数学物理方法第二次作业答案

数学物理方法第二次作业答案
第七章数学物理定解问题
1．研究均匀杆的纵振动。

已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为
__。

2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为。

3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为00,0x x l u u ==== 。

4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为0T 。

在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___
f (0)=0,f (l )=0; _____。

5、下列方程是波动方程的是 D 。

A 2tt xx u a u f =+；
B 2
t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D
2tt x u a u =。

6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。

A 1个；
B 2个；
C 3个；
D 4个。

7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放手任其振动。

”该物理问题的初始条件为( D )。

A ．∈-∈==]
,2[),(2]2,0[,2l l x x l l
h l x x l h
u o
t B ．
====00
t t
t u h
u C ．h u t ==0
D ．=????
∈-∈===0
],2[),(2]2,0[,200t t t u
l l x x l l h l x x l h
u
8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变力t F ωsin 0的作用而振动。

”则该定解问题为( B )。

A ．===<<-=-===0
,0,0)0(,)(sin 0000
2
t l x x xx tt u u u
l x x x t F u a u ρ
δω u
x
h
2
/l 0
u 图
B ．
====<<-=-====0,00,0)0(,)(sin 00
0002
t t t l x x xx tt
u
u u u l x x x t F u a u ρ
δω
C ．==<<-=-==0
,0)0(,)(sin 00002
t t t xx tt
u u
l x x x t F u a u ρδω
D ．??
==-==<<=-====0
,0)(sin ,0)0(,0000002t t t l x x xx tt u u x x t F u u l x u a u ρδω9．线密度为ρ长为l 的均匀弦，两端固定，用细棒敲击弦的0x 处，敲击力的冲量为I ，然后弦作横振动。

该定解问题为：（ B ）。

A ．=====-====0,00,000
02
t t t l x x xx tt u u u u I u a u ρ
B ．====-=-====0,00
,0)(00002
t t t l x x xx tt u u u u x x I u a u ρδ C ．
====<<=-====ρI u u u u l x u a u t t t l x x xx tt 0002
,00
,0)0(,0 D ．
-====<<=-====ρδ)(,00
,0)0(,000002
x x I u u u u l x u a u t t t l x x xx tt 10．下面不是定解问题适定性条件的( D )。

11、名词解释：定解问题；边界条件
答：定解问题由数学物理方程和定解条件组成，
定解条件包括初值条件、边界条件和连接条件。

研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特定“环境”，而周围花牛的影响常体现为边
A ．有解
B ．解是唯一的
C ．解是稳定的
D ．解是连续的
界上的物理状况，即边界条件，常见的线性边界条件，数学上分为三类：第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值；第二类边界条件，规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值；第三类边界条件，规定了所研究的物理量以及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。

用表示边界即
（1）第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值，
，代表边界
（2）第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数在边界眩的数值，
（3）第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值，
第八章分离变数（傅里叶级数）法
1．用分离变数法求定解问题
2
0,(0)
0,0
()
t xx
x x
x x l
t
u a u x l
u u
u x
==
=
-=<<
==
=
的解，其中)
(x
为x的已知函数。

解：令bx
x=
)
(
设
2．用分离变数法求定解问题20000,(0)0,0,0tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u bx u ====?-=<<??
==??==??的解，其中b 为常数。

解：以分离变数形式的试探解
)()(),(t T x X t x u = 代入泛定方程和边界条件，得
02=''-''T X a T X ?
λ-≡'
'=''T
a T X X 2，
=+''X X λ；02
=+''T a T λ；
==0
0)()(l X X
===+''0
)(,0)0(0l X X X X λ
本征值：22
2l
n n πλ=)
,3,2,1(Λ=n ；本征函数：x l
n c x X
n πsin
)(2=
将
2
2
2l
n n πλ=代入02
=+''T a T λ，得
0)()(2
2
22=+''t T l
a n t T n n π
其通解为t l
a
n B t l a n A t T n
ππsin cos )(+= 本征解为：)()(),(t T x X t x u n n n
=x l
n t l a n B t l a n A n n π
ππsin )sin cos
(+=
)
,3,2,1(Λ=n
一般解为：(,)u x t ∑∞
=+=1
n n
n
x l
n t l a n B t l a n A πππsin )sin cos ( 0 ,00
=∴==n t t
B u Θ
bx x l n A n n
∑∞
==1
sin π
=∴l
n xdx l n x l b A 0
sin 2π1
2(1)
n bl n π+=-
11
2(,)(1)cos sin n n bl n a n u x t t x n l l πππ∞
+=∴=-∑
3．求定解问题200
sin ,(0)0,00t xx x x x x l t u a u t x l u u u ω===?-=<<? ==??=?的解
解：令∑∞
==0
cos )(),(n n x l n t T t x u π
t x l n T l a n T n n n ωππsin cos )(0
2
222=+'∑∞
=
t T ωsin 0='∴0
0cos 1
A t T +-
=ωω
02
2
2
2
=+
'n n T l
a
n T π2222
n a t
l n n T C e π-=
00
t u ==Q ， (0)0n
T ∴=
0,1
==∴n
C A ω
)cos 1(1
),(t t x u ωω-=∴
4．求定解问题
===<<=-===0,)0(,00
0002t l x x xx t u u u u u l x u a u 的解，其中0u 为常数。

