2019北京市西城区高一(上)期末数学

2019北京市西城区高一（上）期末
数学 2019.1 试卷满分：150分考试时间：120分钟
A卷 [三角函数与平面向量] 本卷满分：100分
（A）向右平移
6个单位（B）向右平移
3
个单位
（C）向左平移π
6
个单位（D）向左平移
π
3
个单位
11．若
1
cos
2
θ=−，且θ为第三象限的角，则tanθ=______．
12．已知向量(1,2)
=
a．与向量a共线的一个非零向量的坐标可以是______．
13．如果π
tan()0(0)3
x x +=>，那么x 的最小值是______．
14．如图，已知正方形ABCD ．若AD AB AC λμ⎯⎯→
⎯⎯→
⎯⎯→
=+，其中λ，μ∈R ，则
λ
μ
=______． 15．在直角坐标系xOy 中，已知点(3,3)A ，(5,1)B ，(2,1)P ，M 是坐标平面内的一点．
① 若四边形APBM 是平行四边形，则点M 的坐标为______； ② 若2PA PB PM ⎯⎯→
⎯⎯→
⎯⎯→
+=，则点M 的坐标为______．
16．设函数π()sin()3f x x ω=+．若()f x 的图象关于直线6
x π
=对称，则ω的取值集合是_____.
三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知(0,)2απ∈，且3
sin 5α=．
（Ⅰ）求π
sin()4α−的值；
（Ⅱ）求2π
cos tan()24
αα++的值．
18．（本小题满分12分）
函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中0,0,||πA ωϕ>><． （Ⅰ）求
()f x 的解析式；
（Ⅱ）求()f x 在区间[,]2
π
π上的最大值和最小值；
（Ⅲ）写出()f x 的单调递增区间．
在直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A −
，B ，(cos ,sin )C θθ，其中[0,]2θπ
∈．
（Ⅰ）求AC BC ⋅的最大值；
（Ⅱ）是否存在[0,]2
θπ
∈，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不
存在，说明理由．
B 卷 [学期综合]本卷满分：50分
1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =−<<，则A B =_____． 2．函数21
()log f x x
=
的定义域为_____. 3．已知三个实数1
23a =，b =，3log 2c =．将,,a b c 按从小到大排列为_____．
4．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg M A A =−，其中00.005A =是标准地震的振幅，A 是测震仪记录的地
震曲线的最大振幅．在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为_____级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_____倍．
5．已知函数21,2,(),
3.x x x c f x x c x −⎧+−⎪
=⎨<⎪⎩≤≤≤
若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值 域是1[,2]4−，则实
数c 的取值范围是_____．
二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）
已知函数2
()1
x
f x x =
−． （Ⅰ）证明：()f x 是奇函数；
（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(1,1)−上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．
已知函数2()f x ax x =+定义在区间[0,2]上，其中[2,0]a ∈−． （Ⅰ）若1a =−，求()f x 的最小值； （Ⅱ）求()f x 的最大值．
8．（本小题满分10分）
已知函数()f x 的定义域为D ．若对于任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有12
12()()2()2
x x f x f x f ++<，则称函数()f x 为“凸函数”．
（Ⅰ）判断函数1()2f x x =与2()f x =
（Ⅱ）若函数()2x f x a b =⋅+（,a b 为常数）是“凸函数”， 求a 的取值范围；
（Ⅲ）写出一个定义在1
(,)2
+∞上的“凸函数”()f x ，满足0()f x x <<．（只需写出结论）
数学试题答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. D
2. C
3. B
4. C
5. B
6. D
7. D
8. B
9.A 10.A
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
(2,4)（答案不唯一） 13.
2π
3
14.1− 15.(6,3)；(4,2) 16.{|61,}
k k
ωω=+∈Z 注：第15题每空2分.
三、解答题：本大题共3小题，共36分.
