人教A版高中数学选修1-1(十九) 3.1.3 导数的几何意义

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课时提升作业(十九)
导数的几何意义
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.曲线y=x3-3x在点(2,2)的切线斜率是( )
A.9
B.6
C.-3
D.-1
【解析】选A.Δy=(2+Δx)3-3(2+Δx)-23+6=9Δx+6(Δx)2+(Δx)3,
=9+6Δx+(Δx)2,
=(9+6Δx+(Δx)2)=9,
由导数的几何意义可知,曲线y=x3-3x在点(2,2)处的切线斜率是9.
2.曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.y=5x-1
B.y=-5x+1
C.y=x+1
D.y=-x-1
【解析】选A.k==5.
f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.
3.下面说法正确的是( )
A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线
B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在
【解析】选C.f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,当切线垂直于x轴时,切线的斜率不存在,但存在切线.
【补偿训练】曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为( )
A.30°
B.45°
C.135°
D.60°
【解析】选B.Δy=(-1+Δx)3-2-×(-1)3+2=Δx-(Δx)2+(Δx)3,
=1-Δx+(Δx)2,
==1,
所以曲线y=x3-2在点处切线的斜率是1,倾斜角为45°.
4.(2015·武汉高二检测)已知曲线y=在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为,则直线l的方程为( )
A.4x-y+9=0
B.4x-y+9=0或4x-y+25=0
C.4x+y+9=0或4x+y-25=0
D.以上均不对
【解析】选C.y′==-4,所以k=-4,所以切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0, 设l:4x+y+c=0(c≠-8),由题意=,
所以c=9或-25.
5.(2015·丽水高二检测)已知曲线y=x2-2上一点P,则在点P处的切线的倾斜角为( )
A.30°
B.45°
C.135°
D.150°
【解析】选B.在点P处的切线的斜率k=f′(1)
==
===1.
设切线的倾斜角为α,则tanα=1,
又0°≤α≤180°,所以α=45°.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.若抛物线y=x2与直线2x+y+m=0相切,则m=________.
【解析】设切点为P(x0,y0),易知,y′=2x.
由得即P(-1,1).
又P(-1,1)在直线2x+y+m=0上,
故2×(-1)+1+m=0,即m=1.
答案:1
7.曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为________.
【解析】设f(x)=y=x2-3x,切点坐标为(x0,y0),
f′(x0)===2x0-3=1, 故x0=2,y0=-3x0=4-6=-2,故切点坐标为(2,-2).
答案:(2,-2)
8.(2015·惠州高二检测)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=________.
【解析】因为点P在切线上,所以f(5)=-5+8=3,
又因为f′(5)=k=-1,
所以f(5)+f′(5)=3-1=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在曲线E:y=x2上求出满足下列条件的点P的坐标.
(1)在点P处与曲线E相切的直线平行于直线y=4x-5.
(2)在点P处与曲线E相切的直线与x轴成135°的倾斜角.
【解析】f′(x)=
==2x,设P(x0,y0)为所求的点.
(1)因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4,x0=2,y0=4,即P(2,4).
(2)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以其斜率为-1,即2x0=-1,得x0=-,
即y0=,即P.
10.(2015·天水高二检测)已知曲线C:y=经过点P(2,-1),求
(1)曲线在点P处的切线的斜率.
(2)曲线在点P处的切线的方程.
(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程.
【解析】(1)将P(2,-1)代入y=中得t=1,
所以y=.所以===,
所以=,
所以曲线在点P(2,-1)处切线的斜率为k==1.
(2)曲线在点P处的切线方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.
(3)因为点O(0,0)不在曲线C上,设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0,y0),则切线斜率k==,
由于y0=,所以x0=,所以切点M,切线斜率k=4,切线方程为y-2=4,即y=4x.
【补偿训练】试求过点P(1,-3)且与曲线y=x2相切的直线的斜率.
【解析】设切点坐标为(x0,y0),则有y0=.
因为y′=了==2x.
所以k=2x0.
