直线与椭圆的位置关系

解：因为 2 2 x 4 y 16 0 设直线方程为 y - 2 k x 1 ， 代入椭圆 得 x2 4kx k 22 16 1 4k 2 x2 16k 8k 2 x 4k 2 16k 0
1 4 1 16 4 ，所以点在椭圆外，切线有两条
12 3 1 解：因为 1 ，所以点在椭圆上，切线只有一条。 16 4 4 4 x2 y2 1 ，得 设直线方程为y=kx+m，代入椭圆 16 4 2
2 3
2

x 4kx m 16 0 2 2 2 1 4k x 8kmx 4m 16 0 2 8km 4 1 4k 2 4m2 16 0


得 k
所求直线为3x+8y-20=0 当直线与X轴垂直是即x=4也与椭圆相切 故所求直线方程为x-4=0或3x+8y-20=0
1、点 Px0 , y0
x2 y2 与椭圆 a 2 b 2 1a b 0 的位置关系有三种：
（1）点在椭圆内： （2）点在椭圆上：
x0 y0 1 2 2 a b x0 y0 2 1 2 a b x0 y0 1 2 2 a b
2 2 2 2
2
2
（3）点在椭圆外：
2

m2 16k 2 4 0
又点 2 3,1 在直线y=kx+m上，所以2 3k m 1 由
2 2 m 16k 4 0 2 3k m 1


m 4 ，得 3 k 2
3 故所求直线方程为 y 2 x 4 ,即： 3x 2 y 8 0
直线与椭圆的 位置关系（2）
L/O/G/O
【教学目标】让学生掌握直线与椭圆的位 置关系，并能用相关知识解决切线方程， 弦长，中点弦，距离最值及对称等问题 【教学重点】本节课的重点是用直线与椭 圆位置关系的有关知识解决切线方程，弦 长，中点弦，距离最值等问题。 【教学难点】本节课的教学难点是用直线 与椭圆位置关系解决椭圆上的点对称问题。
相切 、 相离 2、直线与椭圆的位置关系有三种： 相交 、
把直线方程代入到椭圆方程中得到一个一元二次方
程，利用判别式来判断直线与椭圆的位置关系：
（1） >0,方程有两解，直线与椭圆相交。
（2） =0,方程有一解，Fra bibliotek线与椭圆相切。
（3） <0,方程无解，直线与椭圆相离。
x2 y2 例1、直线y=x+m与椭圆 1 相切，求m 4 2
34 m m 2 m 16k 4 0 15 由 2 k m ，得 或 k 0 k 4 15
2 2
又点（1,2）在直线上，则2=k+m
所求直线为 y 2 0 或 4 x 15y 34 0
变式：如果把题目中的（1,2）再变为（4,1）,怎样来解？
解：因为1
1 4k x
2
2
x2 y2 1 中，得 设直线方程为y=kx+m,代入到椭圆 16 4
2
16

4 1 4
，所以点在椭圆外，切线有两条
8kmx 4m2 16 0
8km 4 1 4k 2 4m2 16 0



m2 16k 2 4 0
y x m 2 解：由 x 得 y2 1 2 4
2 2
x 2x m 4 0 2 2 3 x 4m x 2m 4 0
因为直线和椭圆相切，所以
2
4m 4 3 2m2 4 8m2 48 0


m 6 解得：
16 1 解：因为16 4 1
1 4k x 8k 32k x 64k 32k 12 0 由 8k 32k 4 1 4k 64k 32k 12 0 3
2 2 2 2
2 2 2 2
所以点（4,1）在椭圆外，所求切线有两条 x2 y2 设直线方程为y-1=k(x-4),代入椭圆 1 中得到 16 4 2 2 x 4 kx 4k 1 16 0 ，整理，得
由 16k 8k

2 2
41 4k 4k
2 2 2
2
16k 0

4k 2k 即：

2 2
1 4k k
4k 0

15k 2 4k 0 4 所以：k , k 0 15
故所求直线方程为 y 2 0或 4 x 15y 34 0
x 4 k ( x 2 3 ) 1 16 0
2 2
2
y 1 k ( x 2 3) ，代入椭圆中，得
2
2
2
2
16 3k 12 0
整理得：
16 3k 8k 4 1 4k 2 48k 2 16 3k 12 0
2


2


所以 4 3k 2k 1 4k 2 12 k 2 4 3k 3 0
【例2】求过点 2 3,1 且与椭圆
2 3 解：因为
方程。
x2 y2 1 相切的直线 16 4
12 3 1 1，所以点在椭圆上，切线 16 4 4 4 只有一条。………………【需要先判断有几条切线】
设切线方程为
2
2
x 4kx 2 3k 1 16 0 即： 1 4k x 16 3k 8k x 48k
2


2


整理得 即
48k 16 3k 4k 48k 16 3k
4 3 2 4
3
12k 2 12k 2 4 3k 3 0
3 2
4k 2 4 3k 3 0
k
所以
3 所求直线方程为： y 1 2 x 2 3


即：
3x 2 y 8 0