2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练(三十二)等差数列及其前n项和 含解析

课时跟踪练(三十二)

A 组 基础巩固

1．[一题多解]已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )

A ．－1

B ．－2

C ．－3

D ．－4

解析：法一 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1

＋d ＝2，

解得a 1＝5，d ＝－3.

法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，所以a 4＝－4， 所以a 4－a 2＝－4－2＝2d ，所以d ＝－3. 答案：C

2．[一题多解](2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10

＝8，则a 100＝( )

A ．100

B ．99

C ．98

D ．97

解析：法一 因为{a n }是等差数列，设其公差为d ， 所以S 9＝9

2

(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，所以a 5＝3.

又因为a 10＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，所以⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，

d ＝1.

所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二 因为{a n }是等差数列，

所以S 9＝9

2

(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，所以a 5＝3.

在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10

－a 5＝8－3＝5.

故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.

答案：C

3．(2019·太原模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 3＋a 10

＝9，则S 9＝( )

A ．3

B ．9

C ．18

D ．27

解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 因为a 2＋a 3＋a 10＝9，

所以3a 1＋12d ＝9，即a 1＋4d ＝3， 所以a 5＝3，

所以S 9＝9×（a 1＋a 9）2＝9×2a 52＝27.故选D.

答案：D

4．(2019·汕头模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 5

5＝

－4，则S n 取最大值时的n 为( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．4或5

解析：由{a n }为等差数列，得S 99－S 5

5＝a 5－a 3＝2d ＝－4，即d ＝－2，

由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，令a n ＝－2n ＋11<0，得n >11

2，又因为

n ∈N *，

所以S n 取最大值时的n 为5，故选B. 答案：B

5．(2019·合肥质量检测)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )

A ．174斤

B ．184斤

C ．191斤

D ．201斤

解析：用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，

由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，

所以8a 1＋8×7

2×17＝996，

解得a 1＝65.

所以a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤．故选B. 答案：B

6．在等差数列{a n }中，公差d ＝1

2，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3

＋a 5＋…＋a 99＝________．

解析：因为S 100＝100

2(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝0.9.a 1＋a 99＝a 1＋a 100

－d ＝0.4，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝50

2

×0.4＝10.

答案：10

7．(2019·莆田质量检测)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________．

解析：将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1可得

1

a n ＋1－1

a n

＝2. 所以⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是以1

a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，

所以1a 6＝1a 1＋5×2＝11，即a 6＝111.

答案：111

8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100

＝________．

解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16

＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝8

9，因此S100＝10S10＋

10×9

2d＝10×16＋

10×9

2

×8

9＝200.

答案：200

9．在等差数列{a n}中，a1＝1，a3＝－3.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)若数列{a n}的前k项和S k＝－35，求k的值．

解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，

则a n＝a1＋(n－1)d.

由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，

解得d＝－2.

从而a n＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.

(2)由(1)可知a n＝3－2n，

所以S n＝

n[1＋（3－2n）]

2＝2n－n

2.

由S k＝－35，可得2k－k2＝－35，

即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.

又k∈N*，故k＝7.

10．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为S n，且S k＝

110.

(1)求a及k的值；

(2)设数列{b n}的通项公式b n＝S n

n，证明：数列{b n}是等差数列，并求其

前n项和T n.

(1)解：设该等差数列为{a n}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，

由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，