2020届高三理科数学第一轮复习 第1节 函数的概念及基本初等函数

即xx>＋－41，x－1＜0， 解不等式组得－1＜x＜1. 因此函数f(x)的定义域为(－1,1)．
考法(二) 求抽象函数的定义域
[例2] 已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝
fx2＋f(x－1)的定义域为 A．(－2,0)
B．(－2,2)
()
C．(0,2)
考法(二) 求参数或自变量的值(范围)
[例2]
(1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝
2－x，x≤0， 1，x>0，
则
满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是
(D)
A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－∞，0)
[解析] (1)∵f(x)＝21－，x，x>x0≤，0， ∴函数f(x)的图象如图所示．
即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． 答案：C
2．[口诀第1句]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3 ， 3 ]， 则函数y＝f(x)的定义域为_[_－__1_,2_]__．
解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3 ， 3 ]，所以x∈[－ 3 ， 3 ]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．
(2)已知f(x)＝xf－fx3＋，4x≥，9，x＜9， 则f(7)＝_____6______. [解析]∵7＜9， ∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)． 又∵8＜9， ∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6. 即f(7)＝6.
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
[解] (解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，
①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，
②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝2x＋1－3 2－x.
故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋1－3 2－x，x∈R.
①
把①中的x换成1x，得2f1x＋f(x)＝3x.
②
联立①②可得2fx＋f1x＝3x， 2f1x＋fx＝3x，
解此方程组可得f(x)＝2x－1x(x≠0)．
考点二 函数的定义域[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一) 已知函数解析式求定义域
[例1] 求下列函数的定义域：
求f(x)的解析式．
[解] (待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx， 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以2aa＋＋bb＝＝1b，＋1， 解得a＝b＝12. 所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.
结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，
x＋1＜0， 则需2x＜0，
2x＜x＋1
或x2＋x＜1≥0，0，
∴x＜0，故选D.
(2)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝
2x，x>0， x＋1，x≤0.
若f(a)＋
f(1)＝0，则实数a＝___－__3___.
[解析] 当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解； 当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足 条件．
考法(一)是根据具体的函数解析式求定义域，已知解 析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的 取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满 足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． 看 考法(二)是求抽象函数的定义域，有如下解法： 个 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 性 f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义 域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 考法(三)是考法(一)的逆运用，通常是转化为含参数的 不等式求解
3．[口诀第1、3句]若函数f(x)＝ x2＋ax＋1 的定义域为实数集 R，则实数a的取值范围为__[_－__2_,2_]___．
解析：若函数f(x)＝ x2＋ax＋1的定义域为实数集R， 则x2＋ax＋1≥0恒成立，即Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2， 即实数a的取值范围是[－2,2]．
考点三 分段函数[全析考法过关]
名称
称f：A→B为从集合A 称对应f：A→B为从集合 到集合B的一个函数 A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域． (3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的 x的集合即为定义域.
mx－1 mx2＋4mx＋3
的定义域为R，则实数
m的取值范围是
(D)
A.0，34
B.0，34
C.0，34
D.0，34
[解析] ∵函数y＝mx2m＋x4－m1x＋3的定义域为R，
∴mx2＋4mx＋3≠0，∴m＝0或mΔ＝≠106，m2－12m＜0， 即m＝0或0＜m＜34，∴实数m的取值范围是0，34.
[考法全析]
考法(一) 分段函数求值 [例1] (1)(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝ 13x，x≤0，
log3x，x>0， 则ff19＝___9_____.
[解析] ∵f 19＝log319＝－2， ∴f f19＝f(－2)＝13－2＝9.
[规律探求]
考法(一)是求分段函数的函数值．在求分段函数的函数值时， 一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的 关系式．若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自 看 变量的值不确定时，要分类讨论． 个 考法(二)是在考法(一)的基础上迁移考查分段函数中，已知 性 函数值或不等关系求参数或自变量的值或范围．解与分段函 数有关的方程或不等式，从而求得自变量或参数的取值(范 围)时，应根据每一段的解析式分别求解．解得值(范围)后一 定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围
1．函数与映射
函数
映射
两集合 A，B 设A，B是非空的数集
设A，B是非空的集合
如果按照某种确定的对 如果按某一个确定的对
对应关 系f： A→B
应关系f，使对于集合A 应关系f，使对于集合A
中的任意一个数x，在 中的任意一个元素x，在
集合B中都有唯一确定 集合B中都有唯一确定的
的数f(x)和它对应
元素y与之对应
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变
量，x的取值范围A叫做函数的定义域❶；与x的值相对应的y
值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域❷.显
然，值域是集合B的子集．
值域是一个数集，由 函数的定义域和对应 关系共同确定．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
D.－12，0
[解析]
由题意得－1＜x2＜1， －1＜x－1＜1，
∴－0＜2＜x＜x＜2，2，
∴0＜x＜2，∴函数g(x)＝fx2＋f(x－1)的定义域为(0,2)，故选C. [答案] C
考法(三) 已知函数的定义域求参数的值(范围)
[例3]
(1)若函数y＝
(1)f(x)＝ lo|xg－2x2－|－11；(2)f(x)＝
lnx＋1 －x2－3x＋4.
[解] (1)要使函数f(x)有意义，则x|x－－12>|－0，1≥0， x－1≠1，
解不等式组得x≥3.因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．
(2)要使函数f(x)有意义，则x－＋x12－>03，x＋4>0，
[解题技法]
求函数解析式的3种方法及口诀记忆
待定系 当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法 数法 来确定函数解析式
换元法
如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析 式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出 外函数的解析式
解方程 如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代 组法 换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致， 则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段 值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交.
1.谨记函数定义域的有关口诀 定义域，是何意，自变量，有意义； 分式分母不为零，对数真数只取正； 偶次根式要非负，三者结合生万物； 和差积商定义域，不等式组求交集. 找 2.函数定义域问题注意事项 共 (1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围，而不是 性 g(x)的取值范围； (2)求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简； (3)求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间 的形式； (4)函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)的定义域的 交集
考点一 求函数的解析式 [师生共研过关]
[题组练透]
(1)已知f2x＋1＝lg x，求f(x)的解析式．
[解] (换元法)令2x＋1＝t，得x＝t－2 1， 代入得f(t)＝lgt－2 1，又x>0，所以t>1， 故f(x)的解析式是f(x)＝lgx－2 1，x∈(1，＋∞)．
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
∴aa＋ －bb＋ ＋cc＝ ＝15， ， c＝0，
解得ab＝ ＝3－，2， c＝0，
∴g(x)＝3x2－2x.
3．[口诀第4句]已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，则f(x)＝2_x_－__1x_(_x_≠__0_).
解析：∵2f(x)＋f1x＝3x，
第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)
全国卷5年考情图解
高考命题规律把握
1.高考对本章的考查一般为1～3道小题． 2.从考查内容上看主要涉及函数的图象，多为给出具体函数解
析式判断函数的图象；函数的性质及函数性质的综合问题； 指数、对数、幂函数的图象与性质；分段函数，既有求函数 值，也有解不等式，常与指数、对数函数，零点相结合． 3.本章一般不单独涉及解答题，在解答题中多与导数、不等式 结合命题，试题难度较大.
D．f(x)＝x＋1 2
解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝tt＋ ＋12，
即f(x)＝xx＋ ＋12.故选A.
பைடு நூலகம்
2．[口诀第2句]若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且 图象过原点，则g(x)＝_3_x_2_－__2_x_.
解析：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
[过关训练]
1．[口诀第1、2、3、4句]y＝
x2－x1－log2(4－x2)的定义域是
()
A．(－2,0)∪(1,2)
B．(－2,0]∪(1,2)
C．(－2,0)∪[1,2)
D．[－2,0]∪[1,2]
解析：要使函数有意义，则xx－ 2≠x10≥，0，
4－x2>0，
解得x∈(－2,0)∪[1,2)，
3．分段函数❸ 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有 着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
[熟记常用结论] (1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R； (2)若f(x)为分式，则要求分母不为0； (3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0； (4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负； (5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义． 如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价 于解不等式(组)．
(2)若函数f(x)＝ ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}， 则a＋b的值为___－__92___．
[解析]∵函数f(x)＝ ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，
a＜0， ∴f1＝0，
f2＝0，
解得a＝－32， b＝－3，
∴a＋b＝－92.
[规律探求]
口诀记忆
解析式，如何定，待定换元解方程； 已知函数有特征，待定系数来确定； 复合函数问根源，内函数，先换元； 两个函数有关系，方程组中破玄机.
[过关训练]
1．[口诀第3句]已知函数f(x－1)＝x＋x 1，则函数f(x)的解析式为
A．f(x)＝xx＋＋21
B．f(x)＝x＋x 1
(A)
C．f(x)＝x－x 1