单向k-元n-立方体网络

单向k-元n-立方体网络
张国珍
【摘要】单向k-元n-立方体是指具有单向边的k-元n-立方体互连网络拓扑。

当网络包含的顶点数目较大时，比起传统的双向k-元n-立方体，单向 k-元n-立方体对通信硬件复杂性的要求更低一些。

提出了k-元n-立方体的一个定向，使得定向后的单向k-元n-立方体UQkn有一些良好的性质。

证明了UQkn是正则的，极大弧连通的，具有迭代结构的且UQkn的直径是小的。

此外，提出了一个简单的多项式时间路由算法。

%Unidirectional k -ary n-cubes are k -ary n-cube interconnection topologies with unidirectional edges. While accommodating large number of vertices, unidirectional k -ary n -cubes require less complicated communication hard-ware than conventional bidirectional k -ary n-cubes. In this paper, it proposes an assignment of orientations to the edges of the k -ary n-cube and derives attractive properties for the resulting unidirectional k -ary n-cube UQkn . It shows that UQkn is regular, maximally arc-connected and recursively structured. The diameter of the UQkn is small. Moreover, it pro-vides a simple and polynomial-time routing algorithm.
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2015(000)020
【总页数】4页(P1-4)
【关键词】互连网络;k-元n-立方体;分布式路由;连通性
【作者】张国珍
【作者单位】山西大学数学科学学院，太原 030006
【正文语种】中文
【中图分类】TP393;O157.5
◎博士论坛◎
并行与分布式处理系统和大规模集成电路常以某种互连网络为拓扑结构。

比起传统的双向互连网络，单向互连网络在许多应用中是更合适的，因此受到了广泛的关注（参见文献[1-9]）。

Chou和Du[1]提出了超立方体的两种不同的定向方案，证明了得到的单向超立方体保持了传统超立方体的大多数良好性质，诸如短的直径，短的平均距离以及有效的路由。

称一个强连通有向图D是极大弧连通的，如果
λ(D)=δ(D)，其中λ(D)和δ(D)分别是D的弧连通度和最小度。

评价一个好的互连网络的主要标准之一就是网络是极大弧连通的。

Jwo和Tuan[2]证明了Chou和Du提出的单向超立方体是极大弧连通的。

Day和Tripathi[3]提出了星图的一个定向，证明了得到的单向星图有一些良好的性质。

Cheng和Lipman[4]证明了当n 是奇数时，Day和Tripathi提出的单向星图是极大弧连通的。

当n是偶数时，通过添加一个最小弧集，单向星图能被扩充成一个极大弧连通有向图。

Chern等[5]提出了一类基于交换群的单向凯莱图并且给出了一个多项式时间路由算法。

Cheng和Lipman[6]证明了排列图也能被定向使得定向后的有向图有尽可能高的弧连通度，这加强了用排列图代替星图的可能性。

Cheng和Lipman[7-8]研究了单向(n，k)-星图且提出了一个分布式路由算法。

他们证明了当正则度是偶数时，每个(n，k)-星图能被定向成一个极大弧连通有向图。

当正则度是奇数时，通过添加一个有向匹配，单向星图能被扩充成一个极大弧连通有向图。

本文考虑的互连网络是k-元n-立方体[10-15]，记为，是并行与分布式系统的常用基础拓扑结构中备受关注的一个。

k-元n-立方体有许多良好的性质，诸如低延迟
和高带宽等[16-18]。

以k-元n-立方为基础拓扑构建的著名的并行计算机系统有iWarp[19]，J-machine[20]，Cray T3D[21]，Cray T3E[22]以及IBM Blue Gene[23]。

本文中，给出了k-元n-立方体的一个定向，使其满足文献[1]中提出的作为一个好的互连网络应该具备的如下条件：
（1）定向对于任意的k-元n-立方体简单通用，得到的单向k-元n-立方体是强连通的。

