第一章 空间向量与立体几何+答案解析(附后)

第一章空间向量与立体几何单元 1 空间向量及其运算 B 卷关
键能力全优
一、单选题（本大题共6小题，共30分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若A ，B ，C ，D 为空间中不同的四点，则下列各式为零向量的是( )①；②
；
③；④
A. ①②
B. ②③
C. ②④
D. ①④
2
.已知向量，，且
与
互相平行，则实数k 的值是( )
A. B.
C.
D.
3.已知，，，则点A 到直线BC 的距离为( )
A.
B. 1
C. D.
4.已知空间向量，
，则向量在向量
上的投影向量是( )
A. B.
C. D.
5.若，
，且与
的夹角为钝角，则x 的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
6.圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形SAB ，O 为底面中心，AB 是底面的一条直径，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内包括圆周若
，则点P 形成的轨迹的长度为( )
A.
B.
C. 3
D.
二、多选题（本大题共3小题，共15分。

在每小题有多项符合题目要求）
7.已知向量，
，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
8.已知向量
，则下列选项中与垂直的单位向量有( )
A. B.
C. D.
9.设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
10.若，，则__________.
11.已知，，，，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是__________.
12.《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，
袤七尺．该羡除是一个多面体ABCDFE，如图，四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，，平面平面ABEF，梯形ABCD和梯形ABEF的高分别为3，7，且，，，则__________.
四、解答题（本大题共4小题，共48分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13.本小题12分
在空间直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，求证：
是直角三角形．
14.本小题12分
已知向量，
求和；
若，判断能否构成空间的一组基底，并说明理由．
15.本小题12分
如图，平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设，，
试用，，表示向量，；
若，求直线AC与所成的角．
16.本小题12分
已知空间三点，，
若点D在直线AC上，且，求点D的坐标；
求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的线性运算，解题的关键是掌握空间向量的加法和减法的运算法则，属于基础题．利用空间向量加法和减法的运算法则，对四个选择逐一化简判断即可．
【解答】
解：①；
②；
③
④
故选
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间向量共线的应用，属于基础题．
由题意得到方程组，解出即可．
【解答】
解：由题意得，
与互相平行，，解得
故选
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间点到直线距离，属于基础题.
先求出，，然后利用即可.
【解答】
解：，，，
，，
点A到直线BC的距离为：
，
故选
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查投影向量的坐标运算，考查分析与计算能力，属于中档题.
根据投影向量的性质求解即可.
【解答】
解：因为向量，，
所以，，，
所以向量在向量上的投影向量为
故选
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量的数量积及其运算律，属于基础题.
由两向量的夹角为钝角可知，再排除二者共线的情况即可.
【解答】
解：由与的夹角为钝角，得，解得
又因为当时，，，与共线且方向相反，不符合题意，所以x的取值范围是
故选
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆锥的结构特征，利用空间向量判定线线垂直关系．直线和圆的位置关系，属中档题.
建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程，得到P的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系，则，，
设，则，，
因为，所以，
即，故直线被圆锥底面截得的线段为点P形成的轨迹，其长度为故选
7.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查了空间向量的坐标运算及数量积运算，以及向量的模、夹角，属于基础题.
根据向量的坐标运算及数量积运算，逐项分析判断，即可得出结论.
【解答】
解：因为，，
所以，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D错误．
故选
8.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查空间向量垂直的坐标表示，属于基础题.
根据向量垂直的条件及单位向量验证即可.
【解答】
解：对于A，，选项中向量不是单位向量；
对于B，，
且，满足题意；
对于C，，
且，满足题意；
对于D，，选项中向量与不垂直．
故选
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查空间向量数量积的运算，属于基础题.
首先建立空间坐标系然后通过坐标运算即可求出结果.
【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，，，
，，
，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确．
故选
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的模长，空间向量的坐标运算，属于基础题.
先求出，再由模长公式求解即可.
【解答】
解：，
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的共线问题以及数量积的应用问题，是基础题目．
根据题意，设出点Q的坐标，求出的表达式，计算取最小值时点Q的坐标．【解答】
解：由于点Q在直线OP上运动，，
故令，则，则，
则，，
所以
当时，取最小值，此时
故答案为
12.【答案】14
【解析】【分析】
本题主要考查了线面垂直的判定，利用空间向量的坐标运算求向量的数量积，属于中档题.
过A分别作CD，EF的高，垂足分别为N，M，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z
轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，即可求出的值.
【解答】
解：过A分别作CD，EF的高，垂足分别为N，M，
平面平面ABEF，，
平面平面，平面ABEF，
，，又，
，AB，AM两两垂直，
以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则由题意可知，，，，
故，，故
故答案为
13.【答案】证明：，，，
，，，
，，
是直角三角形．
【解析】本题考查空间向量的坐标计算以及向量向量垂直的判断，涉及直角三角形的判断，属于基础题．
根据题意，由A、B、C的坐标可得向量、的坐标，进而计算可得，据此可得
，则有；即可得结论．
14.【答案】解：，
所以
又，所以
设，即解得即，所以，，共面，不能构成空间的一组基底．
【解析】本题考查空间向量的坐标运算，向量的模长与夹角，空间向量的基本定理，属于中档题.
由向量坐标运算及夹角、模长公式求解即可.
设，即，可得，，共面，所以不能构成一组基底.
15.【答案】解：由向量的加减运算法则知，在正方形ABCD中，
连接，在平行六面体中，
由题意知，，，⟨⟩，⟨，
又，
，
所以⟨⟩
因为，所以
所以AC与所成的角的大小为
第11页，共11页【解析】本题考查空间向量的模，夹角求解问题，空间向量的加减运算和数量积运算，属于中档题.
根据空间向量的加法或减法法则很容易求解．
根据已知条件分别求出，代入⟨⟩即可得解.
16.【答案】解：
易知，点D 在直线AC 上，设，
，，，
，
，
，，，
，
，
，⟨⟩，
，
平行四边形的面积
，
以BA ，BC 为邻边的平行四边形的面积为
【解析】本题考查了空间向量坐标运算，空间向量数量积、模长、夹角之间的运算，考查了运算求解能力，属于中档题.
先用参数表示出点D 的坐标，再根据
建立方程求出参数，即可求出点D 的坐标；先写出、坐标，进而求出、以及与夹角余弦值，然后求出与夹角正弦值，代入三角形面积公式求解即可
.。