17.（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：因为
π
0,
2
α∈()，
3
sin
5
α=，
所以cosα=……………………2分
4
5
=．……………………3分
所以
π
sin()cos)
42
ααα
−=−……………………5分
=．……………………6分（Ⅱ）解：因为
3
sin
5
α=，
4
cos
5
α=，
所以
sin
tan
cos
α
α
α
=……………………8分
3
4
=．……………………9分所以2
π1cos1tan
cos tan()
2421tan
ααα
α
α
++
++=+
−
……………………11分
79
10
=．……………………12分
18. （本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由图象可知 3A =． ……………………1分
因为 ()f x 的最小正周期为 66
T 7ππ
=
−=π， 所以 2T
ω2π
=
=． ……………………3分 令 262ϕππ⨯
+=， 解得 6
ϕπ
=，适合||ϕ<π． 所以 π
()3sin(2)6
f x x =+． ……………………5分
（Ⅱ）解：因为[,]2
x π
∈π，所以π2[,
]666x 7π13π+∈． ……………………6分 所以，当π13π266x +
=，即πx =时，()f x 取得最大值3
2
； ……………………8分 当π3π262x +
=，即2π3
x =时，()f x 取得最小值3−． ……………………10分 （Ⅲ）解：()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππ
π−π+（k ∈Z ）． ……………………12分
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：(cos 1,sin )AC θθ=+，(cos ,sin BC θθ=−． ……………………2分
所以 (cos 1)cos sin (sin AC BC θθθθ⋅=+⋅+⋅ ……………………3分
cos 1θθ=−+
π
2cos()13θ=++． ……………………4分
因为 [0,]2θπ
∈，所以 π[,]336θπ5π+∈． ……………………5分
所以 当ππ
33
θ+
=，即0θ=时，AC BC ⋅取得最大值2． ……………………6分
（Ⅱ）解：因为||2AB =，||AC =，
||BC =
又 [0,]2θπ
∈，所以 sin [0,1]θ∈，cos [0,1]θ∈，
所以 ||2AC ≤，||2BC ≤．
所以 若△ABC 为钝角三角形，则角C 是钝角，从而0CA CB ⋅<．………………8分
由（Ⅰ）得π2cos()103θ++<，解得π1
cos()32θ+<−． ……………………9分
所以 π(,]336θ2π5π+
∈， 即(,]32
θππ
∈． ……………………11分 反之，当(,]32
θππ
∈时，0CA CB ⋅<，
又 ,,A B C 三点不共线，所以 △ABC 为钝角三角形．
综上，当且仅当(,]32
θππ
∈时，△ABC 为钝角三角形． ……………………12分
B 卷 [学期综合] 满分50分
一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
1.{|13}x x −<<
2.{|01x x <<，或1}x >
3.c b a <<
4.5；1000
5.1[,)4−+∞；1[,1]2
注：第4题、第5题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）
（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为{|1}D x x =≠±. ……………………1分
对于任意x D ∈，因为 2()()()1
x
f x f x x −−=
=−−−， ……………………3分
所以 ()f x 是奇函数． ……………………4分 （Ⅱ）解：函数2()1
x
f x x =
−在区间(1,1)−上是减函数． ……………………5分 证明：在(1,1)−上任取1x ，2x ，且 12x x <， ……………………6分
则 121221122222
1212(1)()
()()11(1)(1)
x x x x x x f x f x x x x x +−−=
−=−−−−． ……………………8分 由 1211x x −<<<，得 1210x x +>，210x x −>，2110x −<，2
210x −<，
所以 12()()0f x f x −>，即 12()()f x f x >. 所以 函数2()1
x
f x x =
−在区间(1,1)−上是减函数. ……………………10分 7.（本小题满分10分）
（Ⅰ）解：当1a =−时， 2211
()()24f x x x x =−+=−−+． ……………………2分
所以 ()f x 在区间1(0,)2上单调递增，在1
(,2)2上()f x 单调递减．
因为 (0)0f =，(2)2f =−，
所以 ()f x 的最小值为2−． ……………………4分 （Ⅱ）解：① 当0a =时，()f x x =． 所以 ()f x 在区间[0,2]上单调递增，
所以 ()f x 的最大值为(2)2f =． ……………………5分
当20a −<≤时，函数2()f x ax x =+图像的对称轴方程是1
2x a
=−
. ………6分 ② 当1022a <−
≤，即124a −−≤≤时，()f x 的最大值为11()24f a a
−=−. ………8分 ③ 当1
04
a −<<时，()f x 在区间[0,2]上单调递增，
所以 ()f x 的最大值为(2)42f a =+． ……………………9分
综上，当124a −−≤≤时，()f x 的最大值为11
()24f a a
−=−；
当1
04a −<≤时，()f x 的最大值为42a +． ……………………10分
8.（本小题满分10分）
（Ⅰ）解：对于函数1()2f x x =，其定义域为R ．
取120,1x x ==，有12()()(0)(1)2f x f x f f +=+=，121
2(
)2()222
x x f f +==，
所以 12
12()()2(
)2
x x f x f x f ++=， 所以 1()2f x x =不是“凸函数”．…………2分
对于函数 2()f x =[0,)+∞． 对于任意12,[0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，由
2222
21212[()()][2(
)]02x x f x f x f ++−=−=−<， 所以 22
1212[()()][2(
)]2
x x f x f x f ++<． 因为 12()()0f x f x +>，12
2(
)02
x x f +>，
所以 12
12()()2(
)2
x x f x f x f ++<， 所以 2()f x =4分 （Ⅱ）解：函数()2x f x a b =⋅+的定义域为R ． 对于任意12,x x ∈R ，且12x x ≠， 12
12()()2(
)2
x x f x f x f ++− 12
12
2
(2)(2
)2(2)x x x x a b a b a b +=⋅++⋅+−⋅+ ……………………5分
12
12
2
(22
22)x x x x a +=+−⨯
1
2
22
2(22)x x a =
−． (7)
分
依题意，有1
2
2
22(22)0x x a −<．
因为 1
2
2
22(22)0x x −>，所以 0a <． ……………………8分
（Ⅲ）1
()()2
f x x >．
（注：答案不唯一）
……………………10分
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