所以切线方程为y-=2x0(x-x0),
将点(1,-3)代入,得:-3-=2x0-2,
所以-2x0-3=0,所以x0=-1或x0=3.
当x0=-1时,k=-2;当x0=3时,k=6.
所以所求直线的斜率为-2或6.
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.设f(x)为可导函数且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A.2
B.-1
C.1
D.-2
【解析】选B.
==
=f′(1)=-1.
【补偿训练】(2015·聊城高二检测)设函数f(x)满足=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是( )
A.2
B.-1
C.
D.-2
【解析】选B.因为==f′(1)=k=-1,所以y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是-1.
2.(2015·贵阳高二检测)已知函数y=f(x)的图象如图,f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )
A.0>f′(x A)>f′(x B)
B.f′(x A)<f′(x B)<0
C.f′(x A)=f′(x B)
D.f′(x A)>f′(x B)>0
【解析】选B.f′(x A)和f′(x B)分别表示函数图象在点A,B处的切
线斜率,故
f′(x A)<f′(x B)<0.
【补偿训练】已知y=f(x)的图象如图所示,则f′(x A)与f′(x B)的大小关系
是( )
A.f′(x A)>f′(x B)
B.f′(x A)=f′(x B)
C.f′(x A)<f′(x B)
D.f′(x A)与f′(x B)大小不能确定
【解析】选 A.由y=f(x)的图象可知,k A>k B,根据导数的几何意义
有:f′(x A)>
f′(x B).
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.函数y=f(x)=在x=1处的切线方程为________.
【解析】f(1)==1,f′(1)====-1,
则切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
答案:x+y-2=0
4.(2015·南京高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),
f′(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为________.
【解题指南】由导数的定义,先求出f′(0)的值,从而求出的表达式,再利用“对于任意实数x,有f(x)≥0”这一条件,借助不等式的知识即可求解.
【解析】由导数的定义,得f′(0)==
==b.
又因为对于任意实数x,有f(x)≥0,
则所以ac≥,所以c>0.
所以=≥≥=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切.
(1)求切点的坐标.
(2)求a的值.
【解析】(1)设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)点,则
f′(x)=
=
=3x2-2x.
由题意知,k=1,即3-2x0=1,解得x0=-或x0=1.
于是切点的坐标为或(1,1).
(2)当切点为时,=-+a,a=;
当切点为(1,1)时,1=1+a,a=0(舍去).
所以a的值为.
【补偿训练】设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.
【解析】因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(+a-9x0-1)
=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,
所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3+2ax0-9,即f′(x0)=3+2ax0-9,
所以f′(x0)=3-9-.
当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.因为斜率最小的切线与12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12,所以-9-=-12.
解得a=±3.又a<0,所以a=-3.
6.(2015·厦门高二检测)试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.
【解析】=
==3xΔx+3x2+Δx2.
=3x2,因此y′=3x2,设过(1,1)点的切线与y=x3+1相切于点P(x0,+1),据导数的几何意义,函数在点P处的切线的斜率为k=3①,
过(1,1)点的切线的斜率k=②,
所以3=,解得x0=0或x0=,所以k=0或k=,因此y=x3+1过点M(1,1)的切线方程有
两个,分别为y-1=(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0或y=1.
【误区警示】本题易错将点(1,1)当成了曲线y=x3+1上的点.因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再据不同情况求解.
【补偿训练】若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,求点P的坐标.
【解题指南】抛物线上到直线y=4x-5的距离最短的点,是平移该直线与抛物线相切时的切点.解答本题可先求导函数,再求P点的坐标.
【解析】由点P到直线y=4x-5的距离最短知,过点P的切线方程与直线y=4x-5平行.
设P(x0,y0),则y′===
=(8x+4Δx)=8x,
由得
故所求的P点坐标为.
【拓展延伸】求最值问题的两种方法
(1)目标函数法:通过设变量构造目标函数,利用函数求最值.
(2)数形结合法:根据问题的几何意义,利用图形的特殊位置求最值.
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小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。