2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的基本定理课件人教B版选修2_1

本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
(2)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 (x，y)，使M→P＝xM→A＋yM→B.满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式．这 个充要条件常用以证明四点共面． 3．空间任意三个不共面的向量 a、b、c 皆可构成空间向量的一 个基底，因此，基底有无数个，所以基底的选择范围很广，但 在具体的题目或几何体中往往选择具有特殊关系的三个不共面 向量作为基底．
判断向量 a，b 共线的方法有两种 (1)定义法 即证明 a∥b，先证明 a，b 所在基线平行或重合． (2)利用“a＝xb⇒a∥b”判断 a，b 是空间图形中的有向线段，利用空间向量的运算性质，结 合具体图形，化简得出 a＝xb，从而得 a∥b，即 a 与 b 共线．
如图所示，ABCD、ABEF 都是平行四边形，且 不共面，M、N 分别是 AC、BF 的中点，判断C→E与M→N是否共 线？
向量共线与共面不具有传递性，如 a∥b，b∥c，那么 a∥c 就不 一定成立．因为当 b＝0 时，虽然 a∥b，b∥c，但 a 不一定与 c 共线．
1．已知空间向量 a，b 不共线，p＝ka＋b，q＝a－k2b，若 p，q
共线，则 k 的值是( )
A．0
Βιβλιοθήκη Baidu
B．1
C．－1
D．2
解析：选 C．若 p，q 共线，则存在唯一的实数 x，使 p＝xq，
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．( × ) (2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个 向量不是共面向量．( × ) (3)若 a∥b，则存在惟一的实数 λ，使 a＝λb.( × ) (4)空间中任意三个向量一定是共面向量．( × )
【解】 由已知可得，M→E＝M→D1＋D→1A1＋A→1E ＝12B→A＋C→B＋13A→1A＝－N→B＋C→B＋13C→1C ＝C→N＋F→C＝F→N＝－N→F. 所以M→E＝－N→F， 故M→E与N→F共线．
在本例中，若 M、N 分别为 AD1，BD 的中点， 证明M→N与D→1C共线．
证明：连接 AC，则 N∈AC 且 N 为 AC 的中点， 所以A→N＝12A→C， 由已知得A→M＝12A→D1， 所以M→N＝A→N－A→M ＝12A→C－12A→D1＝12D→1C. 所以M→N与D→1C共线．
4．空间的任意三个向量 a，b，3a－2b，它们一定是( ) A．共线向量 B．共面向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量 答案：B
共线向量的判定 如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1D1，AB 的中点，E 在 AA1 上且 AE＝2EA1，F 在 CC1 上且 CF ＝12FC1，判断M→E与N→F是否共线？
第三章 空间向量与立体几何
3．1.2 空间向量的基本定理
第三章 空间向量与立体几何
1.了解共线向量的概念、向量与平面平行的意义． 2. 理解共线向量定理、共面向量定理、空间向量分解定理． 3．会 用适当的基底表示其他向量．
1．共线向量定理 两个空间向量 a，b__(b_≠__0_) __，a∥b 的充要条件是_存__在__唯__一___的 实数 x，使_a_＝__x_b__．
【解】 (1)由已知，得O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， 所以O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)， 所以M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， 所以向量M→A、M→B、M→C共面． (2)由(1)知向量M→A、M→B、M→C共面，三个向量的基线又有公共 点 M，所以 M、A、B、C 共面，即点 M 在平面 ABC 内．
答案：0 0 0
4．设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个 基底，给出下列向量组： ①{a，b，x}，②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间基底的向量组有________．
解析：如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A′，c＝A→D， 则 x＝A→B′，y＝A→D′，z＝A→C，a＋b＋c＝A→C′. 由图知，A，B′，C，D′四点不共面，故向 量 x，y，z 也不共面． 同理 b，c，z 和 x，y，a＋b＋c 也不共面．所以，可以作为空间 基底的向量组有②③④. 答案：②③④
共面向量定理可用来证明四点共面，也可以证明线线平行，在 本题中的一般结论是若O→M＝xO→A＋yO→B＋zO→C，且 x＋y＋z＝1， 则 M、A、B、C 四点共面．
如图所示，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平 面外一点，连接 PA，PB，PC，PD，点 E，F，G，H 分别为△PAB， △PBC，△PCD，△PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E， F，G，H 四点共面．
因为 MNQR 为平行四边形， 所以E→G＝P→G－P→E＝23P→Q－23P→M＝23M→Q＝23(M→N＋M→R) ＝23(P→N－P→M)＋23(P→R－P→M) ＝2332P→F－32P→E＋2332P→H－32P→E ＝E→F＋E→H. 所以由共面向量定理得 E，F，G，H 四点共面．
空间向量分解定理的应用 如图所示，空间四边形 OABC 中，G、H 分别是△ABC、 △OBC 的重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用向量 a、b、c 表示向量G→H.