（2）路由算法简单有效。

（3）为了最小化通信延迟，直径是小的。

此外，还证明了得到的单向k-元n-立方体是极大弧连通的。

k-元n-立方体，记为(k≥2，n≥1)，是一个具有kn个顶点的图，每个顶点可以标
记为u=un-1un-2…u0，其中0≤ui≤k-1，0≤i≤n-1。

两个顶点u=un-1un-2…u0和v=vn-1vn-2…v0相邻当且仅当存在一个整数j，0≤j≤n-1，使得
uj=vj±1(mod k)且对于每个i∈{0，1，…，n-1}\{j}，都有ui=vi。

这样的一条边(u，v)被称为是一条j-维边。

为了表述的清晰，在本文剩余部分的类似表示中，省略“(mod k)”的书写。

当k=2时，中每个顶点的度为n。

当k≥3时，中每个顶
点的度为2n。

显然，是长为k的圈，Q2n是n-维超立方体。

给定任一整数d∈{0，1，…，n-1}，通过删除所有的d-维边，可以将Qkn沿着d-维划分成…，（若没
有歧义，简写成Q[0]，Q[1]，…，Q[k-1]），其中对于每个0≤p≤k-1，Q[p]是的由顶点集{u= un-1un-2…ud…u0∈导出的子图，显然每个Q[p]同构于因此k-元
n-立方体具有迭代结构。

称图G是k-边连通的，如果从G中删去任意k-1条边后，得到的图仍然是连通的。

称有向图D是k-弧连通的，如果从D中删去任意k-1条弧后，得到的有向图仍然是强连通的。

设图G的顶点集为V(G)。

若V(G)的子集U使得G-U不连通，则U 称为G的顶点割。

G的连通度，记为κ(G)，是G的最小顶点割的基数。

众所周知κ(G)≤λ(G)≤δ(G)。

每个顶点的度均为k的图称为k-正则图。

每个顶点的入度和出度均为k的有向图称为k-正则有向图。

显然，若一个强连通k-正则有向图是k-弧连通的，则它是极大弧连通的。

文中其他未定义的图论术语和记号参见文献[24-25]。

本文的目标是给出k-元n-立方体的一个定向，记为，使得有一些良好的性质。

因为超立方体的情形已在文献[1]中研究过，所以在本文剩余部分假设k≥3。

对于的每个顶点u=un-1un-2…u0以及每个i，0≤i≤n-1，记是u的对应于i-维边(un-1…ui…u0，un-1…(ui+1)…u0)的邻点。

类似地，记A D Ji-(u)是u的对应于i-维边(un-1…ui…u0，un-1…(ui-1)…u0)的邻点。

按如下方式定义的一个定向。

定义3.1设u是的一个顶点。

将边定向为从u到(u)，0≤i≤n-1。

由定义3.1可知，边(u，(u))被定向为从A D Ji-(u)到u，0≤i≤n-1。

因此的所有边都被进行了定向。

而且，得到的是n-正则的。

图1显示了。

沿着某一维d，
0≤d≤n-1，将划分成U Q[0]，U Q[1]，…，U Q[k-1]。

显然每个U Q[p]同构于0≤p≤k-1。

因此具有迭代结构。

引理3.1[26]的连通度为2n。

引理3.2[4]设G是一个2n-正则的2n-边连通图。

设D是G的一个定向。

若D是n-正则的，则D是n-弧连通的。

定理3.1是极大弧连通的。

证明先通过对n用归纳法来证明是强连通的。

当n=1时，由定义3.1，是一个有向圈，故它是强连通的。

假设是强连通的，其中n≥2。

将要证明是强连通的。

沿着某一维d，0≤d≤n-1，将划分成U Q[0]，U Q[1]，…，U Q[k-1]。

对于每一个
0≤p≤k-1，U Q[p]同构于。

由归纳假设，U Q[p]是强连通的。

对于的任意两个顶点u和v，假设u在某个V(U Q[i])中，0≤i≤k-1，且设v在某个V(U Q[j])中，
0≤j≤k-1。

不失一般性，假设i≤j。

为了方便，记。

此外，记且。

能够看到V(U
Q[i+1])，…，(u)∈V(U Q[j])。

因为U Q[j]是强连通的，所以U Q[j]中存在一条从到v的有向路，记为(u)P1v。

因此中存在一条从u到v的有向路(u)P1v。

类似地，中存在一条从v到u的有向路(v)P2u，其中(v)P2u是U Q[i]中的一条从到u的有向路。

因此是强连通的。

由引理3.1，。

因为所以=2n，从而是2n-边连通的。

注
意到是n-正则的。

由引理3.2是n-弧连通的，从而是极大弧连通的。

定理3.2的直径是n(k-1)。

证明通过对n用归纳法来证明这个定理。

当n=1时，是一个有向圈，故它的直径是k-1。

假设定理对于是正确的，其中n≥2。

将要证明定理对于成立。

沿着某一
维d，0≤d≤n-1，将划分成U Q[0]，U Q[1]，…，U Q[k-1]。

对于每一个
0≤p≤k-1，U Q[p]同构于。

由归纳假设，U Q[p]的直径是(n-1)(k-1)。

对于的任
意两个顶点u和v，假设u在某个V(U Q[i])中，0≤i≤k-1，且设v在某个V(U
Q[j])中，0≤j≤k-1。

不失一般性，假设i≤j。

记是中从u到v的距离，记D(U Q[j])是U Q[j]的直径。

因此(u，v)≤j-i+D(U Q[j])≤k-1+(n-1)(k-1)= n(k-1)。

类似地，(v，u)≤n(k-1)。

因为D(U Q[k-1])= (n-1)(k-1)，所以能找到U Q[k-1]的两个顶
点x和y，使得。

为了方便，记A D J(x)=A D(A D(x))，A D(x)=A D(A D
J(x))，…，=，1≤m≤k-1。

因此+。

注意到对于的任意两个顶点u和v，n(k-1)。

故的直径是n(k-1)。

注3.1由文献[16]可知的直径是。

尽管相对于的直径来说，的直径不算小。

但是，相对于的顶点数kn来说，仍然认为的直径n(k-1)是小的。

在提出路由算法之前，先描述一下概念基础。

假设一个源顶点必须将一个信息发送到目标顶点。

那么，s将如何发送这个信息?从s到d的路由能被在至多n个阶段
完成。

对于某个0≤i≤n-1，在阶段Stagei中，执行一系列的路由步骤将符号si变成di。

之后，符号di将在维i上保持不变直到信息到达了发送的目标顶点，称符号di被修正。

按照顺序来修正符号。

路由程序的阶段顺序为Stage0，
Stage1，…，。

在之后，信息到达了一个中间顶点满足0≤j≤i-1。

描述一下Stagei的步骤，0≤i≤n-1。

若则符号di已被修正。

否则，连续地给qi加1直到符号di被修正。

显然，Stagei至多有k-1个路由步骤。

一共有n个阶段。

因此，在的任意两个顶点之间，最大的路由距离是n(k-1)。

注意到的直径是n(k-1)。

从这个意义上来说，该路由算法是最优的。

下面，给出的路由算法。

算法3.1从到的路由算法。

（1）寻找最小的i，使得si≠di。

（2）路由从s到
（3）若=d，停止。

（4）否则置s:=(s)，转（1）。

算法3.1显然是一个多项式时间算法。

如果考虑到直径，提出的拓扑不是最优的。

如图2，能找到一个单向4-元2-立方体，其直径为5。

相比之下，有直径6。

然而，有最优直径的拓扑往往缺乏一个简单有效的路由算法。

对于高速通信来说，简单有效的路由算法是更重要的。

总而言之，认为的性能是更好的。

由于大规模互连网络的迅速发展，寻找具有良好的拓扑结构和对称性质的单向图是一个值得研究的课题。

本文中，提出了一个单向k-元n-立方体，且证明了保持了传统k-元n-立方体的大多数良好的性质，诸如正则性，迭代结构和有效的路由。

此外，还证明了是极大弧连通的，这个结果说明了提出的单向k-元n-立方体对边故障有较高的容错能力，因此它确实是一个较好的互连网络。

对于的改进或优化是进一步努力的方向。

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