解：设(,)(,)u w x t v x t =+ 0
0,x x x l
v v u ====
()()v A t x B t =+
)(,0)(u t A t B ==∴ x u v 0
=∴
-====-===,
0,000002x u w w w w a w t l x x x xx t
令
1
()2(,)()sin
n n n x
w x t T t l π∞
=+=∑
0)21
(22
22=++'n n T l
a n T π
t l a n n n e
C t T 2
2
22)21
()(π+-=∴
222
2
1
()20
1()2(,)sin
n a t l n n n x
w x t C e
l
ππ+∞
-=+∴=∑
x u x l n C n n 00
)21(sin -=+∑∞
=π
+-=∴l n xdx l n x l u C 00)21 (sin
2π1220)1()2
1(2+-+=n n l u π
∴
所求的定解问题的解为
222
2
1
()210022
1
()22(,)(1)sin 1()2
n a t
n l n n x
u l
u x t u x e l n πππ+∞
-+=+=+-+∑5．求定解问题2
00
000 00
0,(0)
,
,(),(0) tt xx
x x l
t
t t
u a u
x l
u u u u
I
u u u x x
x l
δ
ρ
==
==
-=<
<
==
==-<<
的解，其中
u、I、ρ均为常数。

答设
所求的定解问题的解为：第十章球函数
1．当r
R<时，函数
2
2cos
2
1
r
rR
R+
-θ
以)
(cosθ
l
P为基本函数族的广义傅里叶级数展开为)
(cos
1
1
θ
l
P
r
R
l
l
l
∑∞
=
+
2．已知1)(0=x P 、x x P =)(1、)13(2
1
)(22-=x x P ，则2)(x x f =以)(x P l 为基本函数族的广义傅里叶级数为( D ).
A ．)(23
2x P
B ．)(3
2
)(3121x P x P +
C ．)(3
2
)(3120x P x P +
D ．以上都不对
3．在球0r r =的内部求解0=?u ，使满足边界条件θ2cos 0
==r r u 。

已知1)(cos 0=θP ，
θθcos )(cos 1=P ，)1cos 3(2
1
)(cos 22-=
θθP 解
定解问题为：
这是一个关于极轴对称的拉氏方程的定解问题
当
有限
所求的定解问题的解为
4．半径为0r 的球形区域外部没有电荷，球面上的电势为20cos sin u θθ，0u 为常数，求球形区域外部的电势分布。

已知1)(cos 0=θP ，θθcos )(cos 1=P ，)1cos 3(2
1
)(cos 22-=
θθP ，331
(cos )(5cos 3cos )2 P θθθ=-。

解：
=>=?=θ20cos ) (,0
r r u r r u
∑∞=++
=0
1)(cos )(l l l
l
l l P r
B r
A u θ
∞→r u Θ有限0=∴l A ∑∞=+=∴0
1
)(cos l l
l l P r B u θ
)
(cos 3
2
31cos )(cos 2020 1
θθθP P P r
B l l l l
+==∑∞
=+
3
0r
B =∴
)
2,0(0,3
23
02≠==l B r
B l
)
(cos 32)(cos 3233
000θθP r
r
P r r u +=∴
5．在本来是匀强的静电场0E 中放置导体球，球的半径为0r ，求球外静电场的电势。

（已知
0(cos )1P θ=，θθcos )(cos 1=P ）。

解：
如图所示，建立坐标系，则定解问题为：
当
6．在点电荷q 04πε的电场中放置一个接地导体球，球的半径为
a ，球心与点电荷相距)(11a r r >。

求球外静电场的电势。

解：选择球心为球坐标系的极点，极轴通过点电荷，则极轴是对称轴，问题与无关；
又设导体球接地，所以导体球内电势为0，即，；在球外，（除点电荷处）任意点的电势是点电荷产生的电势
和导体球感应电
荷产生的电势的叠加。

因静电感应电荷只在球面上，故由它在球外所产生的电势满足拉普拉斯方程。

于是定解问题为，
（1）因为，，
所以，（2）
在轴对称情况下，方程（1）的一般解为，
考虑到（2）的无限远边界条件，应舍弃项，
（3）以（3）代入（2）的球面边界条件，
引用母函数
比较两边的广义傅里叶系数，得
（4）在解（4）中，第二项
，相当于像电荷产生的电势，这像电荷处在球内极轴上，
带电量为。