数学_2002年天津市高考数学试卷(理科)(含答案)

2002年天津市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 曲线{x =cosθ
y =sinθ(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）
A 1
2 B √22
C 1
D √2
2. 复数(1
2+
√32
i)3
的值是（ ）
A −1
B 1
C −i
D i
3. 已知m ，n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，α∩β=l ，则l( )
A 与m ，n 都相交
B 与m ，n 中至少一条相交
C 与m ，n 都不相交
D 至多与m ，n 中的一条相交
4. 不等式(1+x)(1−|x|)>0的解集是（ ）
A {x|0≤x <1}
B {x|x <0且x ≠−1}
C {x|−1<x <1}
D {x|x <1且x ≠−1}
5. 在(0, 2π)内，使sinx >cosx 成立的x 的取值范围是( ) A (π4
, π
2
)∪(π, 5π
4
) B (π
4
, π) C (π4
, 5π
4
) D (π
4
, π)∪(
5π4
, 3π2
)
6. 设集合M ={x|x =k
2+1
4, k ∈Z}，N ={x|x =k
4+1
2, k ∈Z}，则（ ） A M =N B M ⊂N C M ⊃N D M ∩N =⌀
7. 正六棱柱ABCDEF −A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为√2，则这个棱柱侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（ ） A 90∘ B 60∘ C 45∘ D 30∘
8. 函数y =x 2+bx +c(x ∈[0, +∞)）是单调函数的充要条件是（ ） A b ≥0 B b ≤0 C b >0 D b <0 9. 已知0<x <y <a <1，则有（ ）
A log a (xy)<0
B 0<log a (xy)<1
C 1<log a (xy)<2
D log a (xy)>2 10. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)、B(−1, 3)，若点C 满足OC →
=αOA →
+βOB →
，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为（ ）
A 3x +2y −11=0
B (x −1)2+(y −2)2=5
C 2x −y =0
D x +2y −5=0 11. 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ） A 8种 B 12种 C 16种 D 20种
12. 据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年−2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（ ） A 115000亿元 B 120000亿元 C 127000亿元 D 135000亿元
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 函数y =2x
1+x （x ∈(−1, +∞)）图象与其反函数图象的交点为________．
14. 椭圆5x 2−ky 2=5的一个焦点是(0, 2)，那么k =________． 15. 求由三条曲线y =x 2，4y =x 2，y =1所围图形的面积． 16. 已知函数f(x)=
x 21+x
2，那么f(1)+f(2)+f(12
)+f(3)+f(13
)+f(4)+f(14
)=________．
三、解答题（共6小题，满分74分） 17. 已知cos(α+π
4)=3
5，π
2≤α<
3π
2
，求cos(2α+π
4)的值． 18. 选做题：（甲、乙两题任选一题作答）
甲、如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为√2a ．
(I)建立适当的坐标系，并写出点A 、B 、A 1、C 1的坐标； (II)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角
乙、如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM =BN =a(0<a <√2)． (I)求MN 的长；
(II)当a 为何值时，MN 的长最小；
(III)当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小．
19. 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）， (1)求至少3人同时上网的概率；
(2)至少几人同时上网的概率小于0.3？
20. 已知a >0，函数f(x)=x 3−a ，x ∈(0, +∞)，设x 1>0，记曲线y =f(x)在点（x 1, f(x 1)）处的切线为l ， （1）求l 的方程；
（2）设l 与x 轴交点为(x 2, 0)证明： ①x 2≥a 1
3；
②若x 2>a 1
3则a 1
3<x 2<x 1．
21. 已知两点M(−1, 0)，N(1, 0)，且点P 使MP →
⋅MN →
，PM →
⋅PN →
，NM →
⋅NP →
成公差小于零的等差数列．
（1）点P 的轨迹是什么曲线？
（2）若点P 坐标为(x 0, y 0)，记θ为PM →
与PN →的夹角，求tanθ．
22. 已知{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1=0，a 2=3，a n+1a n =(a n−1+2)(a n−2+2)，n =3，4，5，…， （1）求a 3；
（2）证明a n =a n−2+2，n =3，4，5，…； （3）求{a n }的通项公式及其前n 项和S n ．
2002年天津市高考数学试卷（理科）答案
1. D
2. A
3. B
4. D
5. C
6. B
7. B
8. A
9. D 10. D 11. B 12. C
13. (0, 0)，(1, 1) 14. −1
15. 解：如图，因为y =x 2，4y =x 2是偶函数，根据对称性，只算
出y 轴右边的图形的面积再两倍即可． 解方程组{y =x 2y =1 和{4y =x 2
y =1
，
得交点坐标(−1, 1)，(1, 1)，(−2, 1)，(2, 1)． 选择x 为积分变量，则S =2[∫(1
x 2−x 24
)dx +∫(2
11−
x 24
)dx]=43
．
∴ 由三条曲线y =x 2，4y =x 2，y =1 所围图形的面积43
16. 7
2
17. 解：cos(2α+π4)=cos2αcos π4−sin2αsin π
4=√2
2
(cos2α−sin2α)．
∵ cos(α+π
4)=3
5>0，π
2≤α<3π2
，
∴ 3π
2<α+π
4<
7π4
，
∴ sin(α+π4
)=−√1−cos 2(α+π4
)=−4
5
，
从而cos2α=sin(2α+π2
)=2sin(α+π4
)cos(α+π4
)=−24
25
，
sin2α=−cos(2α+π2)=1−2cos 2(α+π4)=7
25， ∴ cos(2α+π
4)=
√2
2
×(−2425−7
25)=−
31√2
50
. 18. 甲、解：(1)如图，以点A 为坐标原点O ，
以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，
以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系． 由已知，得A(0, 0, 0)，B(0, a, 0)， A 1(0,0,√2a)，C 1(−√32a,a
2
,√2a) (2)坐标系如上．取A 1B 1的中点M ， 于是有M(0,a
2，√2a)， 连AM ，MC 1有MC 1→
=(−
√3
2
a,0,0)， 且AB →
=(0,a,0)，AA 1→=(0,0,√2a) 由于MC 1→
⋅AA 1→
=0，MC 1→
⋅AA 1→
=0
所以，MC 1⊥面ABB 1A 1
∴ AC 1与AM 所成的角就是AG 1与侧面ABB 1A 1所成的角． ∵ AC 1→
=(−
√3
2a ，a 2
，√2a)，AM →=(0,a
2
，√2a)
∴ AC 1→
⋅AM →
=0+a 24
+2a 2=9
4
a 2
而|AC 1→
|=√
3a 24
+
a 24
+2a 2=√3a
|AM →|=√a 24+2a 2=32a ∴ cos <AC 1→
，AM →
>=
94
a 2
√3a⋅32a
=
√32
所以，AC 1→
与AM →所成的角，
即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30∘ 乙、解：(1)作MP // AB 交BC 于点P ，
NQ // AB 交BE 于点Q ，连接PQ ，依题意可得MP // NQ ，且MP =NQ ， 即MNQP 是平行四边形．
∴ MN =PQ 由已知，CM =BN =a ，CB =AB =BE =1，
∴ AC =BF =√2CP 1=a √
2，BQ 1=a
√
2
即CP =BQ =
a √2
∴ MN =PQ =√(1−CP)2+BQ 2 =√(1−
√2)2+(
√2)2
=√(a −
√22)2+1
2
(0<a <√2) (2)由(1)MN =√22
)1
2
所以，当a =
√2
2
时，MN =
√22
即M ，N 分别移动到AC ，BF 的中点时， MN 的长最小，最小值为√22
(3)取MN 的中点G ，连接AG 、BG ，
∵ AM =AN ，BM =BN ，∴ AG ⊥MN ，BG ⊥MN ， ∴ ∠AGB 即为二面角α的平面角． 又AG =BG =
√64
， 所以由余弦定理有cosα=(√64)2+(√64
)2−1⋅
=−13
．
故所求二面角α=arccos(−13
)．
19. 解：(1)根据题意，可得，“至少3人同时上网”与“至多2人同时上网”互为对立事件， 故“至少3人同时上网”的概率等于1减去“至多2人同时上网”的概率，
即“至少3人同时上网”的概率为1−C 60(0.5)6−C 61(0.5)6−C 62
(0.5)6=1−
1+6+1564
=21
32．
(2)至少4人同时上网的概率为C 64(0.5)6+C 65(0.5)6+C 66(0.5)6=11
32>0.3，
至少5人同时上网的概率为(C 65+C 66
)(0.5)6=
764
<0.3，
因此，至少5人同时上网的概率小于0.3． 20. 解：（1）f(x)的导数f ′(x)=3x 2，
由此得切线l 的方程y −(x 13−a)=3x 12
(x −x 1)； （2）①依题意，在切线方程中令y =0， 得x 2=x 1−x 13−a 3x 1
2=
2x 13+a 3x 1
2，
x 2−a 13
=
1
3x
1
2(2x 13
+a −3x 12a 1
3
)
=
1
3x 1
2(x 1−a 1
3
)2
(2x 1+a 13
)≥0，
∴ x 2≥a 1
3，当且仅当x 1=a 13时取等成立．
②若x 1>a 1
3
，则x 13
−a >0，x 2−x 1=
x 13+a 3x 1
2<0，
且由①x 2≥a 13， 所以a 1
3<x 2<x 1．
21. 解：（1）记P(x, y)，由M(−1, 0)，N(1, 0)得PM →
=−MP →
=(−1−x, −y)， PN →
=−NP →
=(1−x, −y)，MN →
=−NM →
=(2, 0)， ∴ MP →
⋅MN →
=2(1+x)， PM →
⋅PN →=x 2+y 2−1， NM →
⋅NP →
=2(1−x)，
∵ MP →
⋅MN →
，PM →
⋅PN →
，NM →
⋅NP →
是公差小于零的等差数列 ∴ {x 2+y 2−1=1
2[2(1+x)+2(1−x)]
2(1−x)−2(1+x)<0
即x 2+y 2=3(x >0)，
∴ 点P 的轨迹是以原点为圆心，√3为半径的右半圆．
（2）点P 的坐标为(x 0, y 0)，则x 02+y 02
=3，
PM →
⋅PN →
=x 02+y 02−1=2，
∵ |PM →
|⋅|PN →
|=√(1+x 0)2+y 02⋅√(1−x 0)2+y 02 =√(4+2x 0)(4−2x 0)=2√4−x 02，
∴ cosθ=|PM →
|⋅|PN →
|˙
=
√4−x 0
，
∵ 0<x0≤√3，
∴ 1
2<cosθ≤1，0≤θ<π
3
，
sinθ=√1−cos2θ=√1−1
4−x02
，
tanθ=sinθcosθ
=√1−
1
4−x02
√
1
4−x02
=√3−x02=|y0|
22. 解：（1）由题设得a3a4=10，且a3、a4均为非负整数，所以a3的可能的值为1，2，5，10．
若a3=1，则a4=10，a5=3
2
，与题设矛盾，
若a3=5，则a4=2，a5=35
2
，与题设矛盾，
若a3=10，则a4=1，a5=60，a6=3
5
，与题设矛盾，
所以a3=2．
（2）用数学归纳法证明，
①当n=3，a3=a1+2，等式成立，
②假设当n=k(k≥3)时等式成立，即a k=a k−2+2，
由题设a k+1a k=(a k−1+2)(a k−2+2)，
∵ a k=a k−2+2≠0，∴ a k+1=a k−1+2，
也就是说，当n=k+1时，等式a k+1=a k−1+2成立．
根据①和②，对于所有k≥3，有a k+1=a k−1+2．
（3）由a2k−1=a2（k−1）−1+2，a1=0及a2k=a2（k−1）+2，a2=3，
得a2k−1=2(k−1)，a2k=2k+1，k=1，2，3，
即a n=n+(−1)n，n=1，2，3，
所以S n={1
2
n(n+1)，当n为偶数
1
2
n(n+1)−1，当n为奇数。