用基底表示向量时， (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平 行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行运算． (2)若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的 基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角 是否已知或易求．
已知空间四边形 OABC，点 M、N、P 分别是 OA， BC，OC 的中点，且O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用 a、b、c 表 示M→N，M→P.
即 ka＋b＝xa－xk2b⇒k1＝ ＝x－xk2⇒k＝－1.
2．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量 p＝a
＋b，q＝a－b 构成基底的向量是( )
A．a
B．b
C．a＋2b
D．a＋2c
解析：选 D．构成基底的条件是三个向量不共面，故只有 D 选
项满足条件．
3．对于不共面的三个向量 a，b，c，如果 xa＋yb＋zc＝0，则 x ＝________，y＝________，z＝________．
【解】 由题意知G→H＝O→H－O→G， 因为O→H＝23O→D＝23×12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， O→G＝O→A＋A→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝13O→A＋23×12(O→B＋O→C)＝13a＋13(b＋c)， 所以G→H＝13(b＋c)－13a－13(b＋c)＝－13a， 即G→H＝－13a.
2．共面向量定理
于平面α或在α内
平行
同一平面
存在唯一 c＝xa＋yb
3．空间向量分解定理 如果三个向量 a，b，c_不__共__面___，那么对空间任一向量 p， _存__在__一__个__唯__一__的___有序实数组 x，y，z，使 p＝__p_＝__x_a_＋__yb_＋__z_c__， 这时 a，b，c 叫做空间的一个_基__底___，记作{a，b，c}，其中 a， b，c 都叫做_基__向__量___．
2．已知 λ∈R，则下列命题正确的是( ) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0
答案：C
3．若 e1，e2 不共线，则下列各组中的两个向量 a，b 共线的是( ) A．a＝e1－e2，b＝12e1＋12e2 B．a＝12e1－13e2，b＝2e1－3e2 C．a＝13e1－12e2，b＝2e1－3e2 D．a＝e1＋e2，b＝12e1－12e2 答案：C
解：因为M→N＝M→C＋C→B＋B→N＝12A→C－B→C＋12B→F ＝12(B→C－B→A)－B→C＋12(B→A＋B→E) ＝－12B→C＋12B→E＝－12(B→C－B→E) ＝－12E→C＝12C→E，所以M→N∥C→E，即C→E与M→N共线．
共面向量的判定 已知 A、B、C 三点不共线，O 为平面 ABC 外的一点， 若点 M 满足O→M＝13O→A＋13O→B＋13O→C. (1)判断M→A、M→B、M→C三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
证明：分别连接并延长 PE，PF，PG，PH 交对边于 M，N，Q，R.如图所示， 因为 E，F，G，H 分别是所在三角形的重 心，所以 M，N，Q，R 为所在边的中点， 顺次连接 M，N，Q，R，所得四边形为平 行四边形，且有P→E＝23P→M，P→F＝23P→N，P→G＝23P→Q，P→H＝23P→R.
解：M→N＝M→O＋O→N＝－12O→A＋12(O→B＋O→C) ＝12(－a＋b＋c)， M→P＝O→P－O→M＝12(c－a)．
1．共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量 a，b，若 存在实数 x，使 a＝xb(b≠0)⇒a∥b，可以作为以后证明线线平 行的依据，但必然在 a(或 b)上有一点不在 b(或 a)上． 2．线面平行与四点共面问题 (1)证明线面平行，据题设选择平面内两个不共线向量(一组基 底)，该线所对应向量用平面内不共线向量(基向量)表示成 a＝xb ＋yc 形式，又线不在平面内，即证线面平行．