新罗区录取保送生加试数学试题及答案

新罗区录取保送生加试
数 学 试 题
（满分：120分 考试时间：120分钟）
请将答案填写在答题卷中，写在试卷上不得分。

一、选择题（每小题3分，共8题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数)0(16
),0(21>=
>=x x
y x x y ，有下列结论：①两函数图象交点的坐标为)4,4(；②当4>x 时，12y y >；③当x 逐渐增大时，1y 随着x 的增大而增大，2y 随着x 的增大而减小．其中正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2．如图所示，在ABC ∆中，AC AB =，N M 、分别是AC AB 、的中点，E D 、为BC 上的点，连接EM DN 、，若cm DE cm BC cm AB 8,16,10===，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 42
cm B. 62
cm C. 82
cm D. 122
cm
第2题图
3．如图，水平地面上有一面积为
2 2
15
cm π的扇形AOB ，半径cm 3OA =，且OA 与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至与三角块BDE 接触为止，此时，扇形与地面的接触点
为C ，已知o
30BCD =∠，则O 点移动的距离为( ) A. cm 3π
B. cm 4π
C. cm 2
9π
D. cm 5π
第4题图
第3题图
4．一张等腰三角形纸片，底边长13cm ，底边上的高长为32.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为5cm 的矩形纸条，如图所示（图在第1页），已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A. 第3张
B. 第4张
C. 第5张
D. 第6张 5．对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ， 规定：①(,)(,)a b c d =,当且仅当,a c b d ==；
②运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a -+=⊗； ③运算“
”为：
.
设,p q R ∈，若)2,11(),()2,1(=⊗q p ，则（ ） A. )2,2(--
B. )4,3(
C. )1,2(
D. )2,1(--
6．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上 任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离， 则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．根 据上述定义，有以下几个结论： ①“距离坐标”是（0，1）的点有1个； ②“距离坐标”是（5，6）的点有4个；
③“距离坐标”是),(a a (a 为非负实数)的点有4个；其中正确的有（ ）
A.0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
7．父亲每天都爱带报纸去上班，父亲离开家的时间记为x ，送报人来的时间记为y ，若
00:800:7≤≤x ，00:800:7≤≤y ，则父亲能拿到报纸上班的概率为（ ）
A.
4
1
B.
3
1
C.
21 D. 3
2 8．现有1、2、3、4、5共五个数，从中取若干个数分给A 、B 两组，两组都不能放空，要使得B
组中最小的数比A 组中最大的数都大，则有（ ）种分配方法. A ．44 B ．49 C ．51 D ．32 二、填空题（每小题4分，共8小题） 9．若y x ,为实数，且
0360tan 0=++-y x ，则=2011)(y
x
________________.
10．若41
=-x
x ，则=++12
42x x x _____________________. 11．满足04232
11
2=+⋅-++x x 的x 的值为_____________________.
12．若关于x 的方程011
1
=--+x ax 的解为正数，则a 的取值范围是______________.
1
l 2l
O
M （p ，q ）
第6题图
13．有一组数满足, ,2 ,0 ,2 ,0,2,14635241321 =-=-=-=-==a a a a a a a a a a
按此规律进行下去，则=++++100321a a a a _____________________.
14．五个学生每人写了一张贺卡，交给老师，老师将这五张贺卡随机分给这五个学生，若大家拿
到的贺卡都不是自己写的，则有____________种不同的分法. 15．二次函数a ax x y ++=22
在21≤≤-x 上有最小值4-，则a 的值为___________. 16．三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个
三位数，则这个三位数是偶数的概率是____________. 三、解答题（共6小题，共64分）
17．（本题8分）先化简，再求值：)11(2
352
2
---÷+--x x x x x x ，其中32+=x ．
18．（本题8分）某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台.为了配
合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种彩电的售价每降低50元，平均每天就能多售出3台.
（1）商场要想在这种彩电销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到最大实惠，每台彩
电应降价多少元？
（2）每台彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？ 19．（本题10分）根据有理数的除法符号法则“两数相除，同号得正，异号得负”，求不等式
0321
2<-+x
x 的解集．
20．（本题12分）已知二次函数422
2
-+-=m mx x y 的图象与x 轴交于B A 、两点（点A 在
点B 的左边），且与y 轴交于点D .
（1）当点D 在y 轴正半轴时，是否存在实数m ，使得BOD ∆为等腰三角形？若存在，求
出m 的值；若不存在，请说明理由；
（2）当1-=m 时，将函数422
2
-+-=m mx x y 的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，
图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω. 当直线b x y +=2
1
与图象Ω有两个公共点时，求实数b 的取值范围．
21．（本题12分）如图，在ABC Rt ∆中，ABC C ∠=∠,900
的平分线BD 交AC 于点D ，
DB DE ⊥交AB 于点E ，设⊙O 是BDE ∆的外接圆.
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若,4,2==BD DE 求AE 的长．
22．（本题14分）直线10-=x y 与x 轴交于A 点，点B 在第一象限，且53=AB ，
5
5
2cos =
∠OAB . （1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求过A C O 、、三点的抛物线的表达式.
（2）在（1）中的抛物线上是否存在点P （P 点在第一象限），使得以点A C O P 、、、为
顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）若将点A O 、分别变换为点)0,6()0,4(m R m Q 、-（0>m 且为常数），设过R Q 、两
点且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线（开口向上）与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记QNM ∆的面积为QNM S ∆，QNR ∆的面积为QNR S ∆，求QNR QNM S S ∆∆：的值.
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数学试题答题卷
一、选择题（每小题3分，共8题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
二、填空题（每小题4分，共8小题）
9． ；10． ；11． ；12． ； 13． ；14． ；15． ；16． 。

三、解答题（共6小题，共64分）
17．（本题8分）先化简，再求值：)11
(2352
2
---÷+--x x x x x x ，其中32+=x ． 18．（本题8分）某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台.为了配
合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种彩电的售价每降低50元，平均每天就能多售出3台.
（1）商场要想在这种彩电销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到最大实惠，每台彩
电应降价多少元？
（2）每台彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？
19．（本题10分）根据有理数的除法符号法则“两数相除，同号得正，异号得负”，求不等式
0321
2<-+x
x 的解集．
20．（本题12分）已知二次函数422
2
-+-=m mx x y 的图象与x 轴交于B A 、两点（点A 在
点B 的左边），且与y 轴交于点D .
（1）当点D 在y 轴正半轴时，是否存在实数m ，使得BOD ∆为等腰三角形？若存在，求
出m 的值；若不存在，请说明理由；
（2）当1-=m 时，将函数422
2
-+-=m mx x y 的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，
图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω. 当直线b x y +=2
1
与图象Ω有两个公共点时，求实数b 的取值范围．
O
y
x
21．（本题12分）如图，在ABC Rt ∆中，ABC C ∠=∠,900
的平分线BD 交AC 于点D ，
DB DE ⊥交AB 于点E ，设⊙O 是BDE ∆的外接圆.
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若,4,2==BD DE 求AE 的长．
22．（本题14分）直线10-=x y 与x 轴交于A 点，点B 在第一象限，且53=AB ，
5
5
2cos =
∠OAB . （1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求过A C O 、、三点的抛物线的表达式.
（2）在（1）中的抛物线上是否存在点P （P 点在第一象限），使得以点A C O P 、、、为
顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）若将点A O 、分别变换为点)0,6()0,4(m R m Q 、-（0>m 且为常数），设过R Q 、两
点且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线（开口向上）与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记QNM ∆的面积为QNM S ∆，QNR ∆的面积为QNR S ∆，求QNR QNM S S ∆∆：的值.
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数学试题参考答案
一、选择题（每小题3分，共8题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
C
B
B
B
A
B
C
B
二、填空题（每小题4分，共8小题） 9．1±； 10．
19
1
； 11．1或0； 12．1<a 且1-≠a ； 13．2600； 14．44； 15．5或
2171-； 16．10
7
. 三、解答题（共6小题，共64分）
O
y
x
17．解：原式=2
5
1)1)(1()2)(1(52--=-+--÷---x x x x x x x x x …………………4分
2341
23
2-=+-=
. …………………8分 18．解：设每台彩电降价x 元（4000<<x ），商场销售这种彩电平均每天的利润为y 元，
则有)40000300(50
3
)5036)(26003000(2---=⋅
+--=x x x x y ……2分 （1）因为要每天盈利3600元，则3600=y ，即3600)40000300(50
32
=---x x
所以020*******=+-x x 解得200100==x x 或，
又因为要使百姓得到最大实惠，则每台要降价200元. …………………5分 （2）∵3750)150(50
3
)40000300(50322+--=---
=x x x y ∴当150=x 时，y 取得最大值为3750，
所以每台彩电降价150元时，商场的利润最高为3750元. ……………8分
19．解：依题意得⎩
⎨⎧<->+0320
12x x 或⎩⎨⎧>-<+032012x x ………………3分
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
>->⇒32
21x x 或⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧<-<3221x x …………………5分 解得32>
x 或2
1
32-<<-x . …………………10分 20．解：令0=y 得0422
2=-+-m mx x ，解得21-=m x ，22+=m x ，
∴)4,0(),0,2(),0,2(2
-+-m D m B m A ………2分
（1）∵点D 在y 轴正半轴，∴042
>-m ，设存在实数m ，使得BOD ∆为等腰三角形，
则OD BO =，即422
-=+m m ，
①当02>+m 时，242
+=-m m ，解得3=x 或2-=x （舍去）；
②当02<+m 时，0242
=++-m m ，解得1=x 或2-=x （都舍去）；
③当02=+m 时，点D B O 、、重合，不合题意，舍去；
综上所述，3=m . …………………6分 （2）当1-=m 时，322
-+=x x y ，则)0,1(),0,3(B A -顶点为)4,1(--
因为直线b x y +=
21
与图象Ω有两个公共点， 则当直线b x y +=21过点A 时23
=b ，
当直线b x y +=21过)0,1(B 时，21
-=b ，
当直线b x y +=21与322
+--=x x y 只有一个公共点时，16
73=
b ， 根据图像，可得16
73
2321><<-b b 或. …………12分
21．（1）证明：∵DB DE ⊥，⊙O 是BDE ∆的外接圆，
∴BE 是直径，点O 是BE 的中点，
∵,900
=∠C ∴,900
=∠+∠BDC DBC 又BD 为ABC ∠的平分线，∴,DBC ABD ∠=∠ ∵,OD OB =∴,ODB ABD ∠=∠ 则090=∠+∠BDC ODB 即090=∠ODC
又∵OD 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线.（方法不唯一，参照给分）…………4分 （2）解：∵DB DE ⊥，,4,2==BD DE ∴5,52==OE BE ，
∴ADE ABD ∠=∠，又A ∠为公共角， ∴AED ADB ∆∆∽，则有
4
2
==DB ED AD AE ，∴AE AD 2=， 在AOD Rt ∆中，2
22AD OD AO +=，即222)2()5()5(AE AE +=+，
解得532=
AE 或0=AE （舍去），所以53
2
=AE .…………………12分
22．解：（1）如图所示，点)0,10(A ，
过B 作x BD ⊥轴于点D ， 则在ABD Rt ∆中，AB
AD
OAB =
∠cos ， ∴4,6==OD AD ，∴)3,4(B ，则),3,4(-C
11 / 11 设过A C O 、、三点的抛物线表达式为
)10(-=x ax y ，将点)3,4(-C 代入得81=a ， ∴所求抛物线的表达式是x x y 45812-=.………………3分 （2）设存在第一象限的点P ，使得以点A C O P 、、、为顶点的四边形是梯形，则PO CA //，
由)0,10(A 和)3,4(-C 可求得直线CA 的表达式为52
1-=x y ， 则直线PO 的表达式为x y 2
1=， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x x y x y 4
581212，解得⎩⎨⎧==00y x （舍去）或⎩⎨⎧==714y x ，则)7,14(P ， 此时CA OP CA PO ≠==,45,245，所以存在点)7,14(P 使得四边形POCA 为梯形.8分
（3）依题意可设抛物线表达式为)4)(6(m x m x b y +-=，则)24,0(2b m N -，)25,(2b m m M -，b m b m m S QNR 3212024102
1=⋅⋅=∆，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，则QGM ONMG OQN QNM S S S S ∆∆∆-+=
b m b m m b m b m m b m m 32222102552
1)2524(2124421=⋅⋅-+⋅⋅+⋅⋅= ∴QNM S ∆：QNR S ∆=1：12. ………………14分。