆定理：平面内一条直线a与平面的一条斜线b在平面上的射影c垂直，则该直线a与斜线b垂直.
5.直线与平面垂直的判定方法
(1)利用定义：直线与平面上任意一条直线都垂直，则该直线和该平面垂直；
说明：运用定义法时，一般地要先将任意直线间的关系转化为特殊直线间的关系；以后还可以借助向量法，比较简捷.
(2)利用直线与平面垂直的判定定理：平面外一条直线和平面内两条相交直线垂直，则该直线和该平面垂直.
(3)利用平面和平面垂直的性质：两个平面互相垂直，则在一个平面内作交线的垂线也垂直于第二个平面.
(4)利用平面和平面垂直的性质：两个相交平面和第三个平面垂直，则这两个相交平面的交线与第三个平面也垂直.
(5)利用平面与平面平行的性质：一条直线垂直于平行平面中的一个，则其必垂直于另一个平面.
(6)利用直线与平面垂直的性质：平行线中的一条与一平面垂直，则另一条也与该平面垂直.
6.平面和平面垂直的判定方法
(1)利用定义：两个平面相交形成直二面角，则这两个平面垂直；
说明：利用定义法往往需要作出二面角的平面角；
(2)利用平面垂直的判定定理：一个平面经过或平行于另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；
(3)利用结论：如果两个平面的垂线互相垂直，则这两个平面互相垂直.
7.直线与平面垂直的性质
(1)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行；
(2)直线和平面垂直的性质：平面的垂线与平面的平行线互相垂直.
(3)直线和平面垂直的性质：直线和平面垂直，则该直线和平面内任意一条直线都垂直.（线面垂直的定义）
(4)直线和平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.
(5)直线和平面垂直的性质：过一点作平面的垂线，有且只有一条.
8.平面与平面垂直的性质
(1)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.
(2)平面与平面垂直的性质：两个平面互相垂直，则过第一个平面内的任意一点作第二个平面的垂线一定属于第一个平面.
(3)平面与平面垂直的性质：两个平面相交且都和第三个平面垂直，那么它们的交线也和第三个平面垂直.
1. 在三棱台中，侧棱⊥底面，且．求证：
BC ⊥A1B
【解析】
证明：因为BC ⊥BB1，BC ⊥AB ，故由线面垂直的判定定理可知：BC ⊥平面AA1B1B ，即得BC ⊥A1B.
说明：在几何体中判定两条异面直线垂直，最主要的思路有二，一是由线面垂直进行论证，二是根据异面直线垂直的定义，采用构造的方法进行论证.当然，以后我们还有更好的方法（向量法）.
2. 如图，直三棱柱中，
，侧面的两条对角线交于点，的中点为，求证：平面
【解析】
证明：连结，∵∴，在直三棱柱中，∴
平面，∵，
∴，∴
，∵是侧面
的两条对角线的交点，∴是
与
的中点，∴，连结
，取
的中点，连结，则，
∵平面，∴平面，∴是在平面内的射影.在
ABC C B A -11
11BB ABC 2ABC π
∠=
111
ABC A B C -90,1,ACB AC CB ∠===
11AA =11AA B B
D 11B C M CD ⊥BDM 1A C
90,ACB ∠=
BC AC ⊥111ABC A B C -1CC AC ⊥AC ⊥
1CB 11AA =1AC =1
AC =1A C BC
=D 11AA B B
D 1A B
1
AB CD BD ⊥1B C
1B C
O DO //DO AC AC ⊥1CB DO ⊥1CB CO CD 1B C 1BB C
∆
中，
在中，
∴，∴，∴平面
3. 如图，为正三角形，平面，，且，是的中点，
3.求证：（1）平面平面；（2）平面平面. 【解析】
证明：
（1）点M 、B 与AC 中点N
连接，如图.
则，故MN BD ，从而MD//NB.
因为NB ⊥AC ，NB ⊥CE ，故NB ⊥平面ECA ，
从而：MD ⊥平面ECA.
由面面垂直的判定定理可知：平面BDM ⊥平面ECA.
（2）由（1）知，MD ⊥平面ECA ，由面面垂直的判定定理可知：平面DEA
⊥平面ECA. 说明：判定面面垂直的主要思路是其判定定理，即由线面垂直判定面面垂直.
4. 如图，矩形所在的平面，分别是的中点， （1）求证：平面； （2）求证：
（3）若
，求证：平面.
【解析】
证明：（1）点N 、A 与PD 的中点E 连接，如图：
则EN 是△PCD 的中位线，故NE AM ，故MN AE.
1tan BB C ∠=1BB M
∆1tan BMB ∠=11
BB C BMB ∠=∠1B C BM
⊥,CD BM BM BD B ⊥= CD ⊥BDM ABC ∆EC ⊥ABC //BD CE 2CE CA BD ==M EA BDM ⊥ECA DEA ⊥ECA CE 21MN //=//=PA ⊥ABCD ,M N ,AB PC //MN PAD MN CD ⊥4PDA π
∠=
MN ⊥PCD //=//
=
由线面平行的判定定理：MN//平面PAD.
（2）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ；又CD ⊥AD ，由线面垂直的判定定理可知：CD ⊥平面PAD ，故CD ⊥AE ；又AE//MN ，故CD ⊥MN.
（3）若，则AE ⊥PD ；又，AE ⊥CD ，故AE ⊥平面PCD ；由AE//MN ，故MN ⊥
平面PCD.
5. 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，
，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．
【解析】
解：（Ⅰ）取中点，连接交于点，
，，
又面面，面， ．
， ，，即， 面，．
（Ⅱ）在面内过点作的垂线，垂足为．
，，面，， 则即为所求二面角的平面角．
，
，， ，则cos ∠CGE=， 4PDA π
∠=
A BCDE -BCDE ABC ⊥BCDE 2BC
=CD =AB AC =AD CE ⊥CE ABE 45
C A
D
E -
-BC F DF CE O AB AC =∴AF BC ⊥ABC ⊥BCDE ∴AF ⊥BCDE ∴AF CE
⊥tan tan 2CED FDC ∠=∠=
∴90OED ODE ∠+∠= 90DOE ∴∠=
CE DF ⊥CE ∴⊥ADF CE AD ∴
⊥ACD C AD G CG AD ⊥CE AD ⊥AD ∴⊥CEG EG AD ∴⊥CGE ∠332=⋅=
AD CD AC
CG DG
=EG =
=
CE =1010
2222-
=⋅-+GE CG CE GE CG
πarccos
CGE
∴∠=-
⎝⎭C AD E
-
-πarccos
-
⎝⎭
，即二面角的大小为．。