高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布课前

2.4 正态分布
课前导引
问题导入
正态分布在实际生产、生活中有着广泛的应用，很多变量，如测量的误差、产品的尺过等服从或近似服从正态分布，利用正态分布的有关性质可以对产品进行假设检验. 知识预览
1.正态分布密度曲线与正态分布 我们称φu ,δ(∞)=
2
22)(21δδ
πv x e
--
•[x ∈(-∞,+∞),其实实数μ和δ(δ>0)为参数]的图象
（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
一般地，如果对于任何实数a ＜b ，随机变量X 满足P(a ＜X≤b)=
⎰b
a
s
u ,ϕ
(x)dx,则称X 的分布
为正态分布.正态分布完全由参数μ和δ确定，因此正态分布常记作N （u,δ2
). 如果随机变量X 服从正态分布，
则记为X —N （μ，δ2
），
若X —N （μ，δ2），则X 的均值与方差分别为EX=μ,DX=δ2
2.正态曲线的性质
（1）曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. （2）曲线关于直线x=μ对称. （3）当x=μ时曲线处于最高点，当x 向左、向右无限延伸时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
（4）当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限靠近.
（5）当μ一定时，曲线的形状由δ确定，δ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；δ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. （6）当δ相同时，正态分布曲线的位置由均值μ所决定.设x 是一个服从正态分布的随机变量，则对任意的数a ＞0及b ，ax+b 仍旧是一个服从正态分布的随机变量. 3.正态分布与标准正态分布 （1）正态分布与标准正态分布 ①如果随机变量X 的概率函数为φ(x)=
2
221x e
-
π
(-∞＜x ＜+∞),则称X 服从标准正态分
布，即X —N （0＞1). ②正态分布的密度函数
若X —N(0,1),则X 的分布函数，通常用φ(x)表示，且有φ（x ）=P(X≤∞).
对于一切x≥0,φ(x)的值可在标准正态分布表中查到；对于x ＜0的φ（x)值，可用φ（x ）=1-φ（-x)求出.
若X—N（μ，δ2）则X的分布函数通常用F（x）表示，且有P（X≤∞)=F(x)=φ(
δμ
-
x
) ③P(a＜x≤b)的计算
若X—N（0，1），则P（a＜X≤b)=φ(b)-φ(a),即通过查标准正态分布表中x=a,x=b时的φ（x)值，可计算概率P(a＜X≤b).
(2)标准正态分布与一般正态分布的关系
①若X—N（μ，σ2),则Y=
σμ
-
X
—N(0,1).
②若X—N(μ,σ2),则P（a＜X≤b)=F(b)-F(a)=Φ(
σμ
-
b
)-Φ(
σμ
-
a
),
即通过查标准正态分布表中x=
σμ
-
a
,x=
σμ
-
b
的φ（x）值，可计算服从N（μ，σ2)的随机变量X取值在a与b之间的概率.
4.假设检验的基本思想与生产过程中质量控制图
（1）假设检验
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：
①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分成N（μ,σ2).
②确定一次试验中的取值a是否落入范围(μ-3σ,μ+3σ).
③作出推断：
如果a∈(μ-3σ,μ+3σ),接受统计假设.
如果a∉(μ-3σ,μ+3σ),由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
（2）生产过程中质量控制图及其原理.
质量控制图是进行质量管理的有力工具，是根据假设检验的基本思想制作的将正态分布曲线（如图1）顺时针旋转90°即可得到控制图，如图2所示.
图1中的直线x=μ,x=μ-3σ,x=μ+3σ分别成为图2中的中心线.控制下界和控制上界.在生产过程中，从某一时刻（例如凌晨1时）起，每隔1小时，对检验对象任取1个进行检查，并把结果用圆点在图2上表示出来，为了便于考查圆点的变动趋势，常用折线把它们连接起来，考点在控制界内，服从假设;否则，要拒绝